第2章-2隨機(jī)過程r3

1、12.3.1 隨機(jī)變量的概率分布n隨機(jī)變量的概念：若某種試驗(yàn)A的隨機(jī)結(jié)果用X表示，則稱此X為一個(gè)隨機(jī)變量，并設(shè)它的取值為x。 例如，在一定時(shí)間內(nèi)電話交換臺收到的呼叫次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量。n隨機(jī)變量的分布函數(shù)：u定義：FX(x) = P(X x) u性質(zhì)： P(a X b) + P(X a) = P(X b),P(a X b) = P(X b) P(X a)， P(a X b) = FX(b) FX(a) 12u離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：離散隨機(jī)變量的分布函數(shù)：p設(shè)設(shè)X的取值為：的取值為：x1 x2 xi xn，其取值的概率分別，其取值的概率分別為為p1, p2, , pi, , pn，則有，則有P

2、 P ( (X X x x1 1) = 0,) = 0,P P( (X X x xn n) = 1) = 1P P( (X X x xi i) = ) = P P( (X X = = x x1 1) + ) + P P( (X X = = x x2 2) + + ) + + P P( (X X = = x xi i),), p性質(zhì)：性質(zhì)： FX(- ) = 0 FX(+ ) = 1 若若x1 x2，則有，則有: FX(x1) FX(x2) ，為單調(diào)增函數(shù)。，為單調(diào)增函數(shù)。2nikikXxxxxxpxxxF10)(11113u連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)：連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)：當(dāng)當(dāng)x連續(xù)時(shí)，由定義分

3、布函數(shù)定義連續(xù)時(shí)，由定義分布函數(shù)定義 FX(x) = P(X x)可知，可知， FX(x) 為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：為一連續(xù)單調(diào)遞增函數(shù)：34n連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度pX (x)upX (x)的定義：的定義：upX (x)的意義：的意義：ppX (x)是是FX (x)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是FX (x)曲線的斜率曲線的斜率p能夠從能夠從pX (x)求出求出P(a 0, a = 常數(shù)常數(shù)u概率密度曲線：概率密度曲線：6222)(exp21)(axxpX7n均勻分布隨機(jī)變量均勻分布隨機(jī)變量u定義：概率密度定義：概率密度式中，式中，a，b為常數(shù)為常數(shù)u概率密度曲線：概率密度曲線：7其

4、他0)/(1)(bxaabxpXbax0pA(x)8u定義：概率密度為定義：概率密度為式中，式中，a 0，為常數(shù)。，為常數(shù)。u概率密度曲線：概率密度曲線：80)exp(2)(2xaxaxxpX92.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征若若X和和Y互相獨(dú)立，且互相獨(dú)立，且E(X)和和E(Y)存在。存在。9dxxxpXEX)()(CCE)()()()(YEXEYXE)()()()(2121nnXEXEXEXXXE)()(XECXCE)()()(YEXEXYE CE(X)E(CX)102.5.2 方差方差n定義：式中，u方差的改寫：證：u對于離散隨機(jī)變量，u對于連續(xù)隨機(jī)變量，n性質(zhì)：uD( C ) = 0uD(X

5、+C)=D(X)，D(CX)=C2D(X)uD(X+Y)=D(X)+D(Y)uD(X1 + X2 + + Xn)=D(X1) + D(X2) + + D(Xn)10)()(22XXEXDX的數(shù)學(xué)期望標(biāo)準(zhǔn)偏差，XXX22)(XXXD2222222222)(XXXXXXXXXEXXEiiipXxXD2)()(dxxpXxXDX)()()(2112.5.3 矩矩n定義：隨機(jī)變量定義：隨機(jī)變量X的的k階矩為階矩為uk階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩：a = 0時(shí)的矩：時(shí)的矩：uk階中心矩：階中心矩： 時(shí)的矩：時(shí)的矩：n性質(zhì)：性質(zhì)：u 一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望：一階原點(diǎn)矩為數(shù)學(xué)期望：u 二階中心矩為方差：二階中心矩為方差

6、：11dxxpaxaXEXkk)()()(dxxpxXmXkk)()(Xa ()()( )kkXMXxXpx dx)()(1XEXm22)()(XXDXM122.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)132.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程l2.6.3 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性l2.6.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度1

7、42.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念n什么是隨機(jī)過程？u隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：u角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合。15第第2章章 信號信號【例】n臺示波器同時(shí)觀測并記錄這n臺接收機(jī)的輸出噪聲波形 p樣本函數(shù)i (t)：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)，是確定的時(shí)間函數(shù)。p隨機(jī)過程： (t) =1 (t), 2 (t), , n (t) 是全部樣本函數(shù)的集合。16第第2章章 信號信號u角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。p在任一給定時(shí)刻t1上，每一個(gè)樣本函數(shù)i (t)都是一個(gè)確定的數(shù)值i (t

8、1)，但是每個(gè)i (t1)都是不可預(yù)知的。p在一個(gè)固定時(shí)刻t1上，不同樣本的取值i (t1), i = 1, 2, , n是一個(gè)隨機(jī)變量，記為 (t1)。p換句話說，隨機(jī)過程在任意時(shí)刻的值是一個(gè)隨機(jī)變量。p因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的隨機(jī)變量的集合。p這個(gè)角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。17第第2章章 信號信號n1.隨機(jī)過程的分布函數(shù)u設(shè) (t)表示一個(gè)隨機(jī)過程，則它在任意時(shí)刻t1的值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其統(tǒng)計(jì)特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述。u隨機(jī)過程 (t)的一維分布函數(shù)：u隨機(jī)過程 (t)的一維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。

9、)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf18第第2章章 信號信號u隨機(jī)過程 (t) 的二維分布函數(shù)：u隨機(jī)過程 (t)的二維概率密度函數(shù)：若上式中的偏導(dǎo)存在的話。 u隨機(jī)過程 (t) 的n維分布函數(shù)：u隨機(jī)過程 (t) 的n維概率密度函數(shù)：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxfnnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，19第第2章章 信號信號n2.

10、 隨機(jī)過程的數(shù)字特征u均值（數(shù)學(xué)期望）：在任意給定時(shí)刻t1的取值 (t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值式中 f (x1, t1) (t1)的概率密度函數(shù)由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接寫為t， x1改為x，這樣上式就變?yōu)閐xtxxftE),()(1111111),()(dxtxfxtE20第第2章章 信號信號 (t)的均值是時(shí)間的確定函數(shù)，常記作a ( t )，它表示隨機(jī)過程的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心 :dxtxxftE),()(1a (t )21第第2章章 信號信號u方差方差常記為 2( t )。這里也把任意時(shí)刻t1直接寫成了t 。因?yàn)樗?，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在

11、時(shí)刻 t 對于均值a ( t )的偏離程度。2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatEtD212)(),(tadxtxfx均方值均值平方22第第2章章 信號信號u相關(guān)函數(shù)式中， (t1)和 (t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測得到的隨機(jī)變量。可以看出，R(t1, t2)是兩個(gè)變量t1和t2的確定函數(shù)。u協(xié)方差函數(shù)式中 a ( t1 ) a ( t2 ) 在t1和t2時(shí)刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) (t)的二維概率密度函數(shù)。 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR

12、 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 232.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程l2.6.3 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性l2.6.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度24第第2章章 信號信號l2.6.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程n1 .嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義u定義：若一個(gè)隨機(jī)過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)

13、過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；25第第2章章 信號信號u廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程：可見，（1）其均值與t 無關(guān)，為常數(shù)a ； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔 有關(guān)。把同時(shí)滿足（1）和（2）的過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。 在通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機(jī)過程。因此，研究平穩(wěn)隨機(jī)過程有著很大的實(shí)際意義。 adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 262.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6.1 隨機(jī)過程的

14、基本概念隨機(jī)過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程l2.6.3 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性l2.6.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度272.6隨機(jī)過程隨機(jī)過程n2.6.3 各態(tài)歷經(jīng)性u問題的提出：我們知道，隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均，但在實(shí)際中常常很難測得大量的樣本，這樣，我們自然會(huì)提出這樣一個(gè)問題：能否從一次試驗(yàn)而得到的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征呢?u回答是肯定的。平穩(wěn)過程在滿足一定的條件下具有一個(gè)有趣而又非常有用的特性，一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)，稱為

15、“各態(tài)歷經(jīng)性”（又稱“遍歷性”）。具有各態(tài)歷經(jīng)性的過程，其數(shù)字特征（均為統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。 u下面，我們來討論各態(tài)歷經(jīng)性的條件。28第第2章章 信號信號u各態(tài)歷經(jīng)性條件設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），則其時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)分別定義為： 如果平穩(wěn)過程使下式成立則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)(TTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxa)()(RRaa29第第2章章 信號信號u“各態(tài)歷經(jīng)”的含義是：隨機(jī)過程中的任一次實(shí)現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。因此，在求解各種統(tǒng)

16、計(jì)平均（均值或自相關(guān)函數(shù)等）時(shí)，無需作無限多次的考察，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均”值代替過程的“統(tǒng)計(jì)平均”值即可，從而使測量和計(jì)算的問題大為簡化。u具有各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。30第第2章章 信號信號u 例例1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性?！窘狻俊窘狻?1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0sins

17、incoscos22020dtdtAcc31第第2章章 信號信號自相關(guān)函數(shù)令t2 t1 = ，得到可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。0)(cos2212)(cos2)(cos22)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc32第第2章章 信號信號 (2) 求(t)的時(shí)間平均值比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，有因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。220)cos(1limTTcTdt

18、tATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa332.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6.1 隨機(jī)過程的基本概念隨機(jī)過程的基本概念l2.6.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程l2.6.3 各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性l2.6.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度34第第2章章 信號信號n2.6.4-1 平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)u平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的定義：同前u平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)p (t)的平均功率p 的偶函數(shù)p R()的上界即自相關(guān)函數(shù)R()在 =

19、0有最大值。p (t)的直流功率p 表示平穩(wěn)過程(t)的交流功率。當(dāng)均值為0時(shí)，有 R(0) = 2 。 )()0(2tER)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0( RR35第第2章章 信號信號n2.6.4-2 平穩(wěn)過程的功率譜密度u定義：p對于任意的確定功率信號f (t)，它的功率譜密度定義為式中，F(xiàn)T ( f )是f (t)的截短函數(shù)fT (t) 所對應(yīng)的頻譜函數(shù)TfFmi lfPTTf2)()(36第第2章章 信號信號p對于平穩(wěn)隨機(jī)過程 (t) ，可以把f (t)當(dāng)作是(t)的一個(gè)樣本；某一樣本的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。過程的功率譜密度應(yīng)看作是對所有樣本的

20、功率譜的統(tǒng)計(jì)平均，故 (t)的功率譜密度可以定義為TfFEmi lfPEfPTTf2)()()(37第第2章章 信號信號u功率譜密度的計(jì)算p維納-辛欽關(guān)系 非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立，即有簡記為以上關(guān)系稱為維納維納-辛欽辛欽關(guān)系。它在平穩(wěn)隨機(jī)過程的理論和應(yīng)用中是一個(gè)非常重要的工具，它是聯(lián)系頻域和時(shí)域兩種分析方法的基本關(guān)系式。dePRdeRPjj)(21)()()()()(fPR38第第2章章 信號信號p例例2 求隨機(jī)相位余弦波(t) = Acos(ct + )的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度?！窘狻俊窘狻吭诶?中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)

21、相位余弦波是一個(gè)平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為因?yàn)槠椒€(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有 以及由于有所以，功率譜密度為平均功率為 cARcos2)(2)()(PR)()(cosccc)()(2)(2ccAP2)(21)0(2AdPRS392.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)40第第2章章 信號信號l 2.7 高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）n1. 定義u如果隨機(jī)過程 (t)的任意n維（n

22、 =1,2,.）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程。u n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為：式中 njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；22)(),(kkkkkatEtEa41第第2章章 信號信號式中 |B| 歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 |B|jk 行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子 bjk 為歸一化協(xié)方差函數(shù)，即 11121221112nnnnbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(42第第2章章 信號信號n 2. 重要性質(zhì)u由高斯過程的定義式可以看出,高斯過程的n維分布只依賴各個(gè)

23、隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對于高斯過程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。u廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)?，若高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，則它的n維分布也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。43第第2章章 信號信號u如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，即對所有j k，有bjk =0，則其概率密度可以簡化為這表明，如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。u高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也

24、是高斯過程。),.,;,.,(2121nnntttxxxfnax1k2k2kkk2)(exp21),(),(),(2211nntxftxftxf44第第2章章 信號信號n 2. 高斯隨機(jī)變量u定義：高斯過程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為式中a 均值 2 方差曲線如右圖：221()( )exp22xaf x45第第2章章 信號信號u性質(zhì)pf (x)對稱于直線 x = a，即p pa表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和 = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：xafxaf1)(dxxfaadxxfdx

25、xf21)()(21( )exp22xf x46第第2章章 信號信號u正態(tài)分布函數(shù)這個(gè)積分的值無法用閉合形式計(jì)算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：p用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(aztdtdz22() /2( )22121122xatF xedtxaerf202( )xterf xedt47第第2章章 信號信號p用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：式中當(dāng)x 2時(shí)，2211)(axerfcxF22( )1( )txerfc xerf xedt 21( )xerfc xex4

26、82.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)49第第2章章 信號信號l2.8 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 n2.8.1 什么是窄帶隨機(jī)過程？ 若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。 50第第2章章 信號信號n典型的窄帶隨機(jī)過程的譜密度和樣本函數(shù) 51第第2章章 信號信號n窄帶隨機(jī)過程的表示式式中，a (t) 隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相

27、位 c 中心角頻率顯然， a (t)和 (t)的變化相對于載波cos ct的變化要緩慢得多。0)(,)(cos)()(tatttatc52第第2章章 信號信號n窄帶隨機(jī)過程表示式展開可以展開為式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats53第第2章章 信號信號n1. c(t)和s(t)的統(tǒng)

28、計(jì)特性p數(shù)學(xué)期望：對下式求數(shù)學(xué)期望：得到 因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時(shí)間t，都有E(t) = 0 ，所以 tttttcsccsin)(cos)()(ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，2.8.2 窄帶隨機(jī)過程性質(zhì)54第第2章章 信號信號p(t)的自相關(guān)函數(shù)：由自相關(guān)函數(shù)的定義式式中因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。 因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，它變?yōu)?()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttR

29、ccsccsccccsccc)()(),()()(),()()(),()()(),(ttEttRttEttRttEttRttEttRssscsscsccsccc)(),(RttRccsccttRttRRsin),(cos),()(55第第2章章 信號信號因與時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)樵倭?t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。ccsccttRttRRsin),(cos),()()(),()(),(cscsccRttRRttRccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(56第第

30、2章章 信號信號p進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時(shí)成立，故有上式表明，同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以同理可證 ccsccRRRsin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()()()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR0)0(csR57第第2章章 信號信號將代入下兩式得到即上式表明(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()(0)0(scR0)0(

31、csR)0()0()0(scRRR222sc58第第2章章 信號信號p根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到因?yàn)?t)是高斯過程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過程。p根據(jù)可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時(shí))()(,2222ttttsc時(shí)0)0(csR59第第2章章 信號信號u結(jié)論結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過

32、程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。60第第2章章 信號信號n2. a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性u聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff61第第2章章 信號信號于是有式中a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa62第第2章章 信號信號ua的一維概率密度函數(shù)可見， a服從瑞利(Raylei

33、gh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa63第第2章章 信號信號u的一維概率密度函數(shù)可見， 服從均勻分布。20212exp21),()(02220daaadaaff64第第2章章 信號信號u結(jié)論一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有 )()(),(fafaf652.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l

34、2.10 信號通過線性系統(tǒng)信號通過線性系統(tǒng)66第第2章章 信號信號l2.9 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲n正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中 窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2間 A和c 確知振幅和角頻率于是有式中)()cos()(tntAtrcttnttntncsccsin)(cos)()()(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(cos)(tttzttzttzttnAttnAtrccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss67第第2章章 信號信號n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：0,)()()(22z

35、tztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs68第第2章章 信號信號n正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性u包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為222sincosnscscAzEAzE2222)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc69第第2章章 信號信號利用與上一節(jié)分析a和相似的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)然后求給定條件下的邊際分布， 即sincoszzzzs

36、c)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznndAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(22022222070第第2章章 信號信號由于故有式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此由上式可見，f (, z)與無關(guān)，故包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。 )(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn71第第2章章 信號信

37、號u討論p當(dāng)信號很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。p當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有這時(shí)上式近似為高斯分布，即0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnnxexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf72第第2章章 信號信號p包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線73第第2章章 信號信號n正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性F()742.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.6 隨機(jī)過程隨機(jī)過程l2.7 高斯過程高斯過程l2.8 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l2.9 正弦波加窄帶高斯過程正弦波加窄帶高斯過程l2.10 信號通過線性系統(tǒng)

38、信號通過線性系統(tǒng)75第第2章章 信號信號l2.10 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)n確知信號通過線性系統(tǒng)（復(fù)習(xí)） ：式中 vi 輸入信號， vo 輸出信號對應(yīng)的傅里葉變換關(guān)系：n隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)：u假設(shè)：i(t) 是平穩(wěn)的輸入隨機(jī)過程， a 均值， Ri() 自相關(guān)函數(shù)， Pi() 功率譜密度；求輸出過程o(t)的統(tǒng)計(jì)特性，即它的均值、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率分布。dtvhtvthtvii)()()()()(0)f ()f ()f (0iVHVdthti)()()(076第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的均值 對下式兩邊取統(tǒng)計(jì)平均：得到設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有

39、式中，H(0)是線性系統(tǒng)在 f = 0處的頻率響應(yīng)，因此輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。dthti)()()(0dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE77第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是 上式表明,輸出過程的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔 的函數(shù)。 由上兩式可知，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 78第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的功率譜密度對下式進(jìn)行傅里葉變換：得出令 = + - ，代入上式，得到即結(jié)論：輸出過程的功率譜密度是輸入過程的功率譜密度乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模值的平方。應(yīng)用：由Po( f )的反傅里葉變換求Ro() )()()()(),(0110RddRhhttRi deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii79第第2章章 信號信號u輸出過程o(t)的概率分布p如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯