相似三角形六大證明技巧

1、第2講相似三角形6大證明技巧模塊一相似三角形證明方法之反A型與反X型回顧相似三角形的判定方法總結(jié)：1.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2.三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.(SSS3.兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.(SAS)4.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.(AA)5.斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似(HL)模型一：反 A 型：如圖，已知ABC,/ADE=/C,若連 CD、BE,進(jìn)而能證明ACDAABE(SAS)試一試寫出具體證明過程模型二：反 X 型：如圖，已知角/BAO=/CDO,若連 AD,BC,進(jìn)而能證明AODABOC.試一試寫出具體證明過

2、程應(yīng)用練習(xí)：1.已知 4ABC 中，/AEF=/ACB,求證：(1)AEAB=AFAC(2)/BEO=/CFO,/EBO=/FCO(3)/OEF=/OBC,/OFE=/OCB132.已知在從BC中，/ABC=90,AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：AAPQs叢BC;（2）當(dāng)APQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng)。模塊一相似三角形證明方法之射影定理與類射影模型三：射影定理如圖已知ABC,/ACB=90,CHLAB 于 H,求證：AC2=AHAB,BC2=BHBA,HC2=HAHB,試一

3、試寫出具體證明過程模型四：類射影BDAB如圖，已知 AB2=ACAD,求證：二，試一試寫出具體證明過程BCACB應(yīng)用練習(xí):1 .如圖，在 4ABC 中，ADBC 于 D,DE，AB 于 E,DF，AC 于 F。求、丁AEAC證：一AFAB2 .如圖，在 4ABC4ABC 中，八口，8 8。于口，口，八 8 8 于,口尸，八。于尸，連EF,求證:/AEF=/C15模塊一相似三角形證明方法之一線三等角模型五：一線三等角如圖，已知/B=/C=/EDF,則BDEsCFD(AA),試一試寫出具體證明過程應(yīng)用練習(xí)：1.如圖，ABC和4DEF兩個(gè)全等的等腰直角三角形，/BACWEDF=9(J,ADEF的頂點(diǎn)

4、E與4ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合.將ADEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：zBP/ACQE(2)(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：zBPaACEC；并求當(dāng)BP=a,CQ=9a/2時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離(用含a的代數(shù)式表示)長(zhǎng)。（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）172 .AABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作/MDN=/B（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫出圖中所有與叢DE相似的三角形.（2）如圖（2）,將/MDN繞點(diǎn)D沿

5、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.（3）在圖（2）中，若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)ADEF的面積等于叢BC的面積的工時(shí)，求線段EF的長(zhǎng).3.如圖，點(diǎn)3在線段4c上，點(diǎn)。、E在?IC同側(cè)，2A=Uto,.4。=UC011）求證：AC=.-W+CE。（2）若=CE=5,點(diǎn)F為線段加上的動(dòng)點(diǎn)，連接DR,作PQ1D匕交直線BE于點(diǎn)Q。當(dāng)點(diǎn)P與人B兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值。當(dāng)點(diǎn)P從土點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求線段網(wǎng)的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）模塊二I比例式的證明方法之三點(diǎn)定型通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，比例線段的

6、證明，離不開“平行線模型（A 型，X 型，線束型），也離不開上述的 6 種“相似*II 型”.但是“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎樣使用工具，怎樣用好工具，取決于我們?nèi)绾嗡伎紗栴}.合理的思維方法，能讓模型成為解題的利刃，讓復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單。在本模塊中，我們將學(xué)比例式的證明中，會(huì)經(jīng)常用到的思維技巧技巧一：三點(diǎn)定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五：證等量先證等比技巧六：幾何計(jì)算技巧一：三點(diǎn)定型橫向與縱向觀察所證線段比列式（如果是等積式，則將其化為等比式）的分子分母，三個(gè)字母即可確定三角形，從而證三角形相似即可。1 .如圖，在 RHABC 中，AD 是斜邊 BC 上的高，

7、NABC 的平分線 BEBE 交 AC 于 E E, ,交 AD 于2 .如圖，平行四邊形 ABCD 中，E E 是 ABAB 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),DE 交 BC 于 F,求證：DCCF-3 .如圖，4ABC 中，/BAC=90*,M M 為 BC 的中點(diǎn)，DM_LBC 交 CA 的延長(zhǎng)線于于 E.E.求證：AMAM2=MDME=MDMEF.F.求證:BFABBE-BCAEADC若三點(diǎn)定型法無法確定哪兩個(gè)三角形相似，則考慮用等量代換替代其中線段，然后再用三點(diǎn)定型法確定三角形證相似，常用的方法有：等線段代換，等比代換，等積代換【例1】如圖，在ABC,AD 平分/BAG,AD 的垂直平分線交 AD 于

8、 E,交 BC 的延長(zhǎng)線于F,求證：FD2=FBFC證明：連接 AF,4。是/8AC 的平分線，12，,:FE是 AD 的垂直平分線，：FA二FD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.AFAD=FDA等邊對(duì)等角）,;B.I1一門。又：二1Uh【例2】如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點(diǎn) E E 在邊 BABA 的延長(zhǎng)線上,模塊二比例式的證明方法之等線段代換19），CE 交 AD 于 F,ACBE=CE.AD【例3】如圖，4ACB 為等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90,/DAE=45,求證:AB2=BECD【例4】如圖，4ABC 中，AB=AC,AD 是中線，P P 是 AD

9、上一點(diǎn)，過 C 作 CF/AB延長(zhǎng) BPBP 交 ACAC 于 E,E,交 CF 于 F.F.求證:BPBP2= =PEPF-PEPF-模塊二比例式的證明方法之等比代換，OB2=OE-OF.在ABC 中，已知/A=90時(shí)，AD_LBC 于 D D, ,E E 為直角邊 ACAC 的中點(diǎn),E E 作直線交 A AB B的延長(zhǎng)線于 F.F.求證：ABAF=ACDF.例 7如圖，在ABC 中（ABAC）的邊 ABAB 上取一點(diǎn) D D, ,在邊 ACAC 上取一點(diǎn) E E, ,使AD=AE,直線 DE 和 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P.求證：BPCE=CPBD【例 5】如圖，平行四邊形 ABCDABCD

10、 中，過 B B 作直線 ACAC、AD 于 O O, ,E E、交 CDCD 的延長(zhǎng)線于 F F，求證：OB2=OEOF.【解題方法提示】OBOF要證OB2=OF-OE,即證OE=OB,接下來你有思路了嗎？OAOB因?yàn)?AB/CE,由平行線分線段成比例定理，可得OC=OE;OAOF同理因?yàn)?AF/BC,可得=:;,由等式的傳遞性，問題即可得證證明：VAB/CE,VAF/BC,【例 6】 如圖,過D D、21A例8.(1)如圖1,在叢BC中，點(diǎn)D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE/BC,AQ交DE于點(diǎn)P,求證：空=空；BQPC(2)如圖，9BC中，/BAC=90,正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)

11、在小BC的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點(diǎn).如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長(zhǎng)；如圖3,求證：MN2=DM?EN.模塊二比例式的證明方法之等積代換【例8】如圖，ABC中， BDBD、 CE是高， EH_LBC于H、 交B BD D于G G、 交CA的延長(zhǎng)線于M.求證： HE2=HGMH.如圖，在ABC 中，/BAC=90D D 為 ACAC 中點(diǎn)，AE_LBD,EAE_LBD,E 為垂足，求證:ZCBD=/ECD.在 RtAABC 中，ADBC,P 為 AD 中點(diǎn)，MNBC,求證MN2=ANN=ANNC11.如圖，已知 AABCAABC 中，AD,BF 分別為 BC,AC 邊

12、上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延長(zhǎng)線于 Ho 求證：DU=EG?EH【例9】【例10】模塊二比例式的證明方法之證等量先證等比23A【例13如圖，ABC 為等腰直角三角形，點(diǎn) P 為 AB 上任意一點(diǎn)，PFXBC,PEXAC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M.,求證：PM=PN,MN/AB.【例14如圖，正方形 BFDE 內(nèi)接于ABC,CE 與 DF 交于點(diǎn) N,AF 交 ED 于點(diǎn) M,CE【例11】已知，平行四邊形ABCD 中，E、F 分另 1J 在直線 AD、CD 上，EF/AC,BE、BF分別交 AC 于 M、N.,求證：AM

13、=CN.【例12】已知如圖 AB=AC,BD/AC,AB/CE,證：AM=NC,MN/DE.過 A 點(diǎn)的直線分別交 BD、CE 于 D、E.25與 AF 交于點(diǎn) P.求證：(1)MN/AC；(2)EM=DN.【例16（X）如圖，梯形 ABCD 的底邊 AB 上任取一點(diǎn) M,過 M 作 MK/BD,MN/AC,分別交 AD、BC于 K、N,連 KN,分別交對(duì)角線 AC、BD 于 P、Q,求證：KP=QN.【例15】（X）設(shè) E、F 分別為 AC、AB 的中點(diǎn)，D 為 BC 上一點(diǎn),P 在 BF 上，DP/CF,Q 在 CE 上，DQ/BE,PQ 交 BE 于 R,交 CF 于 S,求證:c1c1

14、 八RSPQRSPQ3 3【例 17】(2016 年四月調(diào)考)如圖，在ABC 中，ACAB,AD 是角平分線，AE 是中線，BFLAD 于 G,交 AC 于點(diǎn) M,EG的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn) H.(1)求證：AH=BH,(2)若/BAC=60,求毛的值.【例 18】(2016 七一華源)如圖：正方形 ABCD 中，點(diǎn) E、點(diǎn) F、點(diǎn) G 分別在邊 BC、AB、CD 上，/1=/2=/3=a 求證：(1)EF+EG=AE(2)求證：CE+CG=AFDG模塊二比例式的證明方法之動(dòng)點(diǎn)問題運(yùn)動(dòng)問題中經(jīng)常涉及沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的相似三角形，此時(shí)分類討論思想在動(dòng)態(tài)問題中尤其重要，應(yīng)充分考慮所有可能出現(xiàn)的情況避

15、免遺漏。利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比列為等量關(guān)系，建立方程求解，進(jìn)而解決問題。1 .如圖， 在 RtAABC 中， /ACB=90,AC=3,BC=4,過點(diǎn) B 作射線 BB1/AC.動(dòng)點(diǎn) D 從點(diǎn) A 出發(fā)沿射線 AC方向以每秒 5 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) E 從點(diǎn) C 沿射線 AC 方向以每秒 3 個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)D 作 DHLAB 于 H,過點(diǎn) E 作 EFLAC 交射線 BB1 于 F,G 是 EF 中點(diǎn)， 連接 DG.設(shè)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒.(1)當(dāng) t 為何值時(shí)，AD=AB,并求出此時(shí) DE 的長(zhǎng)度；(2)當(dāng) 4DEG 與 4ACB 相似時(shí)，求 t 的值.2 .如圖，

16、在 4ABC 中，/ABC=90,AB=6m,BC=8m,動(dòng)點(diǎn) P 以 2m/s 的速度從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿 AC 向點(diǎn) C移動(dòng).同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) Q 以 1m/s 的速度從 C 點(diǎn)出發(fā)，沿 CB 向點(diǎn) B 移動(dòng).當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng).設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為 t 秒.(1)當(dāng) t=2.5s 時(shí)，求 4CPQ 的面積；求 4CPQ 的面積 S(平方米)關(guān)于時(shí)間 t(秒)的函數(shù)解析式；(2)在巳 Q 移動(dòng)的過程中，當(dāng) 4CPQ 為等腰三角形時(shí)，求出 t 的值.3 .如圖 1,在 RABC 中，/ACB=90,AC=6,BC=8,點(diǎn) D 在邊 AB 上運(yùn)動(dòng)，DE 平分/CDB 交邊 BC 于點(diǎn)E,

17、EMXBD,垂足為 M,ENICD,垂足為 N.(1)當(dāng) AD=CD 時(shí)，求證：DE/AC;(2)探究：AD 為何值時(shí)，4BME 與 ACNE 相似？4 .如圖所示，在ABC 中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著AB 以每秒 4cm 的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q 從 C 點(diǎn)出發(fā)，27沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng) P 點(diǎn)到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)，Q 點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 x.(1)當(dāng) x 為何值時(shí)，PQ/BC?(2)AAPQ 與 4CQB 能否相似？若能，求出 AP 的長(zhǎng)；若不能說明理由.5.如圖，在矩形 ABCD 中，AB=12cm,

18、BC=6cm,點(diǎn) P 沿 AB 邊從 A 開始向點(diǎn) B 以 2cm/s 的速度移動(dòng)；點(diǎn) Q 沿 DA 邊從點(diǎn) D 開始向點(diǎn) A 以 1cm/s 的速度移動(dòng).如果 P、Q 同時(shí)出發(fā)，用 t(s)表示移動(dòng)的時(shí)間(0vtv6)。(1)當(dāng) t 為何值時(shí)，4QAP 為等腰直角三角形？(2)當(dāng) t 為何值時(shí)，以點(diǎn) Q、A、P 為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相似？模型三：射影定理如圖已知ABC,/ACB=90,CH，AB 于 H,求證:模型四：類射影應(yīng)用練習(xí):AEAC1 .如圖，在 4ABC 中，ADBC 于 D,DELAB 于 E,DF,AC 于 F。求證：=2 .如圖，在ABCABC 中，AD_LBCAD_L

19、BC 于 D,DE_LABDE_LAB 于 E,口尸_1 八。于尸，連 EF,求證:ZAEF=ZC_2_CHAHB,試一試寫出具體證明過程_22AC=AHAB,BC=BHBA-如圖，已知 AB2=ACAD,求證:BDAB,試一試寫出具體證明過程BCAC29模塊一相似三角形證明方法之一線三等角模型五：一線三等角如圖，已知/B=/C=/EDF,則BDEsCFD(AA),試一試寫出具體證明過程應(yīng)用練習(xí)：1.如圖，ABC和4DEF兩個(gè)全等的等腰直角三角形，/BACWEDF=9(J,ADEF的頂點(diǎn)E與4ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合.將ADEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P,線段EF與

20、射線CA相交于點(diǎn)Q.(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：zBP/ACQE(4)(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：zBPaACEC；并求當(dāng)BP=a,CQ=9a/2時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離(用含a的代數(shù)式表示)2 .AABC中，AB=AC,D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作/MDN=/B(1)如圖(1)當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E,不添加輔助線，寫出圖中所有與叢DE相似的三角形.(2)如圖(2),將/MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.(3)在圖(2)

21、中，若AB=AC=10,BC=12,當(dāng)ADEF的面積等于叢BC的面積的工時(shí)，求線段EF的長(zhǎng).313.如圖，點(diǎn)片在線段AC上，點(diǎn)|D、E在4c同側(cè)，ZA=ZC=90BD1BE,AD=BC。（1）求證：.4C=D+CE。（2）若勘=3,CE=5,點(diǎn)P為線段M上的動(dòng)點(diǎn)，連接DP,作PQLDP,交直線HE于點(diǎn)Q。當(dāng)點(diǎn)P與、R兩點(diǎn)不重合時(shí)，求?：”的值。當(dāng)點(diǎn)P從1點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，比例線段的證明，離不開“平行線模型（A A 型，X 型，線束型），也離不開上述的 6 種“相似*IIII 型”.但是“模型”只是工具，怎樣選擇工具，怎樣使用工具，怎

22、樣用好工具，取決于我們?nèi)绾嗡伎紗栴}.合理的思維方法，能讓模型成為解題的利刃，讓復(fù)雜的問題變簡(jiǎn)單。在本模塊中，我們將學(xué)比例式的證明中，會(huì)經(jīng)常用到的思維技巧技巧一：三點(diǎn)定型法技巧二：等線段代換技巧三：等比代換技巧四：等積代換技巧五：證等量先證等比技巧六：幾何計(jì)算技巧一：三點(diǎn)定型橫向與縱向觀察所證線段比列式（如果是等積式，則將其化為等比式）的分子分母，三個(gè)字母即可確定三角形，從而證三角形相似即可。BFABBE 一 BC1.如圖，在 RtABC 中,AD 是斜邊 BC 上的高,/ABC 的平分線 BEBE 交 ACAC 于 E E, ,交 AD 于D2 .如圖，平行四邊形 ABCD 中，E E 是 A

23、BAB 延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),DE 交 BC 于 F,求證：DCCFAEAD3 .如圖，ABC 中，/BAC=90*,M M 為 BC 的中點(diǎn)，DM_LBC 交 CA 的延長(zhǎng)線于 D D, ,交 ABAB于 E.E.求證：AMAM2=MDME=MDME=/FD4（等邊對(duì)等角）,4CF=/FD4+22【例 19如圖，在ABC,AD 平分/BAC,AD 的垂直平分線交 AD 于 E,交 BC 的延長(zhǎng)線于2.F,求證：FD=FBFC證明：連接 AF,2,:FE是 AD 的垂直平分線，=FD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等),33一力,1/7；一匕如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，點(diǎn) E E

24、在邊 BABA 的延長(zhǎng)線上，CE 交 AD 于 F,/ECA=/D求證：ACBE=CEAD如圖，4ACB 為等腰直角三角形，AB=AC,/BAC=90,/DAE=45,求證:_2AB=BECD如圖，ABC 中，AB=AC,AD 是中線，P P 是 AD 上一點(diǎn)，過 C 作 CF/AB,延長(zhǎng) BPBP 交 ACAC 于 E E,交 CF 于 F F.求證：BPBP2= =PEPF-PEPF-【例20【例21【例22模塊二比例式的證明方法之等比代換【例 23如圖， 平行四邊形 ABCDABCD 中， 過 B B 作直線 ACAC、 AD 于 O O, ,E E、 交 CDCD 的延長(zhǎng)線于 F,求證

25、： OB2=OEOF.證明：VAB/CE,35OAOF同理因?yàn)?AF/BC,可得=（）b由等式的傳遞性，問題即可得證OBOF=OE=OB，OB2=OE-OF.【例24如圖，在ABC 中，已知/A=90。時(shí)，AD_LBC 于 D,ED,E 為直角邊AC的中點(diǎn),過 D D、E E 作直線交ABAB 的延長(zhǎng)線于 F.F.求證：ABAF=ACDF.如圖，9BC中，/BAC=90,正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在小BC【例25如圖，在 4ABC 中(ABAC)的邊 ABAB 上取一點(diǎn) D D, ,在邊 ACAC 上取一點(diǎn) E E, ,使AD=AE,直線 DE 和 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P.求證：BPCE=CP

26、BD(1)如圖1,在叢BC中，點(diǎn)D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且BC,AQ交DE于點(diǎn)P,求證：DP=-PE;BQPC例8.DE/(2)的邊上，連接AG,AF分別交DE于M,N兩點(diǎn).如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長(zhǎng);如圖3,求證：MN2=DM?EN.模塊二比例式的證明方法之等積代換【例26如圖，ABC中， BDBD、 CE是高， EH_LBC于H、 交B BD D于G G、 交CA的延長(zhǎng)線于M.求證： HE2=HGMH.【例27如圖，在ABC 中，ZBAC=90=90, ,D D 為 ACAC 中點(diǎn)，AE_LBDAE_LBD, ,E E 為垂足，求證:/CBD=NECD.37C

27、C【例28】在 RtAABC 中，ADXBC,P 為 AD 中點(diǎn)，MN，BC,求證 MNMN2= =ANAN，NCNC11.如圖，已知 AABCAABC 中，AD,BF 分別為 BC,AC 邊上的高，過 D 作 AB 的垂線交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延長(zhǎng)線于 Ho 求證：DE2=EG?EH模塊二比例式的證明方法之證等量先證等比【例29】已知，平行四邊形 ABCD 中，E、F 分別在直線分別交 AC 于 M、N.,求證：AM=CN.【例30】已知如圖 AB=AC,BD/AC,AB/CE,過 A 點(diǎn)的直線分另交BD、CE 于 D、E.求證：AM=NC,MN/DE.AD、CD 上

28、，EF/AC,BE、BFBC【例31如圖，ABC 為等腰直角三角形，點(diǎn) P 為 AB 上任意一點(diǎn)，PFXBC,PEXAC,AF 交 PE 于 N,BE 交 PF 于 M.,求證：PM=PN,MN/AB.【例32如圖，正方形 BFDE 內(nèi)接于ABC,CE 與 DF 交于點(diǎn) N,AF 交 ED 于點(diǎn) M,CE 與 AF 交于點(diǎn) P.求證：(1)MN/AC;(2)EM=DN.【例33】()設(shè) E、F 分別為 AC、AB 的中點(diǎn)，D 為 BC 上一點(diǎn)，P 在 BF 上，DP/CF,39-_1-Q 在 CE 上，DQ/BE,PQ 交 BE 于 R,交 CF 于 S,求證：RS=RS=PQPQ3 3【例3

29、4（X）如圖，梯形 ABCD 的底邊 AB 上任取一點(diǎn) M,過 M 作 MK/BD,MN/AC,分別交 AD、BC于 K、N,連 KN,分別交對(duì)角線 AC、BD 于 P、Q,求證：KP=QN.模塊二比例式的證明方法之幾何計(jì)算【例35】（2016 年四月調(diào)考）如圖，在ABC 中，AOAB,AD 是角平分線，AE 是中線，BFLAD 于 G,交 AC 于點(diǎn) M,EG 的延長(zhǎng)線交 AB 于點(diǎn) H.（1）求證：AH=BH,（2）若/BAC=60,求FG的值.DG【例36】（2016 七一華源）如圖：正方形 ABCD 中，點(diǎn) E、點(diǎn) F、點(diǎn) G 分別在邊 BC、AB、HBCCD 上，/1=/2=/3=a 求證：（1）EF+EG=AE（2）求證：CE+CG=AF運(yùn)動(dòng)問題中經(jīng)常涉及沒有明確對(duì)應(yīng)關(guān)系的相似三角形，此時(shí)分類討論思想在動(dòng)態(tài)問題中尤其重要，應(yīng)充分考慮所有可能出現(xiàn)的情況避免遺漏。利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比列為等量關(guān)系，建立方程求解，進(jìn)而解決問題。1 .如圖， 在 RtAABC 中， /ACB=90,AC=3,BC=4,過點(diǎn) B 作射線 BB1/A