高一數(shù)學解三角形知識點總結及習題測驗練習

1、解三角形一、根底知識梳理一 a b c1正弦定理：=2R R為厶ABC外接圓半徑，了解正弦定理以sin A sin B sinC下變形：2aba 2Rs inA,b 2Rsi nB,c 2Rs inCa .cbcsin A,sinB-,sinC2R2R2Ra :b: csi nA:sin B:sinCabca b csin Asin BsinCsin Asin B sinC3.余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb22c2a2bcb22c2a2accosBcosB2c2ab22ca2c2ab22abcosCcosC2 ab22c最吊用三角形面積公式： Sabc aha -abs inC

2、 - acs in B - bcsi nA2 2 2 22正弦定理可解決兩類問題：兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；唯一解2.兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.解可能不唯一了解：a, b和A,用正弦定理求 B時的各種情況：4.余弦定理可以解決的問題：1 三邊，求三個角；解唯一2 兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角解唯一：3兩邊和其中一邊對角，求另一邊，進而可求其它的邊和角.解可能不唯一2課前熱身1.教材習題改編 ABC中，a=g b=J3, B = 60°那么角 A等于A.135 °B.90 °C.45 °D.30 °

3、;2.在厶ABC中，a2.2 2b cbc,那么A等于)A.60° B .45° C.120 °D .30°3. 在 ABC 中，假設 A = 120 ° AB = 5, BC = 7,那么 ABC 的面積是3 .315 .315 .315 . 3A. 4 B. 2 C. 4 D. 84. 2022年高考廣東卷a, b, c分別是 ABC的三個內角 A, B, C所對的邊，假設a= 1, b = 3, A+ C= 2B,貝U sinA=.5.5. 在 ABC中，如果 A= 60° c=Q2, a = 76,那么厶ABC的形狀是 .3考

4、點突破考點一正弦定理的應用利用正弦定理可解決以下兩類三角形：一是兩角和一角的對邊，求其他邊角；二是兩邊和一邊的對角，求其他邊角.例1、12022年高考山東卷在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c.假設a=磁，b = 2, sin B+ cos B=2，那么角 A 的大小為.滿足A= 45° a= 2, c=Q6的厶ABC的個數(shù)為 .考點二余弦定理的應用利用余弦定理可解兩類三角形：一是兩邊和它們的夾角，求其他邊角；二是三邊求其他邊角由于這兩種情況下的三角形是惟一確定的，所以其解也是惟一的.例2、在厶ABC中，內角A, B, C對邊的邊長分別是 a, b, c,c=

5、 2, C= n31假設厶ABC的面積等于，3，求a, b的值；假設sinB= 2$"人，求厶ABC的面積.考點三 三角形形狀的判定判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考， 主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形與“等 腰三角形或直角三角形的區(qū)別.例3、(2022年高考遼寧卷)在厶ABC中，a, b, c分別為內角 A, B, C的對邊，且2asin A = (2b + c)sin B + (2c + b)sin C.求A的大??； 假設sinB + sinC = 1，試判斷厶ABC的形狀.互動探究1假設本例條件變

6、為：sinC = 2si n(B + C)cosB，試判斷三角形的形狀.方法感悟：方法技巧解三角形常見題型及求解方法a b c(1)兩角 A、B與一邊a,由A + B+ C= 180 °及打敢=打石=sinC，可求出角 C 再求出b,c.兩邊b, c與其夾角A，由a2= b2+ c2 2bccosA,求出a,再由正弦定理，求出角B,C.(3)三邊a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.ab兩邊a、b及其中一邊的對角A,由正弦定理snB求出另一邊b的對角B,由Cacab=n(A+ B),求出C,再由snA =尿，求出c,而通過snA =而求B時，可能出現(xiàn)一解,兩解或無解的情況，其判斷

7、方法如下表：4=90°r 一解r 一解一解ab一解a<b兩解aAsim/l一解a<bsinA無解失誤防范1用正弦定理解三角形時，要注意解題的完整性，謹防丟解.2要熟記一些常見結論，如三內角成等差數(shù)列，那么必有一角為60°假設三內角的正弦值成等差數(shù)列，那么三邊也成等差數(shù)列；三角形的內角和定理與誘導公式結合產生的結論：sinA =A B + C _sin(B + C), cosA= cos(B+ C), sin = cos-, sin2A= sin2(B + C), cos2A = cos2(B+ C)等.3 對三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性進行適當

8、“放縮.五、標準解答(此題總分值12分)(2022年高考大綱全國卷n )在厶ABC中，D為邊BC上的一點，BD=5333, sinB=乜，cos/ ADC= 5,求 AD 的長.3n【解】由cos/ ADC = >0知/ B<r,5212 4由得 cosB= 12, sin/ ADC = 4, 4 分13 5從而 sin/ BAD = sin( / ADC / B)=sin / ADCcosB cos/ ADC sinB4 123 533 八=一 一一一 一=9 分5 13 5 1365 分由正弦定理得佬=BD ；,sinB sin / BAD所以AD=BDs inBsin / B

9、AD33=25.12 分65【名師點評】此題主要考查正弦定理、三角恒等變換在解三角形中的應用，同時，對邏輯推理能力及運算求解能力進行了考查此題從所處位置及解答過程來看，難度在中檔以下， 只要能分析清各量的關系，此題一般不失分出錯的原因主要是計算問題.名師預測1 .在 ABC 中,2、23C._63a = 15, b= 10, A = 60° 貝U cosB =( B麵3.6DE2 . ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且 Sabc=a2+ b2 g24，那么角C=3.在 ABC 中，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,且滿足(2b c) cosA acosC= 0.

10、(1)求角A的大?。患僭Oa = . 3, Saabc=，試判斷厶ABC的形狀，并說明理由.解：(1)法一：T (2b c)cosA acosC= 0,由正弦定理得，(2si nB si nC)cosA sin AcosC = 0,/ 2si nBcosA si n(A + C) = 0,即 sinB(2cosA 1) = 0./ 0<B< n,1 sinB 和,/ cosA =n 0<A<n A法二：/ (2b c)cosA acosC = 0,由余弦定理得,=0,b2+ c2 a2a2+ b2 c2(2b c) 2bC a 20b整理得 b2+ c2 a2= bc,c

11、osA =b2+ c2 a22bc=12.n os, A= n(2) 1Sa abc = bcsi nA =3 .3T，即 bcsinn=冷3,bc= 3,/ a2= b2 + c2 2bccosA, b2 + c2 = 6,由得b= c= 3, ABC為等邊三角形.課后作業(yè)A. 900B. 1200C. 1350 D. 15001在厶ABC中，角代B均為銳角，且cosA sin B,那么厶ABC的形狀是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形2邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()3在Rt ABC中，C 900，那么sin AsinB的最大值是 .4在厶ABC中，假設a b bc c ,那么A .5 ABC的三個內角分別為 A, B, C,向量m (sin B,1 cosB)與向量n (2,0)夾1角的余弦角為-.2(I)求角B的大??；(n)求s