高一數(shù)學(xué)解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題測(cè)驗(yàn)練習(xí)

1、解三角形一、根底知識(shí)梳理一 a b c1正弦定理：=2R R為厶ABC外接圓半徑，了解正弦定理以sin A sin B sinC下變形：2aba 2Rs inA,b 2Rsi nB,c 2Rs inCa .cbcsin A,sinB-,sinC2R2R2Ra :b: csi nA:sin B:sinCabca b csin Asin BsinCsin Asin B sinC3.余弦定理：a2b2c22bccosAcosAb22c2a2bcb22c2a2accosBcosB2c2ab22ca2c2ab22abcosCcosC2 ab22c最吊用三角形面積公式： Sabc aha -abs inC

2、 - acs in B - bcsi nA2 2 2 22正弦定理可解決兩類問(wèn)題：兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；唯一解2.兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角.解可能不唯一了解：a, b和A,用正弦定理求 B時(shí)的各種情況：4.余弦定理可以解決的問(wèn)題：1 三邊，求三個(gè)角；解唯一2 兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角解唯一：3兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊，進(jìn)而可求其它的邊和角.解可能不唯一2課前熱身1.教材習(xí)題改編 ABC中，a=g b=J3, B = 60°那么角 A等于A.135 °B.90 °C.45 °D.30 °

3、;2.在厶ABC中，a2.2 2b cbc,那么A等于)A.60° B .45° C.120 °D .30°3. 在 ABC 中，假設(shè) A = 120 ° AB = 5, BC = 7,那么 ABC 的面積是3 .315 .315 .315 . 3A. 4 B. 2 C. 4 D. 84. 2022年高考廣東卷a, b, c分別是 ABC的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C所對(duì)的邊，假設(shè)a= 1, b = 3, A+ C= 2B,貝U sinA=.5.5. 在 ABC中，如果 A= 60° c=Q2, a = 76,那么厶ABC的形狀是 .3考

4、點(diǎn)突破考點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用利用正弦定理可解決以下兩類三角形：一是兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊角；二是兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊角.例1、12022年高考山東卷在厶ABC中，角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c.假設(shè)a=磁，b = 2, sin B+ cos B=2，那么角 A 的大小為.滿足A= 45° a= 2, c=Q6的厶ABC的個(gè)數(shù)為 .考點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用利用余弦定理可解兩類三角形：一是兩邊和它們的夾角，求其他邊角；二是三邊求其他邊角由于這兩種情況下的三角形是惟一確定的，所以其解也是惟一的.例2、在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是 a, b, c,c=

5、 2, C= n31假設(shè)厶ABC的面積等于，3，求a, b的值；假設(shè)sinB= 2$"人，求厶ABC的面積.考點(diǎn)三 三角形形狀的判定判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考， 主要看其是否是正三角形、等 腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形與“等 腰三角形或直角三角形的區(qū)別.例3、(2022年高考遼寧卷)在厶ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角 A, B, C的對(duì)邊，且2asin A = (2b + c)sin B + (2c + b)sin C.求A的大小； 假設(shè)sinB + sinC = 1，試判斷厶ABC的形狀.互動(dòng)探究1假設(shè)本例條件變

6、為：sinC = 2si n(B + C)cosB，試判斷三角形的形狀.方法感悟：方法技巧解三角形常見(jiàn)題型及求解方法a b c(1)兩角 A、B與一邊a,由A + B+ C= 180 °及打敢=打石=sinC，可求出角 C 再求出b,c.兩邊b, c與其夾角A，由a2= b2+ c2 2bccosA,求出a,再由正弦定理，求出角B,C.(3)三邊a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C.ab兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角A,由正弦定理snB求出另一邊b的對(duì)角B,由Cacab=n(A+ B),求出C,再由snA =尿，求出c,而通過(guò)snA =而求B時(shí)，可能出現(xiàn)一解,兩解或無(wú)解的情況，其判斷

7、方法如下表：4=90°r 一解r 一解一解ab一解a<b兩解aAsim/l一解a<bsinA無(wú)解失誤防范1用正弦定理解三角形時(shí)，要注意解題的完整性，謹(jǐn)防丟解.2要熟記一些常見(jiàn)結(jié)論，如三內(nèi)角成等差數(shù)列，那么必有一角為60°假設(shè)三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列，那么三邊也成等差數(shù)列；三角形的內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)論：sinA =A B + C _sin(B + C), cosA= cos(B+ C), sin = cos-, sin2A= sin2(B + C), cos2A = cos2(B+ C)等.3 對(duì)三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性進(jìn)行適當(dāng)

8、“放縮.五、標(biāo)準(zhǔn)解答(此題總分值12分)(2022年高考大綱全國(guó)卷n )在厶ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD=5333, sinB=乜，cos/ ADC= 5,求 AD 的長(zhǎng).3n【解】由cos/ ADC = >0知/ B<r,5212 4由得 cosB= 12, sin/ ADC = 4, 4 分13 5從而 sin/ BAD = sin( / ADC / B)=sin / ADCcosB cos/ ADC sinB4 123 533 八=一 一一一 一=9 分5 13 5 1365 分由正弦定理得佬=BD ；,sinB sin / BAD所以AD=BDs inBsin / B

9、AD33=25.12 分65【名師點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正弦定理、三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)，對(duì)邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力進(jìn)行了考查此題從所處位置及解答過(guò)程來(lái)看，難度在中檔以下， 只要能分析清各量的關(guān)系，此題一般不失分出錯(cuò)的原因主要是計(jì)算問(wèn)題.名師預(yù)測(cè)1 .在 ABC 中,2、23C._63a = 15, b= 10, A = 60° 貝U cosB =( B麵3.6DE2 . ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且 Sabc=a2+ b2 g24，那么角C=3.在 ABC 中，角 A、B、C 的對(duì)邊分別為 a、b、c,且滿足(2b c) cosA acosC= 0.

10、(1)求角A的大?。患僭O(shè)a = . 3, Saabc=，試判斷厶ABC的形狀，并說(shuō)明理由.解：(1)法一：T (2b c)cosA acosC= 0,由正弦定理得，(2si nB si nC)cosA sin AcosC = 0,/ 2si nBcosA si n(A + C) = 0,即 sinB(2cosA 1) = 0./ 0<B< n,1 sinB 和,/ cosA =n 0<A<n A法二：/ (2b c)cosA acosC = 0,由余弦定理得,=0,b2+ c2 a2a2+ b2 c2(2b c) 2bC a 20b整理得 b2+ c2 a2= bc,c

11、osA =b2+ c2 a22bc=12.n os, A= n(2) 1Sa abc = bcsi nA =3 .3T，即 bcsinn=冷3,bc= 3,/ a2= b2 + c2 2bccosA, b2 + c2 = 6,由得b= c= 3, ABC為等邊三角形.課后作業(yè)A. 900B. 1200C. 1350 D. 15001在厶ABC中，角代B均為銳角，且cosA sin B,那么厶ABC的形狀是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形2邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是()3在Rt ABC中，C 900，那么sin AsinB的最大值是 .4在厶ABC中，假設(shè)a b bc c ,那么A .5 ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為 A, B, C,向量m (sin B,1 cosB)與向量n (2,0)夾1角的余弦角為-.2(I)求角B的大??；(n)求s