電磁場與電磁波,曹祥玉第6章

1、第6章 時變電磁場 第6章 時變電磁場 6.1 6.1 法拉第電磁感應(yīng)定理法拉第電磁感應(yīng)定理6.2 6.2 位移電流和麥克斯韋第一方程位移電流和麥克斯韋第一方程6.3 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組6.4 6.4 電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件 6.5 6.5 電磁能量電磁能量坡印廷定理坡印廷定理 6.6 6.6 波動方程波動方程 6.7 6.7 正弦電磁場正弦電磁場 第6章 時變電磁場 6.1法拉第電磁感應(yīng)定理法拉第電磁感應(yīng)定理 在人類對于電磁相互轉(zhuǎn)換的認識上，法拉第起到了關(guān)鍵的作用。奧斯特首先發(fā)現(xiàn)電可轉(zhuǎn)換為磁（即線圈可等效為磁鐵），而法拉第堅信磁也可轉(zhuǎn)換為電。經(jīng)過長時間無數(shù)次的實驗，183

2、1年法拉第首次發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象。當穿過閉合導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中就會產(chǎn)生感應(yīng)電流，這表明回路中感應(yīng)了電動勢，這就是法拉第電磁感應(yīng)定律，可表示為 ddt （6-1） 第6章 時變電磁場 式中的負號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙原磁通的變化。這里規(guī)定感應(yīng)電動勢的正方向和磁通正方向之間存在右手螺旋關(guān)系，如圖6-1所示。式（6-1）表示任何時刻回路中感應(yīng)電動勢的大小和方向。感應(yīng)電動勢的方向也可以表述如下：感應(yīng)電動勢的方向總是企圖阻止回路中磁通的變化。當穿過回路的磁通增大時，感應(yīng)電動勢的方向是將以它自己產(chǎn)生的電流引起的磁通來抵消原來的磁通；而當穿過回路的磁通減小時，感應(yīng)電動勢將以它自己產(chǎn)生的

3、電流引起的磁通來補充原來的磁通。 第6章 時變電磁場 圖6-1感應(yīng)電動勢的參考方向 第6章 時變電磁場 因為導(dǎo)體回路上的電流是電場力推動電荷作定向運動而形成的，所以導(dǎo)體回路上有感應(yīng)電流就表明空間有電場存在?？梢?，磁場的變化要在其周圍空間激發(fā)電場。這種電場不同于靜電場，不是由電荷激發(fā)的，通常稱這種電場為感應(yīng)電場。因此，閉合回路中的感應(yīng)電動勢又可用感應(yīng)電場強度E E沿整個閉合回路的線積分來表示，即 dlEl （6-2） 式中E是回路l上線元dl處的電場強度。 第6章 時變電磁場 而穿過回路的磁通量為 dsBS （6-3） 因而法拉第電磁感應(yīng)定律式（6-1）可以寫成 ddlsElBSt （6-4）

4、式（6-4）為法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式，也稱麥克斯韋第二方程的積分形式。 第6章 時變電磁場 實驗發(fā)現(xiàn)，感應(yīng)電動勢的大小與隨時間的變化率有關(guān)，而與引起變化時的物理因素無關(guān)。因此，這個定律既適用于導(dǎo)體不動磁場變化的情形，也適用于導(dǎo)體運動而磁場不變的情形。分析引起回路磁通量發(fā)生變化的情形不外乎下面三種：（1）回路不變，磁場B隨時間變化。 因為 dSBS所以 dddSBStt 第6章 時變電磁場 圖6-2變壓器工作原理圖 第6章 時變電磁場 （2）磁場B不隨時間變化，而回路切割磁力線運動。我們知道，當導(dǎo)體以速度v在磁場中運動時，導(dǎo)體中的電荷以速度v相對于磁場運動，因而受到一個磁場力（洛侖茲力），

5、即 FqvB（6-5） 它與運動方向和磁場方向相垂直。電荷在磁場力作用下對導(dǎo)體發(fā)生相對運動，其結(jié)果是在導(dǎo)體的一端聚積正電荷，另一端聚積負電荷，說明在導(dǎo)體中出現(xiàn)了感應(yīng)電場，即 FEvBq（6-6）第6章 時變電磁場 感應(yīng)電場產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 ddllElvBl（6-7） 這樣產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢叫做動生電動勢，這正是圖6-3所示的發(fā)電機工作原理。 第6章 時變電磁場 圖6-3發(fā)電機工作原理圖 第6章 時變電磁場 （3）磁場B隨時間變化，同時回路切割磁力線運動。這時的感應(yīng)電動勢是感生電動勢和動生電動勢的疊加，即dddllsBElvBlSt（6-8） 在理解電磁感應(yīng)現(xiàn)象時，感應(yīng)電動勢是比感應(yīng)電流更為本

6、質(zhì)的物理量。因此，電磁感應(yīng)定律可以推廣到任意媒質(zhì)內(nèi)的假想回路中，電磁波的發(fā)現(xiàn)完全證明了這一假設(shè)是正確的。第6章 時變電磁場 法拉第定律的微分形式可以直接由式（6-4）式導(dǎo)出，即 dddlssElESBSt d0sBESt（6-9） （6-10） 因為S是任意的表面，所以式(6-10)中被積函數(shù)必須等于零，于是我們得到 BEt （6-11）第6章 時變電磁場 6.2位移電流和麥克斯韋第一方程位移電流和麥克斯韋第一方程 感應(yīng)電場的概念揭開了電場與磁場聯(lián)系的一個方面變化的磁場產(chǎn)生電場。在研究從庫侖到法拉第等前人成果的基礎(chǔ)上，深信電場、磁場有著密切關(guān)系且具有對稱性的麥克斯韋，通過解決安培環(huán)路定律用于時

7、變場時出現(xiàn)的矛盾，提出了位移電流的假說，揭示了電場與磁場聯(lián)系的另一個方面變化的電場產(chǎn)生磁場。已知恒定磁場中的安培環(huán)路定律 HJ（6-12） 第6章 時變電磁場 是在穩(wěn)定情況下導(dǎo)出的，其中J代表傳導(dǎo)電流。對H=J兩端取散度，有 ()HJ 因為()0H 所以 0J（6-13） 但是在時變場中，根據(jù)電荷守恒定律應(yīng)有 Jt （6-14）比較式（6-13）式與式（6-14），可見安培環(huán)路定律與電荷守恒定律出現(xiàn)了矛盾。 第6章 時變電磁場 圖6-4平板電容器 第6章 時變電磁場 如圖6-4所示，作閉合曲線c與回路鉸鏈，由式（6-12）安培環(huán)路定理，經(jīng)過S1面時，。而經(jīng)過S2面時，由于沒有電流流過，則。顯然

8、，結(jié)果出現(xiàn)了矛盾。上述矛盾導(dǎo)致麥克斯韋斷言：電容器中必有電流存在。由于該電流不能由傳導(dǎo)產(chǎn)生，麥克斯韋稱其為“位移電流”。電荷守恒定律是大量實驗總結(jié)的普遍規(guī)律，而安培環(huán)路定律則是根據(jù)穩(wěn)恒電流的實驗定律導(dǎo)出的特殊規(guī)律。為此，麥克斯韋在安培定理中加入一項，以保證它對時變場也是正確的。我們可由高斯定理和電荷守恒定理得出此項。 ccH dli ccH dli 第6章 時變電磁場 假設(shè)靜電場中的高斯定理D=仍然成立并把它代入電荷守恒定律公式，得 DJDtt 或 0DJt（6-15）式（6-15）稱為全電流連續(xù)方程，其中是電位移矢量隨時間的變化率，它的單位是安培/米2(A/m2=(F/m)(V/m)(1/s

9、)=C/(m2s)，與電流密度的單位一致，因此稱為位移電流密度，記為 DtdDJt（6-16）第6章 時變電磁場 在介質(zhì)中，由于 0DEP因此位移電流密度為d0EPJtt（6-17） 式（6-17）說明，在介質(zhì)中位移電流由兩部分構(gòu)成，一部分是由隨時間變化的電場引起的，它在真空中同樣存在，它并不代表任何形式的電荷運動，只是在產(chǎn)生磁效應(yīng)方面和一般意義下的電流等效。另一部分是由于極化強度的變化引起的，稱為極化電流，它代表束縛于原子中的電荷運動。 第6章 時變電磁場 位移電流的引入推廣了電流的概念。平常所說的電流是電荷作有規(guī)則的運動形成的，在導(dǎo)體中，它就是自由電子定向運動形成的傳導(dǎo)電流，設(shè)導(dǎo)體的電導(dǎo)率

10、為，其傳導(dǎo)電流密度Jc=E；在真空或氣體中，帶電粒子的定向運動也形成電流，稱為運流電流，設(shè)電荷運動速度為v，其運流電流密度Jv=v。位移電流并不代表電荷的運動，它與傳導(dǎo)電流和運流電流不同。傳導(dǎo)電流、運流電流以及位移電流之和稱為全電流，即 totalcvdJJJJ（6-18）式（6-15）中的J=Jc+Jv，其中Jc和Jv分別存于不同媒質(zhì)中。固體導(dǎo)電媒質(zhì)0，只有傳導(dǎo)電流Jc ，沒有運流電流Jv=0。 第6章 時變電磁場 式（6-15）比式（6-13）增加了一項位移電流密度，從而解除了圖6-4中電流不連續(xù)的困擾。事實上，在傳導(dǎo)電流ic流進封閉曲面S2的時刻，電容器極板被充電，電介質(zhì)中的電位移矢量增

11、大，產(chǎn)生位移電流，即 2ddSDiSt id流出該封閉曲面，形成全電流的連續(xù)。于是麥克斯韋把安培環(huán)路定律修改為 DHJt（6-19） 第6章 時變電磁場 對式（6-19）應(yīng)用斯托克斯（Stokes）定理，得到全安培環(huán)路定理的積分形式： csDH dlJd St（6-20） 靜態(tài)場可看成的特例。此時，式（6-19）退化為H=J。這樣，全安培環(huán)路定理就具有普遍的意義，而且在時變電磁場中，高斯定律 0DtD不必作任何改動，也不會發(fā)生新的矛盾。如果J=0，則式（6-19）簡化為 DHt第6章 時變電磁場 【例6-1】如圖6-5所示，已知平板電容器面積為S，相距為d，介電常數(shù)為，極板間電壓uc=V0si

12、nt，求：（1）位移電流id和傳導(dǎo)電流ic。（2）求距離導(dǎo)線r處的磁場強度。 圖6-5例6-1用圖 第6章 時變電磁場 解解（1）假設(shè)電壓uc在兩極板間的介質(zhì)中建立的電場強度均勻分布，忽略邊緣效應(yīng)，則有 cuEdoVD= E= sintd位移電流為 didscoscostooADVAtAVtdd根據(jù)已知條件，平板電容器電容為 ACd第6章 時變電磁場 導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流為 dcoscosdccoovAi =C=CV t=V ttd比較可知：id=ic。 第6章 時變電磁場 （2）距離導(dǎo)線r處的磁場強度可利用安培環(huán)路定理求出。參見圖6-4，做圍線c，但是以c為邊緣的開曲面有兩種，一種是曲面S1，另

13、一種是通過電介質(zhì)區(qū)域的曲面S2。不論哪一種，都滿足 ddcdcsDHlJsiit由于導(dǎo)線本身的對稱性，磁場只有H分量，因此方程左邊為 d2cHlrH 第6章 時變電磁場 對于面S1，方程右邊只有第一項不等于零。因為沿導(dǎo)線沒有電荷積累，D=0，所以第二項等于零，即 dcoscosJsiCVt對于曲面S2，由于穿過電介質(zhì)，不可能有傳導(dǎo)電流流過，因此ic0。如果沒有位移電流，則方程右邊等于零，出現(xiàn)與前者相矛盾的情形。但是因為麥克斯韋引入位移電流，上述矛盾迎刃而解，正如（1）中已經(jīng)證明的那樣id=ic，所以，無論取S1面還是S2面，結(jié)果都是相同的: cos2oCVtHr第6章 時變電磁場 【例6-2】

14、已知自由空間的磁場強度為H=H0siney(A/m)，此處=t-z，為常數(shù)。求：(1)位移電流密度；(2)電場強度。 解解自由空間的傳導(dǎo)電流密度為零。這樣由式（6-17），位移電流密度等于H，亦即 000200sin0sin sin cos(/m )xyzzxeeeDtxyzHDHHetxHeA 第6章 時變電磁場 這樣，位移電流密度的幅值為H0(A/m2)。將位移電流密度對時間積分，即得電通密度為 20sin(/m )xDHe C最后，自由空間的電場強度為 000sin(V/m)xDEHe第6章 時變電磁場 6.3麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 前面已經(jīng)得到了麥克斯韋第一、第二方程。再將靜態(tài)場

15、中的高斯定理以及磁通連續(xù)性原理推廣應(yīng)用到時變場中，就得到麥克斯韋方程組的微分形式，即 DHJt（6-21a） BEt （6-21b） 0BD（6-21c） （6-21d） 第6章 時變電磁場 方程組的積分形式為 d() dlsDHlJst（6-22a） ddlsBsElt （6-22b） d0sBs （6-22c） dsDsq （6-22d） 第6章 時變電磁場 6.3.16.3.1麥克斯韋方程組中的獨立方程與非獨立方程麥克斯韋方程組中的獨立方程與非獨立方程麥克斯韋方程組的四個方程并不完全獨立，其中兩個旋度方程以及電流連續(xù)性方程是獨立方程，即 DHJt（6-23a） BEt （6-23b） J

16、t （6-23c） 第6章 時變電磁場 由這三個獨立方程可以導(dǎo)出麥克斯韋方程組中的兩個散度方程。對式（6-23a）兩邊取散度運算： DHJt 由于(H)=0，考慮到電流連續(xù)性方程，可得到 Jt 0DDttt因此D=，即為式（6-21d） 第6章 時變電磁場 因此兩個旋度方程及電流連續(xù)性方程是獨立方程，兩個散度方程是非獨立方程。但是，這兩個散度方程并不是多余的。根據(jù)亥姆霍茲定理，一個在無窮遠處趨于零的矢量場是由它的散度和旋度共同唯一確定的。這里需要說明的是，獨立方程與非獨立方程的區(qū)分不是絕對的，但是麥克斯韋方程組四個方程中只有三個是獨立的，可組成七個標量方程。這七個標量方程中共有五個未知矢量（E

17、、D、B、H和J）和一個未知標量，共16個未知標量。要確定這16個未知量還必須補充另外9個獨立的標量方程。這9個獨立的方程就是D與E，B和H以及J與E之間的關(guān)系式，這些關(guān)系式又被稱為介質(zhì)電磁性質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式或麥克斯韋方程組的輔助方程，它們描述的是媒質(zhì)的存在對電磁場的影響。 第6章 時變電磁場 一般而言，表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為 0DEP0BHMEJ(6-24a) (6-24b) (6-24c) 對于各向同性的線性媒質(zhì)，則有 0rDEE (6-25a) 0rBHH (6-25b) EJ(6-25c) 第6章 時變電磁場 6.3.26.3.2麥克斯韋方程組的限定形式與非限定形式麥克斯韋方程

18、組的限定形式與非限定形式麥克斯韋方程組適用于任何媒質(zhì)，不受限制，因此稱做麥克斯韋方程組的非限定形式。利用媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系可消去非限定形式中的D、B、J，此時麥克斯韋方程組可用E、H兩個矢量表示： ()DHJEEt（6-26a） ()EHt （6-26b） 0HE（6-26c） （6-26d） 第6章 時變電磁場 6.3.36.3.3麥克斯韋方程組的物理意義麥克斯韋方程組的物理意義麥克斯韋方程組是麥克斯韋繼承和發(fā)展了前人在電磁學(xué)方面的實踐和理論于1864年提出的，麥克斯韋方程組是宏觀電磁現(xiàn)象基本規(guī)律的高度概括和完整總結(jié)，它是分析各種經(jīng)典問題的出發(fā)點。第一方程稱為全電流安培環(huán)路定律，表明傳導(dǎo)電流和時

19、變的電場都能激發(fā)磁場，它們是磁場的渦旋源；第二方程稱為法拉第電磁感應(yīng)定律，表明時變的磁場可以激發(fā)電場，它是感應(yīng)電場的渦旋源；第三方程稱為磁通連續(xù)性原理，表明磁場是無源的，不存在“磁荷”，磁力線總是閉合的；第四方程稱為高斯定理，表明電荷是電場的通量源，電荷以發(fā)散的形式產(chǎn)生電場（變化的磁場以渦旋的形式產(chǎn)生電場）。仔細觀察麥克斯韋方程組，其蘊含了以下深刻的物理意義： 第6章 時變電磁場 （1）第一、第二方程左邊的物理量為磁(或電)，而右邊的物理量為電(或磁)。這中間的等號深刻揭示了電與磁的相互轉(zhuǎn)化，相互依賴，相互對立，共存于統(tǒng)一的電磁波中，見圖6-6。正是由于電不斷轉(zhuǎn)換為磁，而磁又不斷轉(zhuǎn)化為電，才會

20、發(fā)生能量交換和儲存。 第6章 時變電磁場 圖6-6電磁轉(zhuǎn)換 第6章 時變電磁場 人類對于電磁的相互轉(zhuǎn)化在認識上走了很多彎路。奧斯特首先發(fā)現(xiàn)電可轉(zhuǎn)化為磁(即線圈等效為磁鐵)，而法拉第堅信磁也可以轉(zhuǎn)化為電，但是無數(shù)次實驗均以失敗而告終。在10年后的一次實驗中，無意間把磁鐵一拔，奇跡出現(xiàn)了，連接線圈的電流計指針出現(xiàn)了晃動。這一實驗不僅證實了電磁轉(zhuǎn)換，而且明確了只有動磁才能轉(zhuǎn)換為電。然而電磁轉(zhuǎn)換只是為電磁波的出現(xiàn)提供了必要條件，例如圖6-7所示電磁振蕩也是典型的電磁轉(zhuǎn)換，但卻沒有引起波動。 第6章 時變電磁場 圖6-7電磁振蕩 第6章 時變電磁場 (2)從物理學(xué)角度來講，運算反映一種作用(Action

21、)。進一步研究麥克斯韋方程兩邊的運算，方程的左邊是空間的運算(旋度)；方程的右邊是時間的運算(導(dǎo)數(shù))，中間用等號連接。它深刻揭示了電(或磁)場任一地點的變化會轉(zhuǎn)化成磁(或電)場時間的變化；反過來，場的時間變化也會轉(zhuǎn)化成地點變化，構(gòu)成時空變換的四維空間。正是這種空間和時間的相互變化構(gòu)成了波動的外在形式。用通俗的一句話來說，即一個地點出現(xiàn)過的事物，過了一段時間又在另一地點出現(xiàn)了。 第6章 時變電磁場 （3）寫出麥克斯韋第一、第二方程的時諧表達式 HJD jEj B 表明電磁轉(zhuǎn)化有一個重要條件，即頻率。直流情況則沒有轉(zhuǎn)換。 第6章 時變電磁場 （4）麥克斯韋方程表明：不僅電荷和電流能激發(fā)電磁場，而且

22、變化著的電場和磁場可以互相激發(fā)。因此，在某處只要發(fā)生電磁擾動，由于電磁場互相激發(fā)，就會在緊鄰的地方激發(fā)起電磁場，在這些地方形成新的電磁擾動，新的擾動又在更遠一些地方激發(fā)起電磁場，如此繼續(xù)下去，形成電磁波的運動。由此可見，電磁擾動的傳播是不依賴于電荷、電流而獨立進行的。 第6章 時變電磁場 6.4電磁場的邊界條件電磁場的邊界條件 6.4.1場矢量場矢量D和和B的法向分量的邊界條件的法向分量的邊界條件先推導(dǎo)D的法向分量的邊界條件。為此，在分界面上取一扁平圓柱面高斯盒，如圖6-8所示。圓柱面的高度為h，上、下底面的面積為S，且很小，以致可認為每一底面上的場是均勻的。 第6章 時變電磁場 圖6-8法向

23、邊界 第6章 時變電磁場 將積分形式的麥克斯韋方程，即 ddSVDSV應(yīng)用到此高斯盒上。在h0的情形下，左端為(D2n-D1n)S；右端為高斯圓柱面內(nèi)的總自由電荷q=hS=SS，其中為界面上的自由電荷密度。故有 0limShh 2n1nSDD或 n21()SeDD（6-27）第6章 時變電磁場 在兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不存在自由電荷，即S=0，這時式(6-27)簡化為 21()0neDD（6-28）在理想導(dǎo)體和介質(zhì)的交界面上，導(dǎo)體內(nèi)部D=0，導(dǎo)體表面存在自由電荷，式（6-27）成為 nseD（6-29）同理，對于磁場B的法向分量的邊界條件，我們將積分形式的麥克斯韋方程，即 d0SBS 第6章

24、時變電磁場 應(yīng)用到扁平的圓柱面高斯盒上，在h0情況下有 n21()0eBB（6-30） 在理想導(dǎo)體表面有 0neB（6-31） 注意，上面各式中界面的法向單位矢量en是從介質(zhì)1指向介質(zhì)2的，理想導(dǎo)體表面的法向是表面的外法線方向。式（6-28）式（6-30）表明，在介質(zhì)與介質(zhì)的分界面上D和B的法向分量連續(xù)；在導(dǎo)體與介質(zhì)的分界面上，它們不連續(xù)，D的法向分量等于導(dǎo)體表面的面電荷密度，B的法向分量為零。 第6章 時變電磁場 6.4.2場矢量場矢量E和和H的切向分量的邊界條件的切向分量的邊界條件先推導(dǎo)H的切向分量的邊界條件。為此，我們在分界面上取一矩形回路，如圖6-9所示?；芈芬婚L邊在介質(zhì)1中，另一長邊

25、在介質(zhì)2中，且兩長邊都平行于界面。設(shè)矩形回路的高度為h，兩長邊的長度都為l，且很小，以致在每一長邊上各處的場強均相同。設(shè)矩形回路所圍面積的法線單位矢量為eSn，穿過此面積的傳導(dǎo)電流密度為J，分界面的法線單位矢量為en，界面上沿l的切線方向單位矢量為et。et、eSn、en三者滿足： 第6章 時變電磁場 圖6-9分界面上的矩形回路 第6章 時變電磁場 將積分形式的麥克斯韋方程，即 ddLSDHlJSt應(yīng)用于此矩形回路。在h0情況下，左端為(H2t-H1t)l；右端第一項為回路內(nèi)的總傳導(dǎo)電流JS=JhleSn=JSeSnl，其中是界面上的面電流密度，第二項為回路內(nèi)的總位移電流，由于回路所圍的面積趨

26、于零，而為有限值，故在h0時 ，于是得到 0limShJJ h Dtd0SDSt 2t1tSSnHHJe第6章 時變電磁場 或 21n()tSSeHHJe由于eSnes=et，并且注意到(eSnen)H=(enH)eSn，因此有 n21Sn()nSSeHHeJe因eSn的方向是任意的，故有 21()nSeHHJ（6-32）這就是H的切向分量的邊界條件。在介質(zhì)與介質(zhì)的交界面上傳導(dǎo)電流不存在，故有 21()0neHH（6-33） 第6章 時變電磁場 在理想導(dǎo)體表面存在傳導(dǎo)電流，但其內(nèi)部場為零，故有 nSeHJ（6-34） 同理，對E的切向分量的邊界條件，可將積分形式的麥克斯韋方程，即 ddlsBE

27、lSt 應(yīng)用到矩形回路上，考慮到 在界面上為有限值，在h0的情況下： Bt21210()0ttnEEeEE或（6-35） 第6章 時變電磁場 在理想導(dǎo)體表面有 n0eE（6-36） 綜上所述，電磁場邊界條件的普遍形式為 2121212121212121()()0()()0nsnnsnnnnSttSntteDDDDeBBBBeHHJHHJeEEEE或或或或在介質(zhì)與介質(zhì)面上有 21212121,nnnnttttDDBBHHEE第6章 時變電磁場 在理想導(dǎo)體表面上有 ,0,0nsntStDBHJE同時在分界面兩側(cè)，自由面電流密度和自由面電荷密度滿足電流連續(xù)性方程： stsJt 第6章 時變電磁場 【

28、例6-3】設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，在z 0 一 側(cè) 為 理 想 導(dǎo) 體 ， 分 界 面 處 的 磁 場 強 度 為H(x,y,0,t)=exH0sinaxcos(t-ay)。試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場強度。 解解根據(jù)理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件，可求得理想導(dǎo)體表面上的電流分布為 00sincossincosSzxyJnHee Haxtaye Haxtay第6章 時變電磁場 由分界面上的電流連續(xù)性方程，得 stsJt 00sincossinsinsHaxtaytyaHaxtay0sincos,saHaxtayc x y假設(shè)t=0時，S=0。由邊界條件e

29、nD=S以及en的方向可 0, ,0,sincoszaHD x yteaxtay00, ,0,sincoszaHE x yteaxtay第6章 時變電磁場 6.5電磁能量電磁能量坡印廷定理坡印廷定理 電磁場是一種物質(zhì)，它也具有能量。已知靜電場的能量體密度為，靜磁場的能量體密度為。而時變電磁場中出現(xiàn)的一個重要現(xiàn)象是能量的流動，因為電場能量密度隨電場強度變化，磁場能量密度隨磁場變化，而能量是守恒的，故能量密度的變化必然伴隨能量的流動。我們定義單位時間內(nèi)穿過與能量流動方向垂直的單位表面的能量為能流密度矢量，其方向為該點能量流動方向。 21122ewED E21122mwHB H第6章 時變電磁場 電

30、磁能量和其他能量一樣服從能量守恒定理。利用這個原理與場中一個閉合面包圍的體積，可導(dǎo)出用場量表示的能量守恒關(guān)系，即坡印廷定理和能流密度矢量的表達式。假設(shè)閉合面S包圍的體積V內(nèi)無外加源，且介質(zhì)是均勻和各向同性的，利用矢量恒等式及麥克斯韋方程，即 DHJt(6-37a) BEt (6-37b) 第6章 時變電磁場 用H點乘式（6-37b），E點乘式（6-37a），然后將所得的兩式相減便得 DBHEEHEJ EHtt 根據(jù)矢量恒等式(EH)=H(E)-E(H)，可得 DBEHEJ EHtt （6-38） 假設(shè)媒質(zhì)是線性、各向同性的，并且介質(zhì)的參數(shù)不隨時間和場強改變，于是有 1()21()2mBHHHH

31、BtttBHHBttB Htwt（6-39） 第6章 時變電磁場 1()21()2eDEEEEDtttDEEDttD Etwt（6-40） 2TJ EEp式中wm和we分別是磁場能量密度和電場能量密度，pT是單位體積中變?yōu)榻苟鸁岬墓β?，從而式?-38）變?yōu)?()()meTEHwwpt （6-41） 第6章 時變電磁場 取式(6-41)對體積V的積分得 ()d()ddmeTVVVEHVwwVpVt 應(yīng)用高斯定理將左邊的體積分變?yōu)槊娣e分，同時改變方程兩邊的符號得 () d()dd()meTsVVmeTEHSwwVpVtWWPt式(6-42)右邊第一項是體積V內(nèi)單位時間電場和磁場能量的增加量，第二

32、項是體積V內(nèi)單位時間歐姆損耗功率；左邊的面積分應(yīng)是單位時間經(jīng)過閉合面S進入體積V內(nèi)的功率。式（6-45）稱為坡印廷定理，是能量守恒定律在電磁場中的一種表現(xiàn)形式。 第6章 時變電磁場 式（6-42）左邊的面積分去掉負號表示穿出閉合面的功率。被積函數(shù)EH是一個具有單位表面功率量綱的矢量，我們把它定義為能流密度矢量，用S表示為 SEH（6-43） S也稱坡印廷矢量，單位是W/m2(瓦/米2)。由式（6-43）可以看出，坡印廷矢量的方向就是能量流動的方向，S總是垂直于E、H，且服從E到H的右手螺旋法則。只要已知空間任一點的電場和磁場，便可知該點電磁功率流密度的大小和方向，因此坡印廷矢量是時變電磁場中一

33、個重要的物理量。 第6章 時變電磁場 【例6-4】設(shè)同軸傳輸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，兩導(dǎo)體間填充均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體載有電流I，兩導(dǎo)體間外加電壓為U。（1）在導(dǎo)體的電導(dǎo)率=的情形下計算介質(zhì)中的能流和傳輸功率；（2）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進入內(nèi)導(dǎo)體的能流，并證明它等于導(dǎo)體的損耗功率。解解（1）在內(nèi)外導(dǎo)體間(arb)取一半徑為r的圓形路徑L，用安培環(huán)路定律可得 12Hr第6章 時變電磁場 由對稱性可判斷內(nèi)外導(dǎo)體僅有徑向電場分量Er，設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度的電荷為，應(yīng)用高斯定理有 2rEr兩導(dǎo)體間的電壓為 dln2brabUE ra電場強度又可表示為 lnrUEbra第6

34、章 時變電磁場 能流密度為 22lnzUISEHebra將S對兩導(dǎo)體間的圓環(huán)狀截面積分得到傳輸功率為 202dd d2lnlnbbzzaaUIUIrPee rrUIbbrraa 可見，沿電纜傳輸?shù)墓β实扔陔妷汉碗娏鞯某朔e，這是大家熟知的結(jié)果。有趣的是，這個結(jié)果是在不包括導(dǎo)體本身在內(nèi)的截面上積分得到的。由此可見，由于理想導(dǎo)體內(nèi)部的電磁場為零，因而理想同軸電纜在傳輸能量時，功率全部是從內(nèi)外界間的絕緣介質(zhì)中通過的，即能量是由場攜帶的，導(dǎo)體本身并不傳輸能量。 第6章 時變電磁場 （2）當導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，由歐姆定律可得導(dǎo)體內(nèi)的電場為 2zJIEea由于切向電場在界面上是連續(xù)的，在內(nèi)導(dǎo)體表面附近的

35、介質(zhì)中，電場除有徑向分量Er之外還有切向分量Ez，即 2zr aIEa因此，能流密度矢量S除了沿z方向傳輸?shù)姆至縎z外，還有一個沿徑向進入導(dǎo)體內(nèi)的分量，即 232rzISEHa第6章 時變電磁場 式中Sr前的負號表示能流是沿-r的方向流進內(nèi)導(dǎo)體的。流進長度為L的一段內(nèi)導(dǎo)體的功率為 222220()LrIIPS dadzLI Raa柱面式中，為該段導(dǎo)體的電阻。I2R正是這段導(dǎo)體內(nèi)的損耗功率。 2LRa第6章 時變電磁場 6.6波動方程波動方程 6.6.16.6.1電磁場的波動性電磁場的波動性麥克斯韋方程揭示出這樣一個事實，在隨時間變化的情形下，電磁場具有波動性質(zhì)。假設(shè)在真空中某一區(qū)域內(nèi)存在一種迅

36、速變化的電荷電流分布，而在這個區(qū)域外的空間中，電荷及電流密度處處為零，我們來研究此空間中電磁場的運動變化。在無源空間，=0，電場和磁場互相激發(fā)，電磁場的運動規(guī)律滿足下列無源區(qū)的麥克斯韋方程組 EHt（6-44a） 第6章 時變電磁場 HEt （6-44b） 0H（6-44c） 0E（6-44d） 現(xiàn)在我們從這組聯(lián)立的偏微分方程中找出電場E和磁場H各自滿足的方程，然后再看它們的解具有什么樣的性質(zhì)，為此對式（6-44b）取旋度，再將（6-44a）代入得 2002()EEHtt 第6章 時變電磁場 再利用矢量恒等式(E)= ( E)- 2E及式（6-44d），可得到電場E所滿足的方程為 222210

37、EEct（6-45） 式中 001c （6-46） 同樣，在式（6-44a）兩邊取旋度，消去E可得到磁場H所滿足的方程為 222210HHct（6-47） 第6章 時變電磁場 6.6.26.6.2電磁場的位電磁場的位在上一節(jié)中我們已經(jīng)討論了無源空間場量E、H滿足波動方程，波動方程的求解是很容易的。但在J、不等于零的情況下，場方程變得十分復(fù)雜，很難求解。靜態(tài)場中我們引入了標量位和矢量位，可使問題簡化，這里我們同樣引入輔助量電磁場的矢量位A和標量位。顯然，引入的輔助量必須滿足麥克斯韋方程組，即這組輔助量必須從麥克斯韋方程組推出。為此，我們列出有源區(qū)的麥克斯韋方程組： DHJt（6-48a） BEt

38、 （6-48b） 第6章 時變電磁場 0B（6-48c） D（6-48d） 由方程B=0，利用矢量恒等式(A)=0，定義矢量位函數(shù)A，使 BA （6-49） 將上面的定義式（6-52）代入（6-51b），得 0AEt（6-50）第6章 時變電磁場 利用矢量恒等式()=0，定義標量位函數(shù)，使 AEt （6-51）式(6-51)右端的負號是使A與時間無關(guān)時標量位與靜電場的關(guān)系仍滿足E=- ，即靜電場強度E等于電位梯度的負值。式(6-51)可改寫為 AEt （6-52） 現(xiàn)在我們來導(dǎo)出A、所滿足的方程。為此把式（6-52）代入式（6-48a），并利用D=E得 2At （6-53） 第6章 時變電磁場

39、 將式（6-49）和式（6-52）代入式（6-51a），并利用B=H得 222()AAAJtt （6-54） 在式（6-54）中，若令 0At（6-55） 式（6-55）中A、滿足的關(guān)系式稱為洛侖茲規(guī)范。在洛侖茲規(guī)范下，式（6-53）和式（6-54）簡化為 222t （6-56a） 222AAJt （6-56b） 第6章 時變電磁場 此時，A、的方程完全分離，并且具有完全相同的形式。式（6-56）是矢量位A、標量位的非奇次波動方程，又稱達郎倍爾（DAlembert）方程。此方程表明矢量位A的源是J，而標量位的源是，時變場中J和是相互聯(lián)系的。由這一組非齊次的波動方程可以求出A、 ： /( , )

40、d4,/1( , )d4VVJ tR vA r tVRr tR vr tVR（6-57a） （6-57b） 式中，為波速。 1v第6章 時變電磁場 6.7正弦電磁場正弦電磁場 在時變電磁場中，場量和場源既是空間坐標的函數(shù)，又是時間的函數(shù)。如果場源（電荷或電流）以一定的角頻率隨時間作正弦變化，則它所激發(fā)的電磁場也以相同的角頻率隨時間作正弦變化。這種以一定頻率作正弦變化的場稱為正弦電磁場，正弦電磁場又稱為時諧電磁場。在一般的情況下，電磁場不是正弦變化的，但可用傅里葉級數(shù)化為正弦電磁場來研究。因此正弦電磁場在時變電磁場的研究中具有十分重要的地位。 第6章 時變電磁場 設(shè)場量以一定角頻率隨時間變化的依

41、賴關(guān)系用復(fù)數(shù)形式ejt表示： ( , )( )( , )( )( , )( )( , )( )( , )( )( , )( )j tj tj tj tj tj tE r tE r eB r tB r eD r tD r eH r tH r eJ r tJ r er tr e（6-58） 在以上各式中，我們用E(r)等表示除時間因子ejt以外的部分，它們僅是空間位置r的函數(shù)。式中E(r,t)、E(r)等均為復(fù)數(shù)，場的實數(shù)形式可由E(r,t)取實部或由E(r)乘以ejt后取實部得到。 第6章 時變電磁場 6.7.16.7.1麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式將微分形式的麥克斯韋方程組中各量均用復(fù)數(shù)形式表示，注意。消去方程兩邊的時間因子ejt后可得麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式： jetHJj DjEB 0BD（6-59a） （6-59b） （6-59c） （6-59d） 第6章 時變電磁場