測試系統(tǒng)中的信號分析

1、2.4 2.4 信號的頻域分析信號的頻域分析 第二章、信號分析基礎(chǔ)第二章、信號分析基礎(chǔ) 信號頻域分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號信號頻域分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號x(t)x(t)變換為頻變換為頻域信號域信號X(f)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來了解信號的特征。，從而幫助人們從另一個(gè)角度來了解信號的特征。 8563ASPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz傅里葉傅里葉變換變換X(t)= sin(2nft)0 t0 f信號頻譜信號頻譜X(f)X(f)代表了信號在不同頻代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號波形更直觀，

2、豐富的信息。域信號波形更直觀，豐富的信息。 時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系時(shí)間時(shí)間幅值幅值頻率頻率時(shí)域分析時(shí)域分析頻域分析頻域分析 時(shí)域分析只能反映信號的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻時(shí)域分析只能反映信號的幅值隨時(shí)間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號 大型空氣壓縮機(jī)傳動(dòng)裝置故障診斷大型空氣壓縮機(jī)傳動(dòng)裝置故障診斷頻域參數(shù)對應(yīng)頻域參數(shù)對應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)速、于設(shè)備轉(zhuǎn)速、固有頻率等參固有頻率等參數(shù)，物理意義數(shù)，物理意義更

3、明確。更明確。2.4.1 2.4.1 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 周期信號是經(jīng)過一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信周期信號是經(jīng)過一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號，滿足條件：號，滿足條件： x ( t )x ( t ) = = x ( t + nT )x ( t + nT )1 1、傅里葉級數(shù)的三角展開式、傅里葉級數(shù)的三角展開式 在有限區(qū)間上，凡滿足狄利克雷條件的周期信號在有限區(qū)間上，凡滿足狄利克雷條件的周期信號x(t)x(t)都可以展開成傅里葉級數(shù)（三角函數(shù)的疊加）。都可以展開成傅里葉級數(shù)（三角函數(shù)的疊加）。 狄利克雷條件：信號在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只含有狄利克雷條件：信號在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只含有有限個(gè)間斷點(diǎn)。

4、有限個(gè)間斷點(diǎn)。傅里葉級數(shù)的表達(dá)形式：傅里葉級數(shù)的表達(dá)形式：)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3 , ,2, 1(n變形為：變形為：102)sin()(0nnnatnAtx,.)3 , , 2 , 1(n式中式中: :T：基本周期：基本周期T200為角頻率，;tan;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/20nnnnnnTTTnTTTnTTTbabaAtdtntxbtdtntxadttxa穩(wěn)定分量或直流分量穩(wěn)定分量或直流分量余弦分量余弦分量正弦分量正弦分量第第n次諧波的幅值大小次諧波的幅值大小另外的表示方式？ 周期信號是由一個(gè)或幾個(gè)、乃至無窮多

5、個(gè)不同頻率的諧周期信號是由一個(gè)或幾個(gè)、乃至無窮多個(gè)不同頻率的諧波疊加而成的。波疊加而成的。 以角頻率為橫坐標(biāo)，幅值以角頻率為橫坐標(biāo)，幅值A(chǔ) An n或相角或相角 為縱坐標(biāo)作圖，則為縱坐標(biāo)作圖，則分別得其幅值譜圖和相位譜圖，合起來稱為頻譜圖。分別得其幅值譜圖和相位譜圖，合起來稱為頻譜圖。 通常把通常把0 0稱為基頻，并把成分稱為基頻，并把成分 稱為稱為n n次諧波。次諧波。 n)sin(0nntnAA A幅值譜圖幅值譜圖相位譜圖相位譜圖 例例1 1、求如圖所示三角波的傅里葉級數(shù)展開，并畫出頻譜、求如圖所示三角波的傅里葉級數(shù)展開，并畫出頻譜圖。圖。) (txA2/0T02/0Tt解解：1、x(t)

6、的函數(shù)表達(dá)式：的函數(shù)表達(dá)式：202022)(0000TttTAAtTtTAAtxAdttTAATdttxTaTTT20002200000)2(4)(2，642053142sin4cos)2(4cos)nnAnnAtdtntTAATtdtntxTaTTTn2、求、求a0：3、求、求an:220000sin)(2TTntdtntxTb5 , 3 , 1cos42)(1022ntnnAAtxn;42222nAbaAnnn5 5、寫出展開式、寫出展開式：4 4、求、求b bn n: :6 6、畫出頻譜圖、畫出頻譜圖= 0= 00arctannnnabnA2A00

7、03050700030507n幅頻圖幅頻圖 相頻圖相頻圖n從上題可以得到如下結(jié)論：從上題可以得到如下結(jié)論： （4 4）周期信號的頻譜的意義：各次諧波的幅值）周期信號的頻譜的意義：各次諧波的幅值大小及能量大小。大小及能量大小。（1 1）復(fù)雜周期信號可分解為各次諧波的疊加；）復(fù)雜周期信號可分解為各次諧波的疊加； （2 2）偶函數(shù)無正弦分量，奇函數(shù)無余弦分量和）偶函數(shù)無正弦分量，奇函數(shù)無余弦分量和常數(shù)量；常數(shù)量；（3 3）周期信號的頻譜是離散的；）周期信號的頻譜是離散的；2、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開式、傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開式將歐拉公式，將歐拉公式，tjtetjsincos)(21costjtjeet

8、)(2sintjtjeejt則有：)(21),(21,00nnnnnnjbacjbacactjnnntjnnnececctx00110)(代入代入令：)sincos()(01020tnbtnatxnnna,.)3, ,2,1(n合并后有：x tC ennjntn( ),(,.)0012nnRnInnnInRnjnnInRnccAcccecjcccnarctan,222復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)不同之處？復(fù)指數(shù)與三角函數(shù)不同之處？ 三角函數(shù)在正頻率范圍內(nèi)展開，是單邊幅值譜，而復(fù)指數(shù)三角函數(shù)在正頻率范圍內(nèi)展開，是單邊幅值譜，而復(fù)指數(shù)展開時(shí)在整個(gè)頻域里，是雙邊幅值譜。展開時(shí)在整個(gè)頻域里，是雙邊幅值譜。一般是復(fù)

9、數(shù)。一般是復(fù)數(shù)。 ncdtetxTctjnTTn022)(1ncnnRcnIc 、 、 、 與與之間的關(guān)系圖分別稱為幅值譜、相之間的關(guān)系圖分別稱為幅值譜、相位譜、實(shí)頻譜圖和虛頻譜圖。位譜、實(shí)頻譜圖和虛頻譜圖。 例例2 2、畫出余弦、正弦信號的實(shí)、虛部頻譜圖。、畫出余弦、正弦信號的實(shí)、虛部頻譜圖。解解：寫出復(fù)數(shù)表達(dá)式：寫出復(fù)數(shù)表達(dá)式：對對 有：有：對對 有：有：)(21cos000tjtjeet)(2sin000tjtjeejtt0cos0),1(21nInRcnct0sin0),1(21-),1-(21nRnInIcncnc)(tx)(txnRCnRC0000nICnIC0000ttnCnC0

10、000nAnA0000111/21/21/21/2000000001/21/2-1/21/2 周期信號的頻譜具有如下特點(diǎn)：周期信號的頻譜具有如下特點(diǎn)： 周期信號的頻譜是離散的。（周期信號的頻譜是離散的。（離散性離散性） 每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整倍數(shù)上。（每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整倍數(shù)上。（諧波性諧波性） 各頻率分量的譜線高度表示該次諧波的幅值和相位角。各頻率分量的譜線高度表示該次諧波的幅值和相位角。工程中常見的周期信號，其諧波分量的幅值總的趨勢是隨諧波次工程中常見的周期信號，其諧波分量的幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小。數(shù)的增高而減小。（收斂性收斂性）nA2A000305070003

11、0507n幅頻圖幅頻圖 相頻圖相頻圖n2.4.2 2.4.2 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 非周期信號是非周期信號是時(shí)間上不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)間上不會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的信號，一般為時(shí)域的信號，一般為時(shí)域有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號的有限信號，具有收斂可積條件，其能量為有限值。這種信號的頻域分析手段是傅立葉變換。頻域分析手段是傅立葉變換。 ，即變?yōu)檫B續(xù)譜線。，即變?yōu)檫B續(xù)譜線。譜線之間相鄰譜線，譜線之間相鄰譜線，0, 02,0TTtjnnTTtjnntjnnedtetxTeCtx00022)(1)(nndTTTn0220221時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)T所以：所以：dedtetxedtetxdtx

12、tjtjtjtj)(21)(2)(令：令：deXtxdtetxXtjtj)(21)()()(則則傅里葉變換（傅里葉變換（FT）傅里葉逆變換（傅里葉逆變換（IFT） 將將X()X()中的中的用用f (f=/2)f (f=/2)代替，傅里葉變換對變?yōu)椋捍?，傅里葉變換對變?yōu)椋篸tetxfXdfefXtxftjftj22)()()()( fXtxFT)()(fXtxFntjnneCtx0)(dfefXtxftj2)()(dfcdftxfXn)()(x(t) , 所以所以 量綱就是量綱就是x(t)量綱。量綱。非周期信號：非周期信號：njnneccnc幅值幅值HzX(f)X(f)為信號單位頻寬上為信號單

13、位頻寬上的幅值大小，是的幅值大小，是頻譜密頻譜密度函數(shù)度函數(shù)，量綱為幅值，量綱為幅值/Hz/Hz。 思考：非周期信號頻譜的意義？思考：非周期信號頻譜的意義？周期信號：周期信號： 非周期信號傅里葉變換存在的充要條件是：非周期信號傅里葉變換存在的充要條件是： 滿足狄里赫利條件（在非周期時(shí)間段內(nèi)連滿足狄里赫利條件（在非周期時(shí)間段內(nèi)連續(xù)或有有限個(gè)間斷點(diǎn)）續(xù)或有有限個(gè)間斷點(diǎn)） 絕對可積，即絕對可積，即 能量有限信號，即能量有限信號，即 dttx )(dttx2)(dtetxfXdfefXtxftjftj22)()()()()()()(fjefAfX把非周期信號的頻譜表示成復(fù)數(shù)形式：把非周期信號的頻譜表示

14、成復(fù)數(shù)形式：為為x(t)x(t)的幅值譜密度的幅值譜密度)()(fXfA為為x(t)x(t)的相位譜密度的相位譜密度)()(fXf2)( fX為能量譜密度為能量譜密度)(Im)(Re)(fXjfXfX實(shí)部為實(shí)譜密度，虛部為虛譜密度。實(shí)部為實(shí)譜密度，虛部為虛譜密度。例：求如圖矩形脈沖信號例：求如圖矩形脈沖信號x x( (t t) )的幅值譜密度，已知的幅值譜密度，已知 11, 0, 1)(TtTttx)(2121)()(11111122222fTjfTjTTftjTTftjftjeefjefjdtedtetxfX利用歐拉公式：利用歐拉公式：)(2sintjtjeejt)2(sin222sin22

15、sin)(111111fTcTTffTTffTfX| )2(sin|2)()(11fTcTfXfA)(tx1T1T0t)(fX11T0f121T11T121T12T12T)( fA0f11T121T121T11T)( f11T121T0121T11Tf（a）（c）（b）（d）傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)1 1）線性特性）線性特性 若若 x x1 1(t) X(t) X1 1(f)(f)，x x2 2(t) X(t) X2 2(f) (f) 則：則：a a1 1x x1 1(t)+a(t)+a2 2x x2 2(t) a(t) a1 1X X1 1(f)+a(f)+a2 2X X2 2(f)

16、(f)FTFTFT 意義意義：對復(fù)雜信號的頻譜分析處理，可以分對復(fù)雜信號的頻譜分析處理，可以分解為對一系列簡單信號的頻譜分析處理。解為對一系列簡單信號的頻譜分析處理。 例子：求下圖波形的頻譜例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化用線性疊加定理簡化2 2）時(shí)移性）時(shí)移性 fXtxFT)(020fXettxftjFT若若，則，則 意義意義：信號的時(shí)移對其幅值譜密度無影響，而相：信號的時(shí)移對其幅值譜密度無影響，而相位譜密度則疊加了一個(gè)與頻率成線性關(guān)系的附加量，位譜密度則疊加了一個(gè)與頻率成線性關(guān)系的附加量，即時(shí)域中的時(shí)移對應(yīng)頻域中的相移。即時(shí)域中的時(shí)移對應(yīng)頻域中的相移。 000

17、22)(20)()(ftfjftjfjftjFTefAeefAefXttx )()(fjFTefAfXtx3 3）頻移特性（）頻移特性（調(diào)制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)調(diào)制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)調(diào)制性調(diào)制性） fXtxFT )(020ffXetxFTtfj若若，則，則 意義意義：信號：信號x(t)乘以復(fù)指數(shù)（復(fù)調(diào)制）后乘以復(fù)指數(shù)（復(fù)調(diào)制）后,其時(shí)域描述已其時(shí)域描述已大大改變大大改變,但其頻譜的形狀卻無變化但其頻譜的形狀卻無變化,只在頻域作了一個(gè)位移。只在頻域作了一個(gè)位移。 例：求例：求解：解：)(21)(212)(2)(2)(2cos)(00222200000ffXffXetxetxFeetxFtftxFtfjtfjtfj

18、tfj2cos)(0tftxF思考：思考：2sin)(0tftxF4 4）時(shí)間比例性）時(shí)間比例性 fXtxFT )(1afXaatxFT若若，則，則 意義意義：當(dāng)時(shí)域尺度壓縮（：當(dāng)時(shí)域尺度壓縮（a1）時(shí)，對應(yīng)的頻域）時(shí)，對應(yīng)的頻域展寬且幅值減?。划?dāng)時(shí)域尺度展開（展寬且幅值減?。划?dāng)時(shí)域尺度展開（a1）時(shí)，對應(yīng)）時(shí)，對應(yīng)的頻域壓縮且幅值增加。的頻域壓縮且幅值增加。 5 5）對稱性質(zhì)）對稱性質(zhì) fXtxFT)()(fxtX若若，則，則 意義：由已知的傅里葉變換對，獲得逆向相應(yīng)的意義：由已知的傅里葉變換對，獲得逆向相應(yīng)的變換對。變換對。如時(shí)域的矩形窗函數(shù)對應(yīng)頻域的如時(shí)域的矩形窗函數(shù)對應(yīng)頻域的sinc(t)sinc(t)函函數(shù)，則時(shí)域的數(shù)，則時(shí)域的sinc(t)sinc(t)函數(shù)對應(yīng)頻域的矩形窗函數(shù)。函數(shù)對應(yīng)頻域的矩形窗函數(shù)。 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜1 1、(t)(t)的頻譜密度的頻譜密度 1)(02edtetfftj圖2-17 函數(shù)及其頻譜密度) (t)(f10t10t 意義：單位沖擊函數(shù)具有無限寬廣的頻譜密度，而意義：單位沖擊函數(shù)具有無限寬廣的頻譜密度，而且在在整個(gè)頻率范圍內(nèi)不衰減，處處強(qiáng)度相等。且在在整個(gè)頻率范圍內(nèi)不衰減，處處強(qiáng)度相等。 根據(jù)傅里葉變換的對稱性