河南理工大學(xué)電磁場重點

1、1.1.1 電場強度的定義 微小正點電荷在電場中任一點所受電場力與此微小正點電荷電量之比的極限，通常以 表示 式中：q為正的試驗點電荷的電量，在國際單位制(SI)中，電量的單位為庫侖(C)； 為正的試驗點電荷所受的電場力，單位為牛頓(N)。 電場強度的單位為牛頓每庫侖(N/C)，在國際單位制(SI)中場強的單位為伏特每米(V/m) 。試證明： 1V/m=1N/Cq0limqFE(1-1)EF庫侖定律：121221204q qRFe式中 是帶電體 對 的作用力， 是沿兩帶電體之間連線方向的單位矢量,方向 由 指向12F2q1q21e2q1q20( )4rqrrEe根據(jù)電場強度定義和庫侖定律,可得

2、到位于坐標原點上的點電荷在無限大真空中產(chǎn)生的電場強度為: 如果點電荷q所在處的坐標為 （稱為源點），則它在 r點（稱為場點）產(chǎn)生的電場強度為：r2200( )44RqqrRrrE=errrr1.1.2 疊加積分法計算電場強度疊加積分法計算電場強度22110011( )44knnkkkRkkkkkqqrRrrE=errrr1 點電荷產(chǎn)生的合成電場：2 當電荷作線狀分布時，電荷線密度的定義為:dldqlql0lim(1-3)式中：dq為線元dl上所具有的電量。因而的單位為庫侖每米(C/m)。 當電荷沿空間曲線 連續(xù)分布時，空間任一點的場強為：l20( )1d4RlrlReE(1-4)式中：R為線元

3、 至被研究點的距離； 為線元 指向被研究點方向上的單位矢量。dlReld3 當電荷沿空間曲面作面分布時，引入電荷面密度dSdqSqS0lim式中：dq為面元 上所具有的電荷量。因而，的單位為庫侖每平方米(C/m2)。當電荷沿空間曲面S連續(xù)分布時，空間任一點的電場強度為：dS20( )1d4RSESRr e(1-6)(1-5)式中：R為面元 至研究點的距離； 為面元 指向研究點方向上的單位矢量。dSRedS4 當電荷在空間作體積分布時，引入電荷體密度dVdqVqV0lim(1-7)式中：的單位為庫倫每立方米(C/m3)。當電荷在空間作體積分布時，空間任一點的電場強度為：2V0( )1( )dV4

4、RRr eE r(1-8)式中：R為體積元 至研究點的距離； 為體積元 指向研究點方向上之單位矢量。RedVdV例1-1 如圖1-3所示,真空中有一以線密度 沿 軸均勻分布的無限長線電荷,試求離其 處的電場. z圖1-3 線電荷的電場2002222 3/200cos( )24cos( )2()dzRRzRdzzEeEe設(shè)tanz22 3/2002/203300( )2()(cos )12()cos2dzzd Eeee223/2223/23321()(tan )()cos1(cos )zdz例1-2 如圖1-4所示,一以均勻帶電無限大平面,其電荷面密度為 ,求距該平面前 處的電場. x20022

5、3/20002( )cos42(ax )2adaE xRxada解:1.1.3 電位將一個單位正試驗電荷在靜電場中沿某一路徑從A點移動至點B時，電場力所做的功為：WBAdEl20( )4rqrrEe20200W4111()44BBrAABAABdqdrqqdrrrrelEl200W411()04AArlrAAqdrdrqrrEl0ld El0lSddElES0E EWBABBAAABddd EllBABABAUdEl()C EQPPdElPPdEl0( )4qrr1-2 高斯定律1.2.1 靜電場中的導(dǎo)體4 導(dǎo)體如果帶電，則電荷只能分布于其表面。1靜電場中的導(dǎo)體內(nèi)部電場為零，2靜電場中導(dǎo)體必為

6、一等位體，導(dǎo)體表面必為等位面， 3 導(dǎo)體表面上的電場必定垂直于表面，1.2.2 靜電場中的電介質(zhì)Pn P eP P()PtVSqdVdPPS0EP =1.2.3 高斯定律001SVqddVES1 真空中的高斯定律 2 介質(zhì)中的高斯定律(一般形式的高斯定律)00PpVSPPVVSdVqqqdqdVdVd ESPPS00(SVSVVVddVddVqdVdV E + P) SDE + PDSDD例1-8 真空中有電荷以體密度 均勻分布于一半徑為 的球中。試求球內(nèi)外的電場強度及電位。raraa解:1）先求電場當23443r Dr033rrrrDeEe當23443r Da3322033rraarrDeE

7、e2） 求電位ra220026araEdrEdrar=+=ra303rEdrar=1.3.1靜電場基本方程靜電場基本方程靜電場是無旋場，有散場，保守場靜電場是無旋場，有散場，保守場00SVlddVqdDSElDE1.3.2 分界面上的銜接條件分界面上的銜接條件 1221nnnnDSDSSDD 1） 法線方向2 ） 切線方向1121120ttttElElEE 3） 折射定律1122tantan例1-10 設(shè) 平面是兩種電介質(zhì)分界面，在 區(qū)域內(nèi)， ;在 區(qū)域內(nèi)， 在此分界面上無自由電荷。已知 求1D2(1020)V / mxyEee1050y 0y 0y 2032D1E解:222201201211

8、101112101(3060)C/ m6010V / m60,/12V / m(5060)C/ m(1012)V / mxynnttnnnnxyxyDDEEDEEDDEeeDeeEee1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 22()0 1-7 鏡像法和電軸法 所謂鏡象法，是基于唯一性定理。此方法的特點是以場域外虛擬的集中電荷代替場域邊界上分布電荷的作用，使場的邊界條件保持不變，從而保持被研究的場不變。由于虛擬電荷往往與場域內(nèi)的集中電荷互為鏡象(平面鏡象或曲面鏡象)，故稱為鏡象法。1.7.1鏡像法鏡像法1、點電荷對無限大導(dǎo)電平面的鏡象、點電荷對無限大導(dǎo)電平面的鏡象 若有一點電荷

9、q，其與無限大地平面(地為導(dǎo)電平面)相距h高度，試求上半場域中的場量。根據(jù)唯一性定理，這個問題所給的條件是齊備的：對于場域內(nèi)部，除點電荷所在點(奇異點)之外，均滿足拉普拉斯方程。圖1- 地面上方h處有一點電荷q對于場域邊界條件而言，無限大地平面為等位面，其上總電荷(感應(yīng)電荷)已知為-q。設(shè)想將無限大地平面撤去，而將下半場域亦充以電容率為0的媒質(zhì)，且以地平面為鏡象，在電荷q的鏡象位置，放置一點電荷-q。對于上半場域，其內(nèi)部未作任何變更，邊界條件也沒有改變。圖1- 地面下方h處置一鏡象電荷-q代替大地影響圖1- 大地對點電荷電場的影響圖1- 用鏡象電荷代替大地的影響填充導(dǎo)電媒質(zhì)后，電荷-q即轉(zhuǎn)移至

10、無限大地平面上，根據(jù)等位面法，上半域的電場仍保持不變，即上半域的電場完全可以作為兩點電荷電場進行求解。導(dǎo)電平面鏡象問題的特點：鏡象電荷必在被研究場域邊界外，所處位置與場源電荷以平面對稱。鏡象電荷的電量與邊界面有總電荷量相等，與場源電荷量大小相等、符號相反，而被研究場域邊界電位值為零。2 、球形導(dǎo)體面的鏡象、球形導(dǎo)體面的鏡象 點電荷q的電場中，置有一半徑為R的接地導(dǎo)體球(其電位為零)，球心至點電荷的距離為d。在點電荷的電場中，引入一中性導(dǎo)體球后，球面兩側(cè)將分別出現(xiàn)等量而異號的感應(yīng)電荷 +q與-q。球面感生的負電荷(或正電荷)，其數(shù)值小于電荷q。球外電位滿足 ：1）除q所在處外，空間2)當 時，3

11、)因?qū)w接地,在球面上20r 00點電荷對導(dǎo)體球的鏡像點電荷與導(dǎo)體球22220042cos42cos0qqdRRdbRRb22222222()() 2 ()cos0q bRqdRR q dq b22222222()()00q bRqdRq dq b2RbdbRqqqdd于是,球外任意點的電位為: 011()4qRrd r3、兩層介質(zhì)交界平面的鏡象電位 和 滿足 ：1）除q所在處外，左右半空間分別有2)當 時，3) 在分界面上,有銜接條件12221200和r 1200和121212nn待求區(qū)域為左半平面 待求區(qū)域為右半平面 11122211()414qqrrqr112qqqqqq12122122

12、qqqq1.7.2 電軸法電軸法 平行圓柱導(dǎo)體傳輸線在兩圓柱導(dǎo)體外部任一點上，由和共同引起的電位是201ln2C若選在對稱軸軸上,則20122220ln2()ln2()xbyxby22222221()()()xbyKxby22222212(xb)()11KbKyKK等位線是一族圓,圓心坐標是 ,圓的半徑是221d(b),01KK221bKRK222Rbd222abh00()22ln()Ubhabha021ln()2ln()Ubhabha 例1-18 圖1-32（ ）所示為兩根不同半徑，相互平行，軸線距離為 ，單位長度分別帶 和 的長直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸的位置。 解：ad 根據(jù)圖可列出 解上述

13、方程可得：222112222212abhabhdhh22222212121222221122-+22daadaahhddbhaha1-8 電容和部分電容電容和部分電容1.8.1 電容QCUln2bUa2lnCba04abCba 1計算長度為 的同軸電纜的電容 解：根據(jù)高斯定律22ln22lnbaEllbUdalCbaEeEl 2求同心球面導(dǎo)體間的電容 解：根據(jù)高斯定律20202000444()44rbbaaqErqrqUddrrq baababqCUbaEeEl1W21W21W2ekkkeSeVqdSdV1.9.1 帶電體系統(tǒng)中的靜電能量帶電體系統(tǒng)中的靜電能量1.9.2 靜電能量的分布及其密度

14、靜電能量的分布及其密度12eD E1W2eVdVD E 例1-21 真空中一半徑為 的球體內(nèi)分布有體密度為常量 的電荷，試求靜電能量。解：應(yīng)用高斯定律，求得電場強度為a033033rrraEarar能量為22262202240002501(44)299415aearaWr drr drra 例1-22 一半徑為 的均勻球面電荷，電荷面密度為 ，試求靜電能量。 解：應(yīng)用高斯定律得：a202044rraEQrarQa靜電場能量為20V2202002012() 4248eWE dVQr drrQa2.3.3 恒定電場的基本方程d00d00SSJSJElEJE2.5.3 接地電阻接地體：為了接地將金屬

15、導(dǎo)體埋入地內(nèi)，將設(shè)備中需要接地的部分與該導(dǎo)體連接，稱埋在地內(nèi)的導(dǎo)體或?qū)w系統(tǒng)為接地體。接地線：聯(lián)結(jié)電力設(shè)備與接地體的導(dǎo)線。接地裝置：接地體與接地線的總稱。接地電阻：電流由接地裝置流入大地再經(jīng)大地流向另一接地體或向遠處擴散所遇到的電阻，它包括接地線和接地體本身的電阻、接地體與大地之間的接觸電阻以及兩接地體之間大地的電阻或接地體到無限遠處的大地電阻。IUR 深埋接地導(dǎo)體球的 分布J24IJr24JIEr2d44aIIUrra球14URIa球接地電阻為：3-1 磁感應(yīng)強度3.1.1 磁感應(yīng)強度(畢奧-沙伐定律)024RlI dRleB02( ,)( , , )4RSx y zx y zdSRKeB0

16、2( ,)( , , )4RVx y zx y zdVRJeB3.1.2 安培力定律lIdFlBqFvB02()4RllI dIdRleFl02()4RllIdI dR lleF3.1.3 磁力線0dBl例3-1 計算真空中載電流 的長為 的長直細導(dǎo)線外任一點處的磁感應(yīng)強度.I2L長直細導(dǎo)線zI dIdzle22()RzzRzRI dIdzIdzRleeee02022 3/20222 1/20222244() ()|4() ()()4()()RlLLLLI dRIdzzzIzzzzIzLzLzLzLleBeee當L 02IBe3-2 安培環(huán)路定律3.2.1 真空中的安培環(huán)路定律00200022

17、2lllIddIdIdI Blel 例3-3 圖3-7表示一根無限長同軸電纜的截面,芯線通有均勻分布的電流 ,外皮通有量值相同但方向相反的電流,試求各部分的磁感應(yīng)強度. 解 I12122220011222200220011021d d2IRJRIIIRRIIBdBdRRIBR 解:12200023222232223232222203322222RRBdIIBRRRRIIIIRRRRI RBRR 3.2.2 媒質(zhì)的磁化mmlSIddMlJSmSSmmndd JSMSJMKMe3.2.3 一般形式的安培環(huán)路定律0000()()()mllllldIIdIddIdIBlBlMlBMlBMHHl0000

18、() =(1)mmrr M =HBH + MHHB =H例3-5磁導(dǎo)率為 ,半徑為 的無限長導(dǎo)磁媒質(zhì)圓柱,其中心有無限長的線電流 ,圓柱外是空氣.求圓柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強度磁場強度和磁化強度.0000d2202(1)202llHIIIaIIaHH =eB =H =eM =HHeB =H =eM =aI解:3-3 恒定磁場基本方程.分界面上的銜接條件000mSSVdddV =BSBSBB =3.3.1 磁通連續(xù)性原理3.3.2 恒定磁場的基本方程0()dSllSSddIdIBSHlHlH dS =JS =HJ3.3.3 分界面上的銜接條件圖3-11 在媒質(zhì)分界面上應(yīng)用安培環(huán)路定律1121112121

19、212()lttttnttdIHlHlK lHHKBBK HlHHeK若分界面上無電流則: 12ttHH圖3-12 在媒質(zhì)分界面上應(yīng)用磁通連續(xù)性原理121122120()0SnnnnndBBHHBSBBe1122tantan例3-6設(shè) 平面是兩種媒質(zhì)的分界面.在 處媒質(zhì)的磁導(dǎo)率 ;在 處,媒質(zhì)的磁導(dǎo)率 .設(shè)已知分界面上無電流分布,且 ,求 和 .0y 0y 1050y 2032(1020)A/ mxyHee12,B B1H解:2220203(3060)xyBHHee由于分界面上無電流線密度( )0K 11211201060 xttynnHHHBBB11200221211015(30)5033(

20、20)125(5060)T1012A/ mxxyyxyxyBBHHBeeHee3-6 鏡像法21121122IIII若第一種媒質(zhì)是空氣 ,第二種媒質(zhì)是鐵磁物質(zhì) ,載流導(dǎo)線置于空氣中則有: 21121120222220202021()22IIIIIIBHIrrIr210若第一種媒質(zhì)是鐵磁物質(zhì) ,第二種媒質(zhì)是空氣 , 載流導(dǎo)線置于鐵磁物質(zhì)中則有: 120011011022IIIIII 3-6 電感3.7.1 自感LLiiooioLILILILILLL求自感的步驟:1iiiiiiooooooIBdddLIIBdddLI例3-12 計算3-24所示長為 的同軸電纜的自感.l12100221122221

21、122ziIRRIIBdBdSldRRIIIRR J =e解:13041300401012022882iiRiiiiIIddldIRIIldldRlLIRRIB 微外磁鏈21000210212ln22ln2ooRooRooIddldIIlRdldRlRLIR 故總自感為2001ln82ioLLLRllR 當23RR 22200223222032232222230322223232222iiiRBIIIRRIRBRRdBldRIl RIdddIRRRR 則322220322322223332222322320223222321()2() ln214RiRIl RdRRRRRRRRRRIlRRRR

22、則外殼內(nèi)自感為222333222232232022322232() ln214iiLIRRRRRRRRlRRRR 此時總電感為2001222333222232232022322232ln82()ln214ioiLLLLRllRRRRRRRRRlRRRR3-8 磁場能量與力3.8.1 恒定磁場中的能量恒定磁場中的能量11 12 22221 12 212 1 213 1 3(1)11W21,2, )111W222nmkkkkkkkkknnmnnnnnnIM IMIL IM IknL IL IL IM I IM I IMII3.8.2 磁場能量的分布及其密度磁場能量的分布及其密度221112221W

23、d2mmVBHVH B=H B 例3-15 求長度為 ，內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為 和 （外導(dǎo)體很薄）的同軸電纜，通有電流為 時，電纜所具有的磁場能量（兩導(dǎo)體間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為 ）。 解：l2RI01R1212211012112222RIIIHRRIBR 當122022332200IRRHIBRHB 能量為1210220110121(22222)22mVRRRWdVIIldRRIIld H B 故有1212302401202120221(22)2 41(ln)441221(ln)24RRmRmmI ldWdRI lRRWLIWlRLIR 4-2 電磁場基本方程組.分界面上的銜接條件4.2.1電磁場基本方

24、程組dddlSStDHlJSSddlStBElS0dSBS=dSDS=q 電磁場基本方程組電磁場基本方程組的積分式電磁場基本方程組的微分式tDHJtBE0BDDEBH 電磁場基本方程組得輔助方程或構(gòu)成關(guān)系JE 例4-1在無源的自由空間中，已知磁場強度 求位移電流密度 。 解：592.63 10 cos(3 1010 ) A/ytzmHedJ4922.63 10 sin(3 1010 ) A/mydxxtHtztz eDHDJHe 例4-2在無源區(qū)域中，已知調(diào)頻廣播電臺輻射的電磁場的電場強度求空間任一點的磁感應(yīng)強度 。 解：2910 sin(6.28 1020.9 ) V/ytzmEeB29=

25、20.9 10cos(6.28 1020.9 )yxxEtztzBE=ee1193.33 10sin(6.28 1020.9 ) TyxxEdtztz eBe4.5.2坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式2*22*2*2dd+()d()()d1R e ()d1I()deVVAVAAmAVVjd VRIXI JEJEHAHEEHA =P +jQEHAEHA 例4-8 在無源（ ， ）的自由空間中，已知電磁場的電場強度復(fù)矢量 式中 ， 為常數(shù)。求：（1）磁場強度復(fù)矢量 ；（2）坡印亭矢量的瞬時值； （3）平均坡印亭矢量。 解：（1）0E0J( )j zyzEeEe( ) zH000011(z) =()j zxj

26、zxjEejjzEe EHHEee （2）電場、磁場的瞬時值為 （3）*020Re() j zj zavyxzESEeeE eee0220( , )2cos()( , )2cos()2cos ()yxzz tEtzEz ttzEtzE=eH=eS = EHe6.1.2 平面電磁波22222222=00txttxtHHHEEE在電磁波的傳播過程中,對應(yīng)于每一時刻,空間電磁場中電場或磁場具有相同相位 的點構(gòu)成等位面等位面,或波陣波陣面面.等相位面為平面的電磁波稱為平面電磁波平面電磁波.如果在平面電磁波的等相位面的每一點上,電場均相同,磁場也相同,這樣的電磁波稱為均勻平面電磁波均勻平面電磁波.( ,

27、 )()x tx,tEEHH(1)均勻平面電磁波是一橫電磁波.(2)電磁波的電場 的方向磁場 方向和波的傳播方向三者相互垂直,且滿足右手螺旋關(guān)系.(3)分量 和 構(gòu)成一組平面波;分量 和 構(gòu)成另一組平面波,這兩組平面波彼此獨立.是一維波動方程EHyEzHyHzE22222222=00zzzyyyHHHtxtEEEtxt例6-1已知自由空間中電磁波的電場強度表達式 (1)試問此波是否是均勻平面波?求出該波的頻率 波長 波速 相位常數(shù) 和波傳播方向,并寫出磁場強度的表達式 .(2)若在 處水平放置一半徑 的圓環(huán),求垂直穿過圓環(huán)的平均電磁功率.850cos(610)V/ mytxEefvH0 xx2

28、.5mR 解:(1)888006103 10 Hz2213 10 m/sfv= 00808=1m2=26.28rad/m150cos(610)50cos(610) A/m377zzvfZZtxZtxEEH =HH =ee(2)坡印亭矢量的平均值*av2av2Re1250W/m377d125065.1W377xxAEHPRggSE HeeSA例6-2一頻率為 的正弦均勻平面波, 在 的理想介質(zhì)中朝 方向傳播.當 時,電場的最大值為 ,(1)求波長相速和相位常數(shù);(2)寫出電場強度和磁場強度的瞬時表達式;(3)求出 時,電場強度為最大正值的位置.解:(1)100MHzyyEEe4,1rr() x0

29、,1/8mtx410 V/m810 st88811.5 10 m/s22104=4rad/m3 103rrrrccvc 23=m2(2)電場的瞬時表達式為4( , )cos()0,1/8m10410386mymx tEtxtxEEe480484( , )10cos(210)3612060104( , )cos(210)6036yrzx ttxZx ttxEeHe(3)當 時,為使 為最大值,應(yīng)有810 stE8842101023613313(0,1,2,.)828txxnxnnn 6.3.3 良導(dǎo)體中的電磁波如果滿足條件 ,則稱良導(dǎo)體,可近似認為:1201()(1)2(1)4522222kjj

30、Zjv結(jié)論:1）高頻電磁波在良導(dǎo)體中的衰減常數(shù)變得非常大。電磁波無法進入良導(dǎo)體深處，僅存在于其表面附近，集膚效應(yīng)非常明顯，透入深度 .2）電場與磁場不同相.波阻抗的幅角為 ,磁場的相位滯后于電場 .3)由于 很大,波阻抗的值很小,故電場能密度小于磁場能密度,良導(dǎo)體中的電磁波以磁場為主,傳導(dǎo)電流是電流的主要成分.4)良導(dǎo)體中電磁波的相速和波長都較小.12d4545例6-4 一均勻平面電磁波從海水表面 向海水中 傳播,已知 ,海水的 (1)求衰減常數(shù)相位常數(shù)波阻抗相位速度波長透入深度;(2)求 的振幅衰減至表面值的 時,波傳播的距離;(3)求 時, 和 的表達式.解:(0)x x7100cos(10)ytEe80,1,4S/mrrE1%0