自動控制原理線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 實(shí)際存在的自動控制系統(tǒng)可以是電氣的、機(jī)械的、熱力的、化工的，甚至是生物學(xué)的、經(jīng)濟(jì)學(xué)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型卻可以是相同。 本章介紹了系統(tǒng)的各類數(shù)學(xué)模型如微分方程，傳遞函數(shù)，方框圖，信號流圖的求取以及它們之間的相互關(guān)系。最后介紹用MATLAB求取系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 。 描述控制系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱為系統(tǒng)的。系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立，一般采用或。 建立合理的數(shù)學(xué)模型，對于系統(tǒng)的分析研究是至關(guān)重要的。 常用的數(shù)學(xué)模型有、和等。：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理，化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的

2、信號（階躍信號，單位脈沖信號，正弦信號等）根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?？偨Y(jié)：總結(jié)： 前種方法適用于簡單，典型，通前種方法適用于簡單，典型，通用常見的系統(tǒng)；而后種適用于復(fù)雜，非常用常見的系統(tǒng)；而后種適用于復(fù)雜，非常見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩種方法結(jié)見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效.v2.1 線性系統(tǒng)的微分方程v2.2 微分方程的線性化v2.3 傳遞函數(shù)v2.4 方框圖v2.5 信號流圖v2.6 在MATLAB中數(shù)學(xué)模型的表示 v小 結(jié)（1）分析系統(tǒng)工作原理，將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，確定系統(tǒng)和環(huán)節(jié)的輸入、輸出

3、變量，每個(gè)環(huán)節(jié)可考慮列寫一個(gè)方程；（2）根據(jù)各變量所遵循的基本定律(物理定律、化學(xué)定律)或通過實(shí)驗(yàn)等方法得出的基本規(guī)律，列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當(dāng)簡化和線性化；（3）將各環(huán)節(jié)方程式聯(lián)立，消去中間變量，最后得出只含輸入、輸出變量及其導(dǎo)數(shù)的微分方程；（4）將輸出變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號左邊，將輸入變量及各階導(dǎo)數(shù)放在等號右邊，并按降冪排列，最后將系統(tǒng)歸化為具有一定物理意義的形式，成為標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。 例例2-1 試列寫圖中所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。輸入為ui(t)，輸出為u0(t) 。 解解 根據(jù)基爾霍夫定理，可列出以下式子：dttitiCtiRtui)()(1)()(21111dttiCt

4、iRdttitiC)(1)()()(12222211dttiCtu)(1)(220整理得：)()()()()(002122112022121tutudttduCRCRCRdttudCCRRi令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 則得 )()()()()(0032120221tutudttduTTTdttudTTi該網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)二階線性常微分方程。 例例2-2 圖為一彈簧阻尼系統(tǒng)，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動。試列寫外力F(t)與位移y(t)之間的微分方程。 解解 彈簧和阻尼器有相應(yīng)的彈簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根據(jù)牛頓第二定律有 ：2221)(

5、)()()(dttydmtttFFF)()(1tkytFdttdyft)()(2F其中F1(t)和F2(t)可由彈簧、阻尼器特性寫出 式中 k 彈簧系數(shù) f 阻尼系數(shù)整理且標(biāo)準(zhǔn)化 )(1)()()(22tktydttdykfdttydkmF令 稱為時(shí)間常數(shù)； 稱為阻尼比； 稱為放大系數(shù)。 kmT/)2/(mkfkK/1)()()(2)(222tKtydttdyTdttydTF得例例2-3 電樞控制的它激直流電動機(jī)如圖所示，電樞輸入電壓ua(t)，電動機(jī)輸出轉(zhuǎn)角為 。Ra、La、ia(t)分別為電樞電路的電阻、電感和電流，if為恒定激磁電流，eb為反電勢，f為電動機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)，G為電樞質(zhì)

6、量，D為電樞直徑，ML為負(fù)載力矩。 t解：解： 電樞回路電壓平衡方程為 baaaaaedttdiLtiRtu)()()(dttdceeb)(ce為電動機(jī)的反電勢系數(shù) 力矩平衡方程為 LDMdttdfdttdJM)()(22)(ticMaMD式中 為電動機(jī)電樞的轉(zhuǎn)動慣量 gGDJ42為電動機(jī)的力矩系數(shù) Mc整理得 dtdMLMRucdttdccfRdttdJRfLdttdJLLaLaaMMeaaaa )()()()()(2233dttd)(無量綱放大系數(shù)aacRLT MeaMccJRTMeafccfLT eccK1MeafccfRK電機(jī)轉(zhuǎn)速電磁時(shí)間常數(shù)機(jī)電時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù)dtdMcc

7、LMccRtuKKfdtdTfTMdtdTeTMLMeaLMeaae)( ) 1()(22無量綱放大系數(shù)。 MeaMccJRTMeafccfLT eccK1 時(shí)間常數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù)例例2-4 熱水電加熱系統(tǒng)，如圖所示，為減小周圍空氣的熱損耗，槽壁是絕熱的，控溫元件是電動控溫開關(guān)。 根據(jù)能量守恒定律 liChQQQQQ0其中 Qh 加熱器供給的熱量； QC 貯槽內(nèi)水吸收的熱量； Q0 熱水流出槽所帶走的熱量: Qi 冷水進(jìn)入槽帶入的熱量: Ql 隔熱壁逸散的熱量:dtdTCQCVHTQ0iiVHTQ RTTQelC貯槽水的熱容量；V流出槽水的流量；H 水的比熱；R熱阻；Ti進(jìn)入槽水的溫度；T槽內(nèi)水

8、的溫度；Te槽周圍空氣溫度。 整理得 RTTTTVHdtdTCQeih)( 一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的微分方程為 :)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn或 mjjmjmjniininidttrdbdttcda00)()( 實(shí)際的物理系統(tǒng)往往有間隙、死區(qū)、飽和等各類非線性現(xiàn)象。嚴(yán)格地講，幾乎所有實(shí)際物理和化學(xué)系統(tǒng)都是非線性的。目前，線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。因此，在工程允許范圍內(nèi)，盡量對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性

9、理論進(jìn)行分析不失為一種有效的方法。 線性化方法：線性化方法：當(dāng)非線性因素對系統(tǒng)影響較小時(shí)，一般可直接將系統(tǒng)當(dāng)作線性系統(tǒng)處理。另外，如果系統(tǒng)的變量只發(fā)生微小的偏移，則可通過切線法進(jìn)行線性化，以求得其增量方程式。 能線性化的非線性特性 非線性函數(shù)的線性化，是指將非線性函數(shù)在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級數(shù)，忽略掉高階無窮小量及余項(xiàng)，得到近似的線性化方程，來替代原來的非線性函數(shù)。 不能線性化的非線性特性 假如元件的輸出與輸入之間關(guān)系x2=f(x1)的曲線如圖，元件的工作點(diǎn)為(x10，x20)。將非線性函數(shù)x2= f(x1)在工作點(diǎn)(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù) )(! 21)()()(21011021

10、21011011012xxdxfdxxdxdfxfxfxxx當(dāng)(x1x10)為微小增量時(shí)，可略去二階以上各項(xiàng)，寫成 )()()(10120101101102xxKxxxdxdfxfxx 其中 為工作點(diǎn)(x10，x20)處的斜率，即此時(shí)以工作點(diǎn)處的切線代替曲線，得到變量在工作點(diǎn)的增量方程，經(jīng)上述處理后，輸出與輸入之間就成為線性關(guān)系。 101xdxdfK 圖2-8為一鐵芯線圈，輸入為ui(t)，輸出為i(t)。線圈的微分方程為 )()(tuRidtdidiidi 當(dāng)工作過程中線圈的電壓和電流只在工作點(diǎn)（u0,i0）附近變化時(shí)，即有 )()(0tuutuiiiii0 線圈中的磁通 對 也有增量變化，

11、假如在i0附近連續(xù)可微，將在i0 附近展開成泰勒級數(shù)，即 02021200)()(! 21)(ididididii因是微小增量，將高階無窮小量略去，得近似式 ididi00)()(tuiRdtidLi 這就是鐵芯線圈的增量化方程，為簡便起見，常略去增量符號而寫成 )(tuRidtdiLi2.2.1 2.2.1 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 在下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比，定義為線性定常系統(tǒng)的。 即，)()()(sRsCsG若已知線性定常系統(tǒng)的微分方程為： )()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadtt

12、cdadttcdammmmmmnnnnnn式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量 。 設(shè)c(t)和r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)初始值均為零，對上式取拉氏變換，得： )()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()()()()()()(sNsMsRsCsG或?qū)憺椋?傳遞函數(shù)與輸入、輸出之間的關(guān)系，可用圖表示。 G(s)R(s)C(s) 1.作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性只適用于線性定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性

13、積分運(yùn)算拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算。 2.傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達(dá)了系表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有參數(shù)有關(guān)關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無關(guān)。 3.傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理特不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)性和物理結(jié)構(gòu)。許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。 4.傳遞函數(shù)

14、只表示單輸入和單輸出傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)之間的關(guān)系，對多輸入多輸出系，對多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示陣表示。 5.傳遞函數(shù)式可表示成 )()()()()(2121nmpspspszszszsKgsG式中p1，p2pn為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的；z1、z2、 zn為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的； 6.傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，記為而D(s)=0稱為。 傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次大于或等大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即于分子多項(xiàng)式的階次，即nm。這是由于實(shí)際這是由于實(shí)際所造成的。所造成的。 nnn

15、nasasasasD1110)( 控制系統(tǒng)由許多元件組合而成，這些元件的物理結(jié)構(gòu)和作用原理是多種多樣的，但拋開具體結(jié)構(gòu)和物理特點(diǎn)，從傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來看，可以劃分成幾種典型環(huán)節(jié)，常用的典型環(huán)節(jié)有、等。 環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無時(shí)間滯后的環(huán)節(jié)稱為，也稱。輸入量與輸出量之間的表達(dá)式為：c(t)=Kr(t) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為： KsRsCsG)()()(式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。 2. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié)非周期環(huán)節(jié)) 慣性環(huán)節(jié)的動態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程： )()()(tKrtcdttdcT其傳遞函數(shù)為： 1)()()(TsKsRsCsG式中 T 慣性環(huán)

16、節(jié)的時(shí)間常數(shù) K 慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù) 當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，其單位階躍響應(yīng)為： )1 (11)()(11TteKsTsKLsCLtc單位階躍響應(yīng)曲線 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 慣性環(huán)節(jié)實(shí)例很多，如圖所示的R-L網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù)式中 RLT RK13. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動態(tài)特性方程： dttrTtcti0)(1)(其傳遞函數(shù)： sTsRsCsGi1)()()(式中Ti為積分時(shí)間常數(shù)為積分時(shí)間常數(shù)。 積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為： tTtCi1)(它隨時(shí)間直線增長，當(dāng)輸入突然消失，積分

17、停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。 上圖為運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為 sTRCssUsUsGii11)()()(0式中Ti = RC 4. 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動態(tài)方程 dttdrTtcd)()(其傳遞函數(shù) sTsRsCsGd)()()(式中 它的單位階躍響應(yīng)曲線 )()(tTtcd如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)，因此我們常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù) 1)(sTsKTsGdd其單位階躍響應(yīng)為 dTtKetc)( 曲線如下圖所示，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律下降，若K值

18、很大而Td值很小時(shí)，實(shí)際微分環(huán)節(jié)就愈接近于理想微分環(huán)節(jié)。 5. 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié)二階慣性環(huán)節(jié)) 二階振蕩環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為 ：)()()(2)(222tKrtcdttdcTdttcdT其傳遞函數(shù)： 12)()()(22TssTKsRsCsG2222)(nnnssKsG式中 為無阻尼自然振蕩角頻率，為無阻尼自然振蕩角頻率，為阻尼比為阻尼比。 Tn1 圖中所示為RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動態(tài)特性方程： )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi其傳遞函數(shù)： 222022 11)()()(nninssRCsLCstUtUsG式中 LCn

19、1LCR26. 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)(時(shí)滯環(huán)節(jié)時(shí)滯環(huán)節(jié)) 延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時(shí)間后才重現(xiàn)輸入信號，其動態(tài)方程為： )()(trtc其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越函數(shù)超越函數(shù)： sesRsCsG)()()(式中稱延遲時(shí)間稱延遲時(shí)間。 需要指出，在實(shí)際生產(chǎn)中，有很多場合是存在遲延的，比如皮帶或管道輸送過程、管道反應(yīng)和管道混合過程，多個(gè)設(shè)備串聯(lián)以及測量裝置系統(tǒng)等。遲延過大往往會使控制效果惡化，甚至使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。 在控制工程中，為了便于對系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，常將各元件在系統(tǒng)中的功能及各部分之間的聯(lián)系用圖形來表示，即和。 方框圖也稱方塊圖或結(jié)構(gòu)圖，具有形象和直觀的特點(diǎn)。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各

20、元件功能和信號流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。構(gòu)成方框圖的基本符號有四種，即、。 2.4.22.4.2系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成 對于一個(gè)系統(tǒng)在清楚系統(tǒng)工作原理及信號傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖，連接成系統(tǒng)方框圖。 例2-5 圖中為一無源RC網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫出其微分方程組為 dttiCtudttiCtutititiRtututiRtututi)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011零初始條件下，對等式兩邊取拉氏變換，得 )(1)()(1)()()()()()()()

21、()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI RC網(wǎng)絡(luò)方框圖 各環(huán)節(jié)方框圖 例2-6 圖中為電樞電壓控制的直流他勵(lì)電動機(jī),描述其運(yùn)動方程為 LDaMDeaaaaaaadtdJtictctetetiRdttdiLtuMMM)()()()()()()(零初始條件下，對式中兩邊取拉氏變換 )()()()()()()()()()()(ssJssscsscssEsIsLRsULDaMDeaaaaaaMMIME 將同一變量的信號線連接起來，將輸入U(xiǎn)a(s)放在左端，輸出(s)放在圖形右端，得系統(tǒng)方框圖如圖所示。 2.4.32.4.3環(huán)節(jié)間的連

22、接環(huán)節(jié)間的連接 環(huán)節(jié)的連接有環(huán)節(jié)的連接有串聯(lián)串聯(lián)、并聯(lián)并聯(lián)和和反饋反饋三種基本形式三種基本形式。 （1）串聯(lián)）串聯(lián) :在單向的信號傳遞中，若前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出就是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接如圖2-32所示，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。 n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù) :)()()( )()()()()()()()()(211121sGsGsGsXsCsXsXsRsXsRsCsGnn環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于串聯(lián)的各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。 環(huán)節(jié)的串聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)（2）并聯(lián)并聯(lián) :若各個(gè)環(huán)節(jié)接受同一輸入信號而輸出信號又匯合在一點(diǎn)時(shí)，稱為并聯(lián)。如圖2-34所示。由圖可知 )()()()(21sCsCsCsCn)(

23、)()( )()()()()()(2211sRsGsCsRsGsCsRsGsCnn總的傳遞函數(shù)為 )()()( )()()()()()()(2121sGsGsGsRsCsCsCsRsCsGnn環(huán)節(jié)的并聯(lián)（3）反饋反饋：若將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，與輸入信號相比較，就構(gòu)成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號與給定信號極性相反，則稱連接。反之，則為正反饋連接，若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1稱為。 反饋連接 反饋連接后，信號的傳遞形成了閉合回路。通常把由信號輸入點(diǎn)到信號輸出點(diǎn)的通道稱為前向通道前向通道；把輸出信號反饋到輸入點(diǎn)的通道稱為反饋通道反饋通道。 對于負(fù)反饋連接，給定信號r(t)和反饋信號b(

24、t)之差，稱為偏差信號偏差信號e(t) 即 )()()()()()(sBsRsEtbtrte通常將反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比，定義為開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)，即 開環(huán)傳遞函數(shù)= )()()()(sHsGsEsB輸出信號C(s)與偏差信號E(s)之比，稱為前向通前向通道傳遞函數(shù)道傳遞函數(shù)，即 前向通道傳遞函數(shù) = )()()(sGsEsC而系統(tǒng)輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比稱為閉閉環(huán)傳遞函數(shù)環(huán)傳遞函數(shù)，記為(s)或GB(s)。 )()()()()()()()()(sCsHsRsBsRsEsEsGsC得閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs對于正反饋

25、連接，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為： )()(1)()()()(sHsGsGsRsCs 有了系統(tǒng)的方框圖以后，為了對系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步的分析研究，需要對方框圖作一定的變換，以便求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。方框圖的變換應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對方框圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前、后輸入輸出總的數(shù)學(xué)關(guān)系式應(yīng)保持不變。除了前面介紹的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接可以簡化為一個(gè)等效環(huán)節(jié)外，還有信號引出點(diǎn)及比較點(diǎn)前后移動的規(guī)則。 例例2-7化簡圖(a)所示系統(tǒng)方框圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù) )()()(sRsCsG)()(1)GG(GG ) 1)(11)(1)()()(4321243212143211243212114321211G

26、GGGHGGGHGGGHGGGHGGGGGGHGGGsRsCsG 圖2-37 (a)是一個(gè)交錯(cuò)反饋多路系統(tǒng)，采用引出點(diǎn)后移或前移，比較點(diǎn)前移等，逐步變換簡化，可求得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 例例2-8 試化簡如圖2-37 (a)所示系統(tǒng)的方框圖，并求閉環(huán)傳遞函數(shù)。 )()(1)(1 ()()(33224312143215sHGGsHGGsHGGsGGGGGsG圖2-37 方框圖的變換與簡化 信號流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖信號流圖是表示線性方程組變量間關(guān)系的一種圖示方法示方法，將信號流圖用于控制理論中，可不必求解方程就得到各變量之間的關(guān)系，既直觀又形象。當(dāng)系統(tǒng)方框圖比較復(fù)雜時(shí)，可以將它轉(zhuǎn)

27、化為，并可據(jù)此采用求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 考慮如下簡單等式 jijixax 這里變量xi和xj可以是時(shí)間函數(shù)、復(fù)變函數(shù)，aij是變量xj變換(映射)到變量xi的數(shù)學(xué)運(yùn)算，稱作傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)，如果xi和xj是復(fù)變量s的函數(shù)，稱aij為傳遞函數(shù)Aij(s)，即上式寫為 )()()(sXsAsXjiji2.5.12.5.1信號流圖的定義信號流圖的定義變量xi和xj用節(jié)點(diǎn)“”來表示；傳輸函數(shù)用一有向有權(quán)的線段(稱為支路)來表示；支路上箭頭表示信號的流向，信號只能單方向流動。 信號流圖2.5.22.5.2系統(tǒng)的信號流圖系統(tǒng)的信號流圖 在線性系統(tǒng)信號流圖的繪制中應(yīng)包括以下步驟： （1）將描述系統(tǒng)的微分方程

28、轉(zhuǎn)換為以s為變量的代數(shù)方程。 （2）按因果關(guān)系將代數(shù)方程寫成如下形式 ： nnxaxaxax12121111nnxaxaxax22221212nnnnnnxaxaxax2211（3）用節(jié)點(diǎn)“”表示n個(gè)變量或信號，用支路表示變量與變量之間的關(guān)系。通常把輸入變量放在圖形左端，輸出變量放在圖形右端。 例例2-9 如上圖所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，v1為輸入、v3為輸出。選5個(gè)變量v1、i1、v2、i2、v3，由電壓、電流定律可寫出四個(gè)獨(dú)立方程 1211)()()(RsVsVsI)()()(2132sIsIRsV2322)()()(RsVsVsI)()(243sIRsV 將變量V1(s)、I1(s)、V2(s)、

29、I2(s)、V3(s)作節(jié)點(diǎn)表示，由因果關(guān)系用支路把節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)聯(lián)接，得信號流圖。 2.5.32.5.3信號流圖的定義和術(shù)語信號流圖的定義和術(shù)語 表示變量或信號的點(diǎn)，用“”表示。 連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的有向有權(quán)線段，方向 用箭頭表示，權(quán)值用傳輸函數(shù)表示。 指向節(jié)點(diǎn)的支路。 離開節(jié)點(diǎn)的支路。 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，也稱輸入節(jié)點(diǎn)， 如圖中節(jié)點(diǎn)X1。 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，如圖節(jié)點(diǎn)X7。 信號流圖定義與術(shù)語：既有輸入支路、又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)， 如圖中的X2、X3、X4、X5、X6。 ：沿著支路箭頭方向通過各個(gè)相連支路 的路徑，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)僅通過一次。 如X1到X2到X3到X4或X2到X3又反饋回X2。 ：從輸

30、入節(jié)點(diǎn)(源節(jié)點(diǎn))到匯節(jié)點(diǎn)的通道。 如圖X1到X2到X3到X4到X5到X6到X7為 一條前向通道，又如X1到X2到X3到X5 到X6到X7也為另一條前向通道。 ：通道的起點(diǎn)就是通道的終點(diǎn)，如圖X2到X3又反饋到X2；X4到X5 又反饋到X4。回路則是指起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，且不回路則是指起始節(jié)點(diǎn)和終止節(jié)點(diǎn)為同一節(jié)點(diǎn)，且不與其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)多于與其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)多于1次的封閉通路。次的封閉通路。 ：單一支路的閉通道，如圖中的-H3構(gòu)成 自回環(huán)。 通道傳輸或通道增益通道傳輸或通道增益：沿著通道的各支路傳輸?shù)?乘積。如從X1到X7前向通道 的增益G1G2G3G4G5G6。 ：如果一些回環(huán)沒有任

31、何公共的節(jié)點(diǎn)， 稱它們?yōu)椴唤佑|回環(huán)。如G2H1 與G4H2。 （1）信號流圖只適用于線性系統(tǒng)； （2）信號流圖所依據(jù)的方程式，一定為因果函數(shù)形式的代數(shù)方程； （3）信號只能按箭頭表示的方向沿支路傳遞； （4）節(jié)點(diǎn)上可把所有輸入支路的信號疊加，并把總和信號傳送到所有輸出支路； （5）具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可把其變?yōu)檩敵龉?jié)點(diǎn)，即匯節(jié)點(diǎn)； （6）對于給定的系統(tǒng)，其信號流圖不是唯一的。 （1）加法規(guī)則：n個(gè)同方向并聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之和，如圖(a) 所示： （2）乘法規(guī)則 ：n個(gè)同方向串聯(lián)支路的總傳輸，等于各個(gè)支路傳輸之積，如圖（b）。 （3）混合

32、節(jié)點(diǎn)可以通過移動支路的方法消去，如圖（c）。 （4）回環(huán)可根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路，如圖（d）。 例例2-10 2-10 將圖2-43所示系統(tǒng)方框圖化為信號流圖并化簡求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(sRsCs 解解：信號流圖如圖 (a)所示?；疓1與G2串聯(lián)等效為G1G2支路，G3與G4并聯(lián)等效為G3+G4支路，如圖 (b)，G1G2與-H1反饋簡化為 支路，又與G3+G4串聯(lián)，等效為 如圖 (c) 121211HGGGG12121431)(HGGGGGG進(jìn)而求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHG

33、GsGsGsGG 給定系統(tǒng)信號流圖之后，常常希望確定信號流圖中輸入變量與輸出變量之間的關(guān)系，即兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的總增益或總傳輸。上節(jié)采用信號流圖簡化規(guī)則，逐漸簡化，最后得到總增益或總傳輸。但是，這樣很費(fèi)時(shí)又麻煩，而梅遜(Mason)公式可以對復(fù)雜的信號流圖直接求出系統(tǒng)輸出與輸入之間的總增益，或傳遞函數(shù)，使用起來更為方便。 式中， T 輸出和輸入之間的增益或傳遞函數(shù)； Pk 第k條前向通道的增益或傳輸函數(shù)； 信號流圖的特征值，稱為流圖特征式稱為流圖特征式 =1- Lj1+ Lj2- Lj3+ Lj1所有不同回環(huán)增益之和； Lj2所有兩兩互不接觸回環(huán)增益乘積之和； Lj3所有三個(gè)互不接觸回環(huán)增益乘積之

34、和 梅遜增益公式可表示為 kkPTk 與第k條前向通道不接觸的那部分信號流圖的，稱為第k條前向通道特征式的余子式。 步驟步驟1 1：列寫出輸入：列寫出輸入R(s)R(s)到輸出到輸出C(s)C(s)的所有前向通路的所有前向通路步驟步驟2 2：列寫信號流圖的所有回路：列寫信號流圖的所有回路步驟步驟3 3：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征式：判斷所有回路的接觸性，利用流圖的特征式公式計(jì)算流圖的特征式公式計(jì)算流圖的特征式 步驟步驟4 4：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計(jì)算所：判斷前向通路與所有回路的接觸性，計(jì)算所有前向通路的特征余因子有前向通路的特征余因子步驟步驟5 5：利用：利用MasonM

35、ason公式計(jì)算輸入公式計(jì)算輸入R(s)R(s)到輸出到輸出C(s)C(s)的傳的傳遞函數(shù)遞函數(shù) 例例2-11 利用梅遜公式求圖中所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s) / R(s)。解解：輸入量R(s)與輸出量C(s)之間有四條前向通道，對應(yīng)Pk與k為P1=G1G2G3G4G5 1=1P2=G1G6G4G5 2=1P3=G1G2G7G5 3=1P4= -G1G6G2G7G5 4=1圖中有五個(gè)單回環(huán)，其增益為：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，其中L1與L2是互不接觸的，其增益之積L1L2 = G3G5

36、H1H2 系統(tǒng)的特征式為 21654321)(1LLLLLLLL系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )()(sRsC)(276515721546154321GGGGGGGGGGGGGGGGGG35463543215231HGGGHGGGGHGHG3276521533572HHGGGHHGGHGGG例例2-12 求圖示信號流圖的閉環(huán)傳遞函數(shù) 解解：系統(tǒng)單回環(huán)有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2系統(tǒng)的特征式 為： 212151311GGGGLii前向通道有四條： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G

37、2 4=1 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)中是相當(dāng)重要的，在線性系統(tǒng)理論中常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達(dá)式等，而這些模型之間又有著某些內(nèi)在的等效關(guān)系。MATLAB主要使用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式來描述(Linear Time Invariant簡記為)。 單輸入單輸出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG 11101110)()()(其中mn。G(s)的分子多項(xiàng)式的根稱為，分母多項(xiàng)式的根稱為。令分母多項(xiàng)式等于零，得系統(tǒng)的特征方程：D(s)=a0sn+

38、a1sn1+an1s+an=0 因傳遞函數(shù)為多項(xiàng)式之比,所以我們先研究MATLAB是如何處理多項(xiàng)式的。MATLAB中多項(xiàng)式用行向量表示，行向量元素依次為降冪排列的多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)，例如多項(xiàng)式P(s)=s3+2s+4 ,其輸入為： P=1 0 2 4 注意盡管s2項(xiàng)系數(shù)為0,但輸入P(s)時(shí)不可缺省0。 MATLAB下多項(xiàng)式乘法處理函數(shù)調(diào)用格式為 C=conv(A,B) 例如給定兩個(gè)多項(xiàng)式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3,求C(s)=A(s)B(s),則應(yīng)先構(gòu)造多項(xiàng)式A(s)和B(s),然后再調(diào)用conv( )函數(shù)來求C(s)A =1,3; B =10,20,3；C = conv

39、(A,B) C = 10 50 63 9即得出的C(s)多項(xiàng)式為10s3 +50s2 +63s +9 MATLAB提供的conv( )函數(shù)的調(diào)用允許多級嵌套,例如 G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)可由下列的語句來輸入 G=4*conv(1,2,conv(1,3,1,4) 有 了 多 項(xiàng) 式 的 輸 入 , 系 統(tǒng) 的 傳 遞 函 數(shù) 在MATLAB下可由其分子和分母多項(xiàng)式唯一地確定出來,其格式為 sys=tf(num,den) 其中num為分子多項(xiàng)式，den為分母多項(xiàng)式 num=b0,b1,b2,bm；den=a0,a1,a2,an；對于其它復(fù)雜的表達(dá)式,如)432)(3()62)(

40、1()(23222sssssssssG可由下列語句來輸入 num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den) Transfer function: 212313495566024032045sssssssssss2.6.2傳遞函數(shù)的特征根及零極點(diǎn)圖 傳遞函數(shù)G(s)輸入之后,分別對分子和分母多項(xiàng)式作因式分解,則可求出系統(tǒng)的零極點(diǎn),MATLAB提供了多項(xiàng)式求根函數(shù)roots(),其調(diào)用格式為 roots(p)其中p為多項(xiàng)式。 例如,多項(xiàng)式p(s)=s3+3s2+4 p=1,3,0,4; %p(

41、s)=s3+3s2+4 r=roots(p)%p(s)=0的根 r=-3.3533 0.1777+1.0773i 0.1777-1.0773i 反過來,若已知特征多項(xiàng)式的特征根,可調(diào)用MATLAB中的poly( )函數(shù),來求得多項(xiàng)式降冪排列時(shí)各項(xiàng)的系數(shù),如上例 poly(r) p = 1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 而polyval函數(shù)用來求取給定變量值時(shí)多項(xiàng)式的值,其調(diào)用格式為 polyval(p,a)其中p為多項(xiàng)式;a為給定變量值 例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=5時(shí)值： n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5

42、) value=66p,z=pzmap(num,den)其中, p傳遞函數(shù)G(s)= numden的極點(diǎn) z傳遞函數(shù)G(s)= numden的零點(diǎn)例如,傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)在復(fù)平面上的零極點(diǎn)圖,采用pzmap()函數(shù)來完成,零極點(diǎn)圖上,零點(diǎn)用“?！北硎?極點(diǎn)用“”表示。其調(diào)用格式為13316)(232sssssG)3)(2)(2()2)(1()(sisissssH 用MATLAB求出G(s)的零極點(diǎn),H(s)的多項(xiàng)式形式,及G(s)H(s)的零極點(diǎn)圖 numg=6,0,1; deng=1,3,3,1;z=roots(numg) z=0+0.4082i 00.4082i %G(s)的零點(diǎn)p=roo

43、ts(deng)p=1.0000+0.0000i 1.0000+0.0000i %G(s)的極點(diǎn) 1.0000+0.0000i n1=1,1;n2=1,2;d1=1,2*i; d2=1,-2*i;d3=1,3;numh=conv(n1,n2); denh=conv(d1,conv(d2,d3);printsys(numh,denh)124233232sssssnumh/denh=%H(s)表達(dá)式pzmap(num,den) %零極點(diǎn)圖title(pole-zero Map) 零極點(diǎn)圖如圖所示 ：2.6.3 控制系統(tǒng)的方框圖模型 若已知控制系統(tǒng)的方框圖,使用MATLAB函數(shù)可實(shí)現(xiàn)方框圖轉(zhuǎn)換。 1

44、.串聯(lián)串聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相串聯(lián),在MATLAB中可用串聯(lián)函數(shù)series( )來求G1(s)G2(s),其調(diào)用格式為 num,den=series(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGG)(212.并聯(lián)并聯(lián) 如圖所示G1(s)和G2(s)相并聯(lián),可由MATLAB的并聯(lián)函數(shù)parallel( )來實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為 num,den=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：22)(2dennumsG11)(1dennumsGdennumsGsG)()(213.反饋反饋 反 饋 連

45、 接 如 圖 所 示 。 使 用 M AT L A B 中 的feedback( )函數(shù)來實(shí)現(xiàn)反饋連接,其調(diào)用格式為 num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,sign) 式中：dengnumgsG)(sign為反饋極性,若為正反饋其為1,若為負(fù)反饋其為1或缺省。dennumsHsGsG)()(1)(denhnumhsH)(例如 G(s)= ,H(s)= ,負(fù)反饋連接。 21sss1numg=1,1;deng=1,2;numh=1;denh=1,0;num,den=feedback(numg,deng,numh,denh,1); printsys(num,den

46、) num/den= 1322ssss MATLAB中的函數(shù)series,parallel和feedback可用來簡化多回路方框圖。另外,對于單位反饋系統(tǒng),MATLAB可調(diào)用cloop( )函數(shù)求閉環(huán)傳遞函數(shù),其調(diào)用格式為 num,den=cloop(num1,den1,sign) 2.6.4 控制系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型 傳遞函數(shù)可以是時(shí)間常數(shù)形式,也可以是零極點(diǎn)形式,零極點(diǎn)形式是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母進(jìn)行因式分解得到的。MATLAB控制系統(tǒng)工具箱提供了零極點(diǎn)模型與時(shí)間常數(shù)模型之間的轉(zhuǎn)換函數(shù),其調(diào)用格式分別為 z,p,k= tf2zp(num,den)num,den= zp2tf(z,p,k)其中第一個(gè)函數(shù)可將傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成零極點(diǎn)表示形式,而第二個(gè)函數(shù)可將零極點(diǎn)表示方式轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)模型。 例如 G(s)= 226422012241223423sssssss用MATLAB語句表示：num=12241220;den=24622;z,p,k=tf2zp(num,den) z= 1.9294 0.03530.9287i 0.03530.9287i p=0.9