2016年高考理科數(shù)學(xué)真題及答案解析四川卷

1、2016四川省高考理科數(shù)學(xué)試題解析本試題卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）.第I卷1至2頁(yè)，第n卷3至4頁(yè)，共4頁(yè)，滿分150分，考tO4間120分鐘.考生作答時(shí)，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1 .設(shè)集合A=x|-2<x<2,Z為整數(shù)集，則集合AQZ中元素的個(gè)數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】由題可知，Ap|Z=二,_1,0,1,2,則ApZ中元素的個(gè)數(shù)為5選C2 .設(shè)i為

2、虛數(shù)單位，則（x+i）6的展開式中含x4的項(xiàng)為（）.4444A.-15xB.15xC.-20ixD.20ix【答案】A【解析】由題可知，24.24含x4的項(xiàng)為C6x4i2=_15x4選A3.為了得到函數(shù)y=sin.2x-|的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點(diǎn)（）3TTTTA,向左平行移動(dòng)鼻個(gè)單位長(zhǎng)度B,向右平行移動(dòng)鼻個(gè)單位長(zhǎng)度TTTTC,向左平行移動(dòng)g個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平行移動(dòng)z個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】由題可知，f兀:兀hy=sin.2x-=sin.|2.x-一，則只需把y=sin2x的圖象向右平移一個(gè)單位366選D4.用數(shù)字1,2,3,4,5構(gòu)成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)

3、的個(gè)數(shù)為（）A.24B.48C.60D.72【答案】D【解析】由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5;分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C3,再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列得到A4,則滿足條件的五位數(shù)有C；A4=72.選D5.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12ft0.05,lg1.3ft0.11,lg2=0.30）A. 2018年B. 2019年C. 2020年D. 2021年【答案】B【解

4、析】設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬(wàn)元由題可知,解得x=logx130(1+12%)=200,112出=1g2一1g1313.801301g1.12因資金需超過200萬(wàn)，則x取4,即2019年選B6.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法，如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例。若輸入n,x的值分別為3,2.則輸出v的值為（）A.9B.18D.35【解析】初始值n=3,x=2,程序運(yùn)行過程如下表所示v=1i=2i=1i=0i=-選Bv=122=4v=421=9v=920=1

5、8跳出循環(huán)，輸出v=18y-x-1,7 .設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足(x-1)2+(y-1)2£2,q：實(shí)數(shù)x,y滿足4y之1x,則p是q的()”1,A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】如圖，（x12+（y-1jw2表示圓心為（1,1）,半徑為也的圓內(nèi)區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）；y>x-1,y>1x,表示MBC內(nèi)部區(qū)域所有點(diǎn)（包括邊界）.心1實(shí)數(shù)x,y滿足則必然滿足，反之不成立.則p是q的必要不充分條件.故選A8 .設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|=2|

6、MF|,則直線OM斜率的最大值為（）A.D.1顯然，當(dāng)y。<。時(shí)，-1L-Litt4則OM=OFFMy。0.【解析】如圖，由題可知F-1T4T41丁2二一y。p=OFFP=OFOP-OF=OPOF=衛(wèi)33336p3y。y。_萬(wàn)2-2.2，22k0M=丁丁=不巧、荻=三'當(dāng)且僅當(dāng)y。=益等號(hào)成立十十6p3py。故選CI-Inx,。：二x：1,9 .設(shè)直線。，l2分別是函數(shù)f（x）=j|nx,x>1,圖象上點(diǎn)P，P2處的切線，x2此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。,1皿8）,B的坐標(biāo)為（QT+lnx?）,由此可得：AB=2Tn為一lnx2=2Tn為x2=2與l2垂直相交于點(diǎn)P,且l1,l2分

7、別與陣由相交于點(diǎn)A,B,則4PAB的面積的取值范圍是（B.（。，2）C.（。，二）D.（1,二）A.（。,1）【答案】A【解析】由題設(shè)知:不妨設(shè)P,P5點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：P1（x1,y1）P2（x2，y2）,其中。<x1<1<x2,1-一,0:二x：二1則由于l112分別是點(diǎn)P1,P2處的切線，而f'（x）=<x,1一,x1,x11倚：l1的斜率k1為一一，I2的斜率k2為一；x1x2又I1與l2垂直，且。<為<x2,可得:11k1k1=一1=一1=x1x2=1,x1加1.我們寫出與的方程分別為：L：y=一x-x1-1nxi為2-Inx1x22、兩式聯(lián)

8、立可解得交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x=-=11SpabABPx=2PAB的面積為：212XiX22x1x21x1xx2；1x1一當(dāng)且僅當(dāng)為=即為=1時(shí)等號(hào)成立x而0為1,所以S猷B1故選A.一,一一,一一.一八一、，U,一T一10.在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足|DA|=|DB|=|DC|,DADB=DBDC=DCDA=2,一一一2,一，一一，動(dòng)點(diǎn)P,M滿足|AP|=1,PM=MC,則|BM'|的取大值是（）A.【答案】【解析】434B49B.4376.3C.4D37+2癡4由題意，試=髭=說,所以D到A,B,C三點(diǎn)的距離相等，D是MBC的外心;TItTDADB=DBDC=DCDA=-2=DA

9、DBDBDC=DBDA-DC=DBCA=0,所以DB_LAC,同理可得，DA_BC,DC_AB從而D是MBC的垂心；.ABC的外心與垂心重合，因此AABC是正三角形，且D是AABC的中心;cos.ADBDADB:I12=2口同二2所以正三角形MBC的邊長(zhǎng)為2事；我們以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，B,C,D三點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（3,-）C（3,石）D（2,0卜而PM=1,設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為cosu,sin日）,其中ee卜2兀）,=MC，即m是pc的中點(diǎn)，可以寫出R“鉆灰，3+cos6Z3+sin日M的坐標(biāo)為M.,BM22*4cos<3-31,133+sin日=+I12)123712sini-.64:,

10、371249一4一42當(dāng)日二n時(shí),3故選B.第II卷(非選擇題共100分)二、填空題：本大題共5小題，每小題5分,共25分.一2n.2兀11 .cos-sin88【答案】_22【解析】由題可知,2兀cos-sin8=cos=(二倍角公式)42當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則12 .同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是3【答案】32【解析】由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù)，3X滿足二項(xiàng)分布XB.2,I,4一、.113的概率為P=1一=3224一.33則EX；=23=34213.已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為棱錐的

11、體積是.【答案】二3【解析】由題可知，三棱錐每個(gè)面都是腰為由正視圖可得如下俯視圖，2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三2的等腰三角形，且三棱錐高為h=1俯視圖則面積V=-Sh=-1=-332314.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)=4x,則f-5,2【答案】-2f(1)=【解析】首先，f(x)是周期為2的函數(shù)，所以f(x)=f(x+2)；而f(x)是奇函數(shù)，所以f(x尸-f(-x),所以：f(1)=f(T),fCA"1),即”1A0=fI1=-f25一一故f、-2J=-2,從而f11)l2y.5,21,0<-<

12、;1時(shí),21上12fq=42=2f1二一2(cos0,sin6),則P的伴隨點(diǎn)的坐標(biāo)為（sinfe（I2；I2）yP點(diǎn)的伴隨點(diǎn)為P'=(x0,y0),|x0則y。y22xyx2xy一y022%V。x22x0y015.在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為y-xP'.2-,-一2；當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí)，定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身，平面曲線C上Xyxy所有點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”所構(gòu)成的曲線C'定義為曲線C的“伴隨曲線”，現(xiàn)有下列命題：若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A',則點(diǎn)A'的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;單位圓的“伴隨曲線”是它自身；若曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，則其“

13、伴隨曲線"C'關(guān)于y軸對(duì)稱；一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是(寫出所有真命題的序號(hào)).【答案】yy-x【解析】設(shè)A的坐標(biāo)(x,y),伴隨點(diǎn)A'=一1,1一2,A'的伴隨點(diǎn)'x(x2+y2x2+y2,-x2x-y橫坐標(biāo)為7飛一79=-x,同理可得縱坐標(biāo)為一yxyxy故A''=(-x,-y).錯(cuò)誤；設(shè)單位圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(fP'=sin3-cost1-cosy】一一.一.一.兀所以P'也在單位圓上，即：P'點(diǎn)是P點(diǎn)延順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)-.正確；設(shè)曲線C上點(diǎn)A的坐標(biāo)(x,y),其關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)Ai=(x

14、,_y)也在曲線C上1y-x所以點(diǎn)A的伴隨點(diǎn)A'=，丁力，<x+yx+yJ點(diǎn)A的伴隨點(diǎn)A'2?2，wxj,A'與A'關(guān)于y軸對(duì)稱。正確；xyxy反例：例如y=l這條直線，則A=(0,1),B=(1,1)C=(2,1),而這三個(gè)點(diǎn)的伴1112一、.隨點(diǎn)分別是a'=(1,0)b'=!q,卜=弓，飛卜而這三個(gè)點(diǎn)不在同一直線上下面給出嚴(yán)格證明：設(shè)點(diǎn)P(x,y)在直線l:Ax+By+C=0,帶入直線方程可知：A2?°2+B2：2+C=0,%y0%-0化簡(jiǎn)得：-Ay0Bx0C(x02y02)0,當(dāng)C=0時(shí)，C(x02+y02)是一個(gè)常數(shù)，P&

15、#39;的軌跡是一條直線；當(dāng)C#0時(shí)，C(x02+y02)不是一個(gè)常數(shù)，P'的軌跡不是一條直線所以，直線伴隨曲線”不一定是一條直線.錯(cuò)誤.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或步驟.16.（本小題滿分12分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5）,0.5,1）,，4,4.5）分成9組，制成了如圖所示

16、白頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（III）若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說明理由.【解析】（I）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1.頻率=（頻率/組距廣組距0.50.080.160.40.520.120.080.042a）=1得a=0.3（II）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5K（0.12+0.08+0.04尸12%全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：30M12%=3.6（萬(wàn)）（III）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為：0.50

17、.080.160.30.40.52）=0.73即73%的居民月均用水量小于2.5噸，同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故2.5<x<3假設(shè)月均用水量平均分布，則x=25+05M（85%73%r03=29（噸）0.3注：本次估計(jì)默認(rèn)組間是平均分布，與實(shí)際可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差。17.（本小題滿分12分）在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且cosAcosBabsinCc(I)證明：sinAsinB=sinC;（II）若b2+c2-a2=6bc,求tanB.5sinAsinBsinC【解析】（I）證明：由正弦定理一a=b=一口可知原式可以化解為cosAcosBsinC-

18、=1sinAsinBsinC,A和B為三角形內(nèi)角，sinAsinB#0則，兩邊同時(shí)乘以sinAsinB,可得sinBcosA+sinAcosB=sinAsinB由和角公式可知，sinBcosAsinAcosB=sinAB=sin二_C=sinC原式得證。2226(II)由題b+c-a=-bc,根據(jù)余弦定理可知,5222八bc-a3cosA=二一2bc5A為為三角形內(nèi)角，A三（0m）,sinA>0If3S4目ncosA3則sinA=1-I-=一，即=一55sinA4,一acosAcosBsinC/cosB由（I）可知+=1,sinAsinBsinCsinB11tanB4tanB=418.(

19、本小題滿分12分)1如圖，在四棱錐PABCD中，AD/BC,NADC=/PAB=90：BC=CD=AD,E2為棱AD的中點(diǎn)，異面直線PA與CD所成的角為90°(I)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM/平面PBE,并說明理由；(II)若二面角PCDA的大小為45",求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【解析】（I）延長(zhǎng)AB,交直線CD于點(diǎn)M,E為AD中點(diǎn)，1AE=ED=AD,2八八1BC=CD=AD2，ED=BC, ,AD/BC即ED/BC, 四邊形BCDE為平行四邊形，BE/CD,abDcd=m,MCD,CM/BE,BEU面PBE,CM/面PBE,MwAB,ABU面PA

20、B, M正面PAB故在面PAB上可找到一點(diǎn)M使得CM/面PBE.（II）過A作AF_LEC交EC于點(diǎn)F,連結(jié)PF,過A作AG_LPF交PF于點(diǎn)G,/PAB=90,PA與CD所成角為90，PA_LAB,PA_LCD,abDcd=m,PA-ABCD, ECU面ABCD,PA_EC, EC_AF且afDap=a,CE_PAF,AGu面PAF,AG_CE, AG_LPF且AGQAF=A, AGWPFC,/APF為所求PA與面PCE所成的角， PA_L面ABCD,/ADC=90：|即AD_LDC./PDA為二面角PCDA所成的平面角，由題意可得/PDA=45",而/PAD=90",P

21、A=AD,BC=CD,四邊形BCDE是平行四邊形，/ADM=90,，四邊形BCDE是正方形，/BEC=45：1,/AEF=/BEC=45, /AFE=90;2AD4APAF=AE,2AFtan/APF=AP1sin/APF=.319.(本小題滿分12分)已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列Jan的前n項(xiàng)和，Sn+=qSn+1,其中qA0,nWN*.(I)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列，求an的通項(xiàng)公式；2nn2V543(II)設(shè)雙曲線x-=1的離心率為1且e2=一，證明：e+&+-+4>nj.an33【解析】由題&+二q&+1-可知當(dāng)n22時(shí)，&=qSn

22、j+1-，兩式相減可得an書=qan即an從第二項(xiàng)開始為公比q的等比數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)，帶入可得4+a2=qa1+1,a?=q，即an為公比q的等比數(shù)列根據(jù)2a2a®+2成等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得2%+a2+2=3a2+2=2a3即2q2-3q-2=0,求解可得_，、1q=2或q=一2由題qA0可知，q=2an=2、N*(II)證明：由雙曲線的性質(zhì)可知,由（I）可得，an為首項(xiàng)為1,225故e2=#+a2=。1+q=一,31公比為q的等比數(shù)列4即31a；'an)為首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列'通項(xiàng)公式為an2eie2e3.en144n4n-3n1原式得證.20.(本

23、小題滿分13分)22已知橢圓E:=+4=1(aAb>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的3個(gè)頂ab點(diǎn)，直線l:y=_x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(I)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(II)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線1'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線2l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)九，使得|PT|=K|PA|，|PB|,并求£的值.(I)設(shè)短軸一端點(diǎn)為C(0,b),左，右焦點(diǎn)分別為Fi(c,0),F2(c,0)(O0)則c.2而PT|=(7(xc-2)2+(3-xc-1)2)=2(xc2)2,PA-|.5tA,PB-|.5tB.,.IIIIIL52故有PAFB|=k5tA狙B=3(x02).由題意|PT=九PAPB.|PT一2(x02)2=4+b2=a2.由題意，fiF2C為直角三角形.2222|FiF2|=|FiC|+|F2C|解得b=c=a,222E:J4=1.2bb代入l:y=x+PAPB一22)7可彳導(dǎo)3x212x+182b2=0.l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn)，則A=122-43(182b2)=0,解得b2=3.22xy/.E:=1.63由b2=3,解得x=2,則y=x+3=1,所以T的坐標(biāo)為(2,