大一高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念

1、1引例引例導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系求導(dǎo)舉例求導(dǎo)舉例第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念(derivative)第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分2例例1 1直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知路程已知路程 s 與時(shí)間與時(shí)間 t 的的試確定試確定t0時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v(t0).一、一、引例引例).(tss 關(guān)系關(guān)系),()(00tsttss )( tv 這段時(shí)間內(nèi)的這段時(shí)間內(nèi)的平均速度平均速度在每個(gè)時(shí)刻的速度在每個(gè)時(shí)刻的速度.解解.ts 若運(yùn)動(dòng)是若運(yùn)動(dòng)是勻速的勻速的,

2、平均速度就等于質(zhì)點(diǎn)平均速度就等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程質(zhì)點(diǎn)走過(guò)的路程,00ttt 從時(shí)刻從時(shí)刻3它越近似的它越近似的定義為定義為 )(0tv,)()(lim000ttsttst 并稱之為并稱之為t0時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v(t0).若運(yùn)動(dòng)是若運(yùn)動(dòng)是非勻速非勻速的的,)( tv 平均速度平均速度是這段是這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的平均值時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的平均值,t 越小越小,表明表明 t0 時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢. 因此因此, 人們把人們把 t0時(shí)的速度時(shí)的速度ts 0lim t此式既是它的定義式此式既是它的定義式,又指明了它的計(jì)算又指明了它的計(jì)算瞬時(shí)速度是路程對(duì)時(shí)間的變化率瞬時(shí)速度是路程對(duì)時(shí)間的變化率.

3、注注方法方法,40 x處切線的斜率處切線的斜率.00(,)M xy已知曲線的方程已知曲線的方程確定點(diǎn)確定點(diǎn) 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的處的切線切線.如圖如圖,),(xfy x TxyO)(xfy CN M割線的極限位置割線的極限位置 切線位置切線位置.例例2 2曲線在一點(diǎn)的切線問(wèn)題曲線在一點(diǎn)的切線問(wèn)題5),(00yxM設(shè)設(shè)00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf N tan k00)()(xxxfxf ).,(yxN割線割線MN的斜率為的斜率為,0 xx 切線切線MT的斜率為的斜率為C沿曲線沿曲線,M0 xx TxyO)(x

4、fy CN M0limxx6 就其實(shí)際意義來(lái)說(shuō)各不相同就其實(shí)際意義來(lái)說(shuō)各不相同, 關(guān)系上確有如下的共性關(guān)系上確有如下的共性:但在數(shù)量但在數(shù)量上述兩例上述兩例,分別屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)中的問(wèn)題分別屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)中的問(wèn)題,),(xfy 1. 在問(wèn)題提法上在問(wèn)題提法上,都是已知一個(gè)函數(shù)都是已知一個(gè)函數(shù)求求y關(guān)于關(guān)于x在在x0處的變化率處的變化率.2. 計(jì)算方法上計(jì)算方法上,(1) 當(dāng)當(dāng)y隨隨 x均勻變化時(shí)均勻變化時(shí),用除法用除法.(2) 當(dāng)變化是非均勻時(shí)當(dāng)變化是非均勻時(shí),需作平均變化率的需作平均變化率的xyx 0limxxfxxfx )()(lim000極限運(yùn)算極限運(yùn)算:7定義定義的某個(gè)鄰域內(nèi)的某

5、個(gè)鄰域內(nèi)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0)(xxfy xxfxxfxy )()(00的的稱稱為為)(xf,00時(shí)時(shí)變到變到當(dāng)自變量從當(dāng)自變量從xxx )()()(00 xfxxfyxfy 的增量的增量函數(shù)函數(shù)之之比比變變量量的的增增量量 x 與自與自平均變化率平均變化率. .二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義,有有定定義義8, 0 x如如處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在并說(shuō)并說(shuō)0)(xxfxy 存在存在,平均變化率的極限平均變化率的極限:)1()()(lim000 xxfxxfx 0lim x.)(0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)在在xxf(derivative)或有導(dǎo)數(shù)或有導(dǎo)數(shù).則稱此極限值為則稱此極限值為,0 xxy )(0 xf 或

6、或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 可用下列記號(hào)可用下列記號(hào)處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.當(dāng)極限當(dāng)極限(1)式不存在時(shí)式不存在時(shí), 就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù) f (x)在在x09注：注：當(dāng)當(dāng)(1)式的極限為式的極限為有時(shí)也說(shuō)在有時(shí)也說(shuō)在x0處導(dǎo)數(shù)是正處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù)負(fù))無(wú)窮大無(wú)窮大,正正(負(fù)負(fù))無(wú)窮時(shí)無(wú)窮時(shí),但這時(shí)但這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在.10注注導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式:,)()(lim)(0000 xfxfxf .)()(lim)(0000 xfxfxf hhhh h h )(0 xf或或xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xx 0,)()(

7、lim000 xxxfxfxx 0 xx )0(f 特別特別，.)0()(lim0 xfxfx 11關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明(1) 點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)x0處的變化率處的變化率,它反映了它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.(2) 如果函數(shù)如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)就稱函數(shù) f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).,y 記作記作),(xf xydd.d)(dxxf或或(3) 對(duì)于任一對(duì)于任一都對(duì)應(yīng)著都對(duì)應(yīng)著 f (x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值., I

8、x 這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)f (x)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).12xxfxxfyx )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 注注 )(0 xf即即或或)(xf 0 xx 13例例 用導(dǎo)數(shù)表示下列極限用導(dǎo)數(shù)表示下列極限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可導(dǎo)可導(dǎo)在在設(shè)設(shè).2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知1435解解xafxafx5)()3(lim)1(0 )()3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3).(53af 解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0a

9、fhafh )(21af 211 h hxfhxfxfh)()(lim)(0000 hxfhxfxfh)()(lim)(0000 15右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)4. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) )(0 xf )(0 xf000()()lim;xf xxf xx 000()()lim.xf xxf xx 000( )()limxxf xf xxx000( )()limxxf xf xxx(left derivative)(right derivative)0()fx0()fx16處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性.處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在0)(xxf,)()(00都存在都存在和右導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)xfxf 且相等且相等此

10、性質(zhì)常用于判定此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)分段函數(shù)在在 分段點(diǎn)分段點(diǎn))(af 且且)(bf 和和.,)(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在閉區(qū)間在閉區(qū)間就說(shuō)就說(shuō)baxf如果如果)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),都存在都存在,17求求增增量量)1(算算比比值值)2(求求極極限限)3(三、求導(dǎo)舉例三、求導(dǎo)舉例( (幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)) ) 步步 驟驟 );()(xfxxfy ;)()(xxfxxfxy .lim0 xyyx 18例例.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 0lim h. 0 0)( C即即CC h0)( C

11、19和差化積公式：和差化積公式：sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin2220例例,sin)(xxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx .)(sin)(sin4 xxx 及及求求即即同理可得同理可得.sin)(cosxx 21例例.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx1)( nnnxx即即更一

12、般地更一般地)(.)(1Rxx 如如)(1 x11)1( x21x 22例例.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax aaaxxln)( .)(xxee 即即01lim,hhah 1,hat令令(1)logtah (1)00a1limlimloglnhthtatha 23例例.)1, 0(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 1(log)lnaxxa .1)(lnxx 0log (1)limahhxh0ln(1)limlnhhxha0limlnhhxha即即

13、1.lnxa24例例.0|)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解,|)0()0(hhhfhf hfhfh)0()0(lim0 , 1 hfhfh)0()0(lim0 . 1 ),0()0( ff.0)(點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy即即hhh 0limhhh 0limxy xyO251.幾何意義幾何意義表示表示)(0 xf )( ,tan)(0為傾角為傾角 xf)(xfy 曲線曲線,)(,(00切線的斜率切線的斜率處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)xfxM即即四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義0 x xyO)(xfy CT M26特別地特別地:)(,()(, 0

14、)()1(000 xfxxfyxf在點(diǎn)在點(diǎn)則曲線則曲線若若 ;軸軸的切線平行于的切線平行于Ox,)()2(0 xf若若)(,()(00 xfxxfy在點(diǎn)在點(diǎn)則曲線則曲線 .軸軸的切線垂直于的切線垂直于Ox).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfxxxfyy:)(,()(00處的切線方程為處的切線方程為在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線xfxxfy :)(,()(00的法線方程為的法線方程為在點(diǎn)在點(diǎn)曲線曲線xfxxfy 27例例,)2 ,21(1斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy 解解得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 .方

15、方程程和和法法線線方方程程并并寫寫出出在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線由由導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx. 01582 yx即即即即282.物理意義物理意義路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度;.ddlim)(0tststvt 變速直線運(yùn)動(dòng)變速直線運(yùn)動(dòng)29電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度;.ddlim)(0tqtqtit 為物體的線為物體的線(面面,體體)密度密度.交流電路交流電路非均勻的物體非均勻的物體 質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積面積,體積體積

16、)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)30該點(diǎn)必連續(xù)該點(diǎn)必連續(xù). .定理定理如果函數(shù)如果函數(shù)則函數(shù)在則函數(shù)在五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,)(xf證證,)(可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim0 xfxyx )(xfxyxxxfy )(0lim x0 .)(連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 即即根據(jù)函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，可知根據(jù)函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，可知所以所以, ,lim0 x31如如, ,0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)但在但在 x該定理的逆定理不一定成立該定理的逆定理不一定成立.注注,0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxxf.)(0的角點(diǎn)的角點(diǎn)為為xfx 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條

17、件連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件, ,不是可導(dǎo)的充分條件不是可導(dǎo)的充分條件. .xy xyO32例例.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx,0處處在在 x xy,1sinx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf xx01sin)0(x 001lim sin,xx 不存在33 .,)(002xxbaxxxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)為了使為了使 f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 解解 首先函數(shù)必須在首先函數(shù)必須在x

18、0處連續(xù)處連續(xù).由于由于 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf故應(yīng)有故應(yīng)有.200 xbax ,20 x,0bax .20 x應(yīng)如何選取應(yīng)如何選取a,b ?34又因又因 )(0 xf000( )()limxxf xf xxx02200limxxxxxx02x )(0 xf000( )()limxxf xf xxx0200()limxxaxbxxx000()()limxxaxbaxbxx200 xbax 000limxxaxaxxxa)(0 xf 02x 從而從而,當(dāng)當(dāng),20 xa f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo).,20 xb 35導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo); 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).六、小結(jié)六、小結(jié);)()()(000axfxfaxf 36判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否