沈恒范第四概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材習(xí)題答案學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1沈恒范第四概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材沈恒范第四概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材(jioci)習(xí)題答案習(xí)題答案第一頁，共58頁。2一.定義(dngy) )()(xXPxF 二.分布函數(shù)(hnsh) 的性質(zhì)：)(, 1)(0)1(xxF.),()()2(2121xxxFxF當(dāng) 1)(lim, 0)(lim)3( FxFFxFxx一.概念 xxFxxFxfx 0lim xF xXPxF xdxxf二、概率密度 的性質(zhì)： ; 0 xf 1 dxxf 2121xxdxxfxXxP對(duì)對(duì)離離散散隨隨機(jī)機(jī)變變量量，)4(右連續(xù)的階梯曲線. (5) 對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量，是單調(diào)上升的連續(xù)曲線 . 0)( xXP第1頁/共58頁

2、第二頁，共58頁。3一、均勻分布 . , 0;,1bxaxbxaabxf或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)二、指數(shù)分布 . 0 , 0 ;0,xxexfx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)一、離散型隨機(jī)變量(su j bin lin)函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)(hnsh)的分布 ;)()(1yXgPyYPyFY ).(2yFyfYY 特別地，若 xgy 為單調(diào)函數(shù)，則 ygygfyfXY11第2頁/共58頁第三頁，共58頁。41. 二維離散隨機(jī)變量(su j bin lin)的聯(lián)合概率分布, 3 , 2 , 1,),( jipyYxXPijji2. 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布(fnb)函數(shù)),(),(yYxXPyxF 3. 二維連續(xù)隨機(jī)變

3、量的聯(lián)合概率密度 yxFyxfxy, yxyxf,0),( 1),(dxdyyxf RdxdyyxfRYXP, yxdxdyyxfyYxXPyxF, ijijijp,p1 0第3頁/共58頁第四頁，共58頁。5一. 二維離散隨機(jī)變量的邊緣(binyun)分布 iXxpjjiyxp,)(ixXP jjiyYxXP),( jYypijiyxp,)(jyYP ijiyYxYP),(二. 二維連續(xù)隨機(jī)變量的邊緣(binyun)分布 xXdyyxfdxxFxF, xFdxdxfXX yYdxyxfdyyFyF, yFdydyfYY dyyxf, dxyxf,一. 離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 jYiXjiyp

4、xpyxp ,二. 連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 yxF, yFxFYX yxf, yfxfYX 第4頁/共58頁第五頁，共58頁。61. 和的分布(fnb)dyyxfdxxz,2. 平方和的分布(fnb) 3.（獨(dú)立的隨機(jī)變量）最大值與最小值的分布 ),()( 22zyxZdxdyyxfzF ),()(1maxzFzFnii )(11)(1minzFzFnii zfZ離散型 zYXPzZPzFZ ijjiijjikkZyxpyYxXPzZPzp,對(duì)于一切的 kjizyx連續(xù)型 或 jjikiikikZyxzpxzxpzp,若X、Y 獨(dú)立 jyjikXikYiiXkZypxzpxzpxpzp若X、Y

5、獨(dú)立 zfZ dyyfyzfdxxzfxfYXYXdyyyzfdxxzxf,第5頁/共58頁第六頁，共58頁。7（二）課后習(xí)題(xt)略解2 一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品。安裝機(jī)器時(shí)從中任取1個(gè)。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的概率分布。解設(shè)在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)為X，則X的所有可,3210、 430 XP 449119411 XP 2209109112412 XP 22011101112413 XPX)(ixP10434492201322209能取的值為：第6頁/共58頁第七頁，共58頁。83. 對(duì)一目標(biāo)(mbio)射擊，直至擊中為止。如果每次射擊

6、命中率為 p， 求射擊次數(shù)的概率分布及其分布函數(shù)。X)(mXP 1npqn21ppq32pq解設(shè)隨機(jī)變量X表示射擊次數(shù)，則X 服從幾何分布。2,1)1()(1 mppmXPmX的概率分布表如下：顯然，當(dāng)1 x時(shí)，; 0)()( xXPxF當(dāng)1 x時(shí)，)()(xXPxF 11xmmpq qqpx 111xq)1(1xp)1( qp其中，x為 x 的整數(shù)部分。第7頁/共58頁第八頁，共58頁。94自動(dòng)(zdng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為 p (0p 0, y 0 ,2x+3y 6 內(nèi)的概率. ()1f x, y dxdy 解: -(2 +3 )1 xyAedxdy2-3001 - xyed

7、xedy1)1 11,= 62 3 Axy第44頁/共58頁第四十五頁，共58頁。462)xy0 0 xy或或 0 0 xy且且 ()xyf x, y dxdy -(2 +3 )006xyxyedxdy-2-3= (1-)(1-).xyee() = 0,F x, y()F x, y() =F x, y-2-3(1-)(1-),xyee00 ,0 xy 0 0 xy或或 3)x 當(dāng)時(shí),( ) = 0,Xfx( ) =()Xfxf x, y dy 0 x 當(dāng)時(shí),-(2 +3 )20= 62xy- xedye 第45頁/共58頁第四十六頁，共58頁。47xy2+ 3= 6xy323)( ) =Xfx

8、,22- xe0 x x 0.( ) =Yfy,33- ye0 y y 0.-(2 +3 )()6xyRPX,YRedxdy13(6-2 )23-630061-70.983.x- x- yedxedye第46頁/共58頁第四十七頁，共58頁。4842 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) X 與 Y 獨(dú)立，X 在 0,2 服從均勻分布,Y 服從(fcng)指數(shù)分布 e(2) ,求:1) 二維隨機(jī)變量(su j bin lin) (X ,Y)的聯(lián)合概率密度; 2)P(XY).解:則其概率密度:;1,0( )20,Xxfx 其其它它. .因 X U (0,2),Y e(2),;22,0( )0,

9、0.- yYeyfyy 又X 與 Y 獨(dú)立，所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度; ,;,20200- yexyfx, y 其其它它。yx22)P(XY) =220+- yxdxedy -41(1-).4ey = x第47頁/共58頁第四十八頁，共58頁。4943 設(shè)隨機(jī)變量 X 與 Y 獨(dú)立(dl)，并且都服從二項(xiàng)分布： ;1110,1,2,n -iiiXnpi = Cp q,i =n試證明(zhngmng)它們的和 Z = X + Y 也服從二項(xiàng)分布。 .2220,1,2,n - jjjYnpj = Cp q, j =n解因隨機(jī)變量(su j bin lin) X 與 Y 獨(dú)立， X0( )()k

10、ZYi=pk =pi pk - i隨機(jī)變量Z 的所有可能取值:k = 0,1, 2, 3, ,.12+nn0ki=11n -iiinCp q22()n - k-ik-ik-inCpq1(inC0ki=12n +n -kkp q2)k-inC0ki=1(inC2)k-inC12kn +n= C0ki=12kn +nC12n +n -kkp q Zpk0ki=12kn +nC12n +n -kkp q第48頁/共58頁第四十九頁，共58頁。5044設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) X,Y 相互獨(dú)立,其概率密度分別為:;1,01( )0,其其它它. .Xxfx和 ;,0( )0,0.-yYey

11、fyy 求隨機(jī)變量(su j bin lin) Z=X+Y 的概率密度 .zfZ ,()ZXYfzfxfz - x dx 解 ; 0zfZ當(dāng) 0 z時(shí)， ()011-;z- z x-zZfzedxe當(dāng) 0z 時(shí)， 當(dāng) 1z 時(shí)， 1()0( -1).- z x-zZfzedxee1-;-ze( -1).-zee Zfz00 z0 zz 1xzO1z = x第49頁/共58頁第五十頁，共58頁。5145: 設(shè)隨機(jī)變量(su j bin lin) X 與Y 獨(dú)立，并且 X 在區(qū)間 上服從 求:隨機(jī)變量(su j bin lin) Z=X+Y 的概率密度。0,1均勻分布: ;1,01( )0,其其它

12、它. .Xxfx01( )2120.Yyyfy- yy其其它它Y 在區(qū)間(q jin) 上服從辛普森分布: 0,2解 ,()ZXYfzfxfz - x dx zxoz = x1z = x+2z = x +3211當(dāng) 時(shí),03或或zz ; 0Zfz第50頁/共58頁第五十一頁，共58頁。52當(dāng) 時(shí),0 zzxoz = x1z = x +2z = x +3211 0()zZfzz - x dx,22z=當(dāng) 時(shí),1 z 102 -()z-Zfzz - x dx 11()z-z - x dx;233 -2= -zz當(dāng) 時(shí),23z 122 -()Zz-fzz - x dx;219- 322=zz +,2

13、2z;233 -2-zz;219-3 +22zz0 z23 z1 z03或或 zz0. Zfz第51頁/共58頁第五十二頁，共58頁。5346: 在電子儀器中,為某個(gè)(mu )電子元件配置一個(gè)備用電子元件,設(shè)這兩個(gè)電子元件的使用壽命X及Y分別(fnbi)服從指數(shù)分布:當(dāng)原有的元件損壞時(shí),備用(biyng)的即可接替使用.求它們的使用壽命總和X+Y的概率密度.( 考慮 兩種情形 ) ( )( ),ee及及解設(shè):Z = X + Y,由已知:,;.;0( )00 xXexfxx ,;.;0( )00yYeyfyy ,()ZXYfzfxfz - x dx xz = xz第52頁/共58頁第五十三頁，共

14、58頁。54xz = xz ,()ZXYfzfxfz - x dx ,0z-x-(z-x)Zfzeedx()0z-z- xeedx0z 當(dāng) 時(shí),0z 當(dāng) 時(shí) , 2-z ze.20z-z edx 0;Zfz Zfz0.,2-z ze0z 0z ,0z-x-(z-x)Zfzeedx()-z-ze- e. - (),-z-ze- e - Zfz0z 0z 0.第53頁/共58頁第五十四頁，共58頁。5547: (= 1) =(0,1)+(1,0)+(1,1) = 0.04,P Uppp,(= 0) =(0,0) = 0P Up0,1,2,3,4,5.U的的所所有有可可能能取取值值 : :1):()

15、,U = max X,Y(= 5) =(0,5)+(1,5)+(2,5)+(3,5) = 0.28;P UppppU01234500.040.160.280.240.28Up (u)2):(),V = min X,Y0,1,2,3.V的的所所有有可可能能取取值值 : :,(= 0) =(0,0)+(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5) +(1,0)+(2,0)+(3,0) = 0.28P Vppppppppp第54頁/共58頁第五十五頁，共58頁。56(= 1) =(1,1)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5) +(2,1)+(3,1) = 0.30,P Vpp

16、ppppp(= 3) =(3,3)+(3,4)+(3,5) = 0.17, P VpppV01230.280.300.250.17Vp (v)3):W = X +Y0,1,2,3,4,5,6,7,8.W的的所所有有可可能能取取值值 : :,(W = 0) =(0,0) = 0Pp,(W = 1) =(0,1)+(1,0) = 0.02Ppp(W = 8) =(3,5) = 0.05.Pp第55頁/共58頁第五十六頁，共58頁。57W01234500.020.060.130.190.24( )Wpw60.1970.1280.0548. 電子儀器由六個(gè)相互獨(dú)立(dl)的部件)3 , 2 , 1; 2 , 1( ji如圖，設(shè)各個(gè)(gg)部件的使用壽命服從(fcng)相同的指數(shù)分布求儀器使用壽命的概率密度。組成，ijLijXL11L13L21L12L22L23解各部件的使用壽命 3 , 2 , 1 , 2 , 1 , jiXij