高等流體力學(xué)第六章

1、第六章第六章 導(dǎo)熱問題的數(shù)值解導(dǎo)熱問題的數(shù)值解6.1 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱X(x)e(x)wWwxeEP0SdxdTkdxd6.2 邊界條件與源項(xiàng)的處理邊界條件與源項(xiàng)的處理n一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱ddTk+S=0dxdxPPCTSSS()0wPWeEPcPPewkTTkTTSS TxxxewweSdxdxdTkdxdTk06.2 邊界條件與源項(xiàng)的處理邊界條件與源項(xiàng)的處理n一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱0SdxdTkdxdbTaTaTaWWEEPP eeExka wwWxka其中xSaaapWEPxSbc6.2 邊界條件與源項(xiàng)的處理邊界條件與源項(xiàng)的處理n一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱bTaTaTaWW

2、EEPPPnbnbTa Tb式中下標(biāo)nb表示一個(gè)相鄰結(jié)點(diǎn)，表示對(duì)所有的相鄰結(jié)點(diǎn)求和 6.3 邊界條件邊界條件在熱傳導(dǎo)問題中有三類典型的邊在熱傳導(dǎo)問題中有三類典型的邊界條化：界條化： 1已知邊界溫度已知邊界溫度 2已知邊界熱流密度已知邊界熱流密度 3通過放熱系數(shù)和周圍流體的通過放熱系數(shù)和周圍流體的 溫度來規(guī)定邊界的熱流密度溫度來規(guī)定邊界的熱流密度6.3 邊界條件邊界條件“半”控制容積WIBXEP典型控制容積M6.3 邊界條件對(duì)控制容積積分，考慮熱流與溫度關(guān)系對(duì)控制容積積分，考慮熱流與溫度關(guān)系0iBIBCPBik TTqSS Txx 0ddTkSdxdx0BiCPBqqSS Tx dTqkdx B

3、Ii邊界附近的半控制容積x( x)i6.3 邊界條件 BBIIa Ta TbiIikaxCBbSxq BIPaaSxBIi邊 界 附 近 的 半 控 制 容 積 x( x )i6.3 邊界條件（第三類） BqBIBqh TTBTBBIIa Ta TbilikaxCIbSxhT BIPaaSxh 如果熱流密度系由放熱系數(shù)h以及環(huán)境流體溫度T 那么于是對(duì)于的方程變?yōu)椋菏街?.4 四項(xiàng)基本法則n法則法則1：在控制容積面上的連續(xù)性：在控制容積面上的連續(xù)性 當(dāng)一個(gè)面作為兩個(gè)相鄰控制容積所共有，離當(dāng)一個(gè)面作為兩個(gè)相鄰控制容積所共有，離散化方程內(nèi)必須用相同的表達(dá)式來表示通過散化方程內(nèi)必須用相同的表達(dá)式來表示

4、通過該面的熱流密度、質(zhì)量流量以及動(dòng)量通量。該面的熱流密度、質(zhì)量流量以及動(dòng)量通量。一維問題的典型網(wǎng)格點(diǎn)群控制容積(x)e(x)wWwPEe6.4 四項(xiàng)基本法則 圖圖3.5 由二次曲線分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性由二次曲線分布所得到的熱流密度的不連續(xù)性WP左邊的斜率右邊的斜率TExEE 6.4 四項(xiàng)基本法則n法則法則2：正系數(shù)：正系數(shù) 所有的系數(shù)（所有的系數(shù)（ 以及各相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)以及各相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù) ）必）必須總是正的。須總是正的。panbappEEWWa Ta Ta TbPPnbnba Ta Tb （3.13） （3.15）6.4 四項(xiàng)基本法則n法則法則3：源項(xiàng)的負(fù)斜率線性化：源項(xiàng)的負(fù)斜率線性化

5、 當(dāng)源項(xiàng)線性化為當(dāng)源項(xiàng)線性化為 時(shí)，系數(shù)時(shí)，系數(shù) 必必須總是小于或是等于須總是小于或是等于0。CPPSSS TPSppEEWWa Ta Ta TbeEekaxwWwkax其中其中6.4 四項(xiàng)基本法則n aP= aE + aW - SP xn法則法則4：相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)之和：相鄰結(jié)點(diǎn)系數(shù)之和 為了使微分方程在因變量增加一個(gè)常數(shù)之后也為了使微分方程在因變量增加一個(gè)常數(shù)之后也仍然能得到滿足，我們要求：仍然能得到滿足，我們要求： pnbaza方程（方程（3.18）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，遵守此法則。時(shí)，遵守此法則。（3.18）0pS 6.5 界面導(dǎo)熱系數(shù)離散化方程：離散化方程：ppEEWWa Ta Ta Tb一維問題

6、的典型網(wǎng)格點(diǎn)群控制容積(x)e(x)wWwPEe6.5 界面導(dǎo)熱系數(shù)其中：其中：eEekaxwWwkax如何求取導(dǎo)熱系數(shù)如何求取導(dǎo)熱系數(shù)ki？6.5 界面導(dǎo)熱系數(shù)n假設(shè)假設(shè)k在在P點(diǎn)和點(diǎn)和E點(diǎn)之間呈線性變化，則：點(diǎn)之間呈線性變化，則：其中：其中：（4.5）()()eeexfx（4.6）eEP()ex()ex()exke = fe kP+ (1-fe)kE6.5 界面導(dǎo)熱系數(shù)n如果界面如果界面e位于兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間的中點(diǎn)，那么位于兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間的中點(diǎn)，那么fe將是將是0.5，ke就是就是kp與與ke的算術(shù)平均值。的算術(shù)平均值。界面熱流密度：界面熱流密度：()()ePEeek TTqx（4.8）對(duì)于

7、在對(duì)于在P點(diǎn)與點(diǎn)與E點(diǎn)之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱點(diǎn)之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源一維導(dǎo)熱的分析，可得：源一維導(dǎo)熱的分析，可得：()/()/PEeePeETTqxkxk（4.7）6.5 界面導(dǎo)熱系數(shù)n將（將（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：）合并在一起，就得到：11eeePEffkkk（4.9）當(dāng)界面位于當(dāng)界面位于P和和E之間的中點(diǎn)時(shí)，則之間的中點(diǎn)時(shí)，則 ，0.5ef 有有1110.5()ePEkkk（4.10）6.5 界面導(dǎo)熱系數(shù)n將式（將式（4.9）代入）代入 ，eEekax得得1()()eeEPExxakk（4.11）ae代表點(diǎn)代表點(diǎn)P和和E之間的材料的熱導(dǎo)。之間的材料的熱導(dǎo)。1

8、.令令 ，0Ek則由方程（則由方程（4.9）可得：）可得： 。0ek 2.令令 ，PEkk則：則： 。 Eeekkf6.6 源項(xiàng)的線性化n當(dāng)源項(xiàng)當(dāng)源項(xiàng)S與與T有關(guān)時(shí)，則：有關(guān)時(shí)，則：CP PSSS TS的線性化應(yīng)當(dāng)是的線性化應(yīng)當(dāng)是S-T關(guān)系的一個(gè)良好的表達(dá)式，關(guān)系的一個(gè)良好的表達(dá)式，還必須滿足非正的還必須滿足非正的SP的基本法則。的基本法則。6.6 源項(xiàng)的線性化例例1.已知：已知： 。54ST某些可能的線性化如下：某些可能的線性化如下：1.5,4.CPSS 2.*54,0.CPPSTS當(dāng)當(dāng)S的表達(dá)式很復(fù)雜時(shí)，采用此方式。的表達(dá)式很復(fù)雜時(shí)，采用此方式。3.*57,11.CPPSTS 曲線比實(shí)際的

9、曲線比實(shí)際的S-T關(guān)系更陡的曲線，這關(guān)系更陡的曲線，這將使迭代的收斂速度減慢。將使迭代的收斂速度減慢。6.6 源項(xiàng)的線性化例例2.已知：已知： 。37ST某些可能的線性化如下：某些可能的線性化如下：1.3,7.CPSS2.*37,0.CPPSTS3.*39,2.CPPSTS 導(dǎo)致收斂速度減慢。導(dǎo)致收斂速度減慢。不可接受，因?yàn)椴豢山邮埽驗(yàn)镾P為正。為正。6.6 源項(xiàng)的線性化例例3.已知：已知： 。345ST某些可能的線性化如下：某些可能的線性化如下：1.*24,.CPPSST 2.*345,0.CPPSTS3.*3*24 10,15.CPPPSTST 則：則：*3*2*4515PPPPPPdS

10、SSTTTTTTdT在在 點(diǎn)，所選擇的直線與點(diǎn)，所選擇的直線與S-T曲線相切。曲線相切。*PT6.6 源項(xiàng)的線性化4.*3*2420,25.CPPPSTST 收斂慢。收斂慢。圖4.2 四種可能的線性化ST已知曲線4321345ST*PT6.7 線性代數(shù)方程的解 一維離散化方程的解可以用標(biāo)準(zhǔn)的高一維離散化方程的解可以用標(biāo)準(zhǔn)的高斯斯(Gauss )消去法得到，由于方程的形消去法得到，由于方程的形式特別簡(jiǎn)單，消去過程的算法就變得式特別簡(jiǎn)單，消去過程的算法就變得十分方便有時(shí)候，這種算法稱之為十分方便有時(shí)候，這種算法稱之為TDMA(三對(duì)角矩陣算法三對(duì)角矩陣算法)TDMA的名的名稱基于：在寫這些方程的系數(shù)

11、矩陣時(shí)，稱基于：在寫這些方程的系數(shù)矩陣時(shí)，所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三條所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三條對(duì)角線上對(duì)角線上(僅對(duì)角元素及其上下鄰位上僅對(duì)角元素及其上下鄰位上的元素不為零的元素不為零)6.7 線性代數(shù)方程的解式中下標(biāo)式中下標(biāo)il，2，3，N于是溫于是溫度度Ti與相鄰的溫度與相鄰的溫度Ti-1及及Ti+1有關(guān)有關(guān)iiiiiiidTcTbTa11 （1）將方程將方程ppEEWWa Ta Ta Tb改寫成：改寫成：6.7 線性代數(shù)方程的解n顯然當(dāng)顯然當(dāng)i1時(shí)，時(shí)，C=0，而，而i=N時(shí)，時(shí)，B=0，即首、，即首、尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的方程中僅有兩個(gè)未知數(shù)。尾兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的方程中僅有兩個(gè)未知數(shù)。nTD

12、MA的求解過程分為消元與回代兩步。的求解過程分為消元與回代兩步。n消元時(shí)，從系數(shù)矩陣的第二行起，逐一把每行消元時(shí)，從系數(shù)矩陣的第二行起，逐一把每行中的非零元素消去一個(gè)，使原來的三元方程化中的非零元素消去一個(gè)，使原來的三元方程化為二元方程。消元進(jìn)行到最后一行時(shí)，該二元為二元方程。消元進(jìn)行到最后一行時(shí)，該二元方程就化為一元?？闪⒓吹贸鲈撐粗康闹?。方程就化為一元。可立即得出該未知量的值。n逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。6.7 線性代數(shù)方程的解111iiiiTP TQ假設(shè)在前向代入過程中，得到假設(shè)在前向代入過程中，得到1iiiiTPTQ111ii

13、iiiiiiiaTbTc P TQd 把方程（把方程（2）代入方程（）代入方程（1）就得到：）就得到： （2） （3）6.7 線性代數(shù)方程的解改寫成：改寫成：1111iiiiiiii iii ibdc QTTac Pac P與式（與式（2）相比，有）相比，有1biPiac Pii i11dc Qii iQiac Pii i6.7 線性代數(shù)方程的解n 可以由左端點(diǎn)的離散方程來確定：可以由左端點(diǎn)的離散方程來確定：,iiP Q1 11 21 01aTbTcTd其中其中 ，1 00cT 所以，所以，112bPa111dQa6.7 線性代數(shù)方程的解n當(dāng)消元到最后一行時(shí)，有：當(dāng)消元到最后一行時(shí)，有：1NN

14、NNTP TQ而而 ，10NNP T所以，所以，NNTQ從上式出發(fā)，逐個(gè)回代，得出從上式出發(fā)，逐個(gè)回代，得出Ti（N-1，1）。）。例題k1；源項(xiàng)ST，SC0，Sp1，T10設(shè)有一導(dǎo)熱型方程 ，邊界條件為x0，T0；x1， 。將該區(qū)域三等分，求該問題的解。解：由導(dǎo)熱方程知220d TTd x1dTdx， T1/301T2/3123TT46.7 線性代數(shù)方程的解6.7 線性代數(shù)方程的解bTaTaTaWWEEPP eeExka wwWxkaxSaaapWEPxSbc3 , 210T 1/3x1/3x 221 13 32a TaTa Tb3 322443a Ta Ta Tb443 34a Ta Tb

15、a1=a3=3,a2=19/3,b2=0 a2=a4=3,a3=19/3,b3=0 a3=3,a4=19/6,b4=-1 1)/(*0q44dxdTkxSbc， 6.7 線性代數(shù)方程的解即19/3T2=3T3+3T119/3T3=3T4+3T219/6T4=3T3-1T1=0T2=-243/1121T3=-27/59T4=-840/11216.7 線性代數(shù)方程的解高斯高斯塞始爾塞始爾(Gauss5eldel)逐點(diǎn)計(jì)算法逐點(diǎn)計(jì)算法PPnbnba Ta Tb*nbnbPPa TbTa其中其中Tnb*代表在計(jì)算機(jī)存貯器中所存在的相鄰點(diǎn)的溫度值對(duì)于那些在本次代表在計(jì)算機(jī)存貯器中所存在的相鄰點(diǎn)的溫度值對(duì)

16、于那些在本次迭代過程中已經(jīng)被訪問過的相鄰點(diǎn)是迭代過程中已經(jīng)被訪問過的相鄰點(diǎn)是新鮮的計(jì)值，而對(duì)于那些尚待訪問的相鄰點(diǎn)是由前一次達(dá)代所得到的值新鮮的計(jì)值，而對(duì)于那些尚待訪問的相鄰點(diǎn)是由前一次達(dá)代所得到的值6.7 線性代數(shù)方程的解高斯高斯塞始爾塞始爾(Gauss5eldel)逐點(diǎn)計(jì)算法逐點(diǎn)計(jì)算法121TT212.50.5TT 迭代序列號(hào)01234T10-1-4-11.5-30.25T20-3-10.5-29.5-76.136.7 線性代數(shù)方程的解高斯高斯塞始爾塞始爾(Gauss5eldel)逐點(diǎn)計(jì)算法逐點(diǎn)計(jì)算法120.40.2TT211TT 迭代的序號(hào)012345T10020680872094909

17、2010T2012168187219491980206.7 線性代數(shù)方程的解逐行計(jì)算法逐行計(jì)算法 所選定的行6.7 線性代數(shù)方程的解松弛松弛 PPnbnba Ta TbnbnbPPa TbTa*PT*nbnbPPPPa TbTTTaPT我們?cè)诜匠痰挠覀?cè)加上我們?cè)诜匠痰挠覀?cè)加上，再減它，我們就有：，再減它，我們就有：括號(hào)內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的括號(hào)內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的的變化。這一變化可以通過引進(jìn)一個(gè)的變化。這一變化可以通過引進(jìn)一個(gè) 6.7 線性代數(shù)方程的解松弛松弛 *nbnbPPPPa TbTTTaPT括號(hào)內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的括號(hào)內(nèi)的部分代表由本次迭代所產(chǎn)生的的變化。這

18、一變化可以通過引進(jìn)一個(gè)的變化。這一變化可以通過引進(jìn)一個(gè) 松弛因子加以修改，所以松弛因子加以修改，所以*nbnbPPPPa TbTTTa*1PPPnbnbPaaTa TbT6.8 超松弛與欠松弛n在代數(shù)方程的迭代求解過程中，或是用于處理非線性問題的整體迭代模式中，往往希望加快或是減慢前后二次迭代之間因變量值的變化。n因變量的變化被加速超松弛；因變量的變化被減慢欠松弛。對(duì)于離散方程取 作為前一次迭代所得TP值。采用一個(gè)松弛因子 離散方程可以寫成 如果我們?cè)诜匠痰挠覀?cè)加上 變換可以得到 括號(hào)內(nèi)部分代表本次迭代所產(chǎn)生的TP的變化?？梢酝ㄟ^引進(jìn)一個(gè)松弛因子加以修改 , 為松弛因子當(dāng)?shù)諗繒r(shí)， TP和 相等PPnbnba Ta Tb*PTnbnbPPa TbTa*PT*nbnbPPPPa TbTTTa*nbnbPPPPa TbTTTa*PT