概率論與數理統計概率4-1

1、概率論概率論 第一節(jié)第一節(jié) 數學期望數學期望離散型隨機變量的數學期望離散型隨機變量的數學期望連續(xù)型隨機變量的數學期望連續(xù)型隨機變量的數學期望隨機變量函數的數學期望隨機變量函數的數學期望數學期望的性質數學期望的性質小結小結 布置作業(yè)布置作業(yè)概率論概率論 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的的全部概率特征也就知道了全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實際應用中，人們并不需要知而在一些實

2、際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了數字特征就夠了.概率論概率論 因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數字特征是重要的字特征是重要的 .在這些數字特征中，最常用的是在這些數字特征中，最常用的是數學期望數學期望、方差、協方差和相關系數方差、協方差和相關系數概率論概率論 一、離散型隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望 1、概念的引入：、概念的引入：我們來看一個引例我們來看一個引例. 例例1 某車間對工人的生產情況進行考察某車間對工人的生產情況進行考察. 車工車工小張

3、每天生產的廢品數小張每天生產的廢品數X是一個隨機變量是一個隨機變量. 如何定如何定義義X的平均值呢？的平均值呢？我們先觀察小張我們先觀察小張100天的生產情況天的生產情況概率論概率論 若統計若統計100天天, 32天沒有出廢品天沒有出廢品;30天每天出一件廢品天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品天每天出三件廢品;27. 1100213100172100301100320可以得到這可以得到這100天中天中 每天的平均廢品數為每天的平均廢品數為這個數能否作為這個數能否作為X的平均值呢？的平均值呢？（假定小張每天至多出（假定小張每天至多出現三件廢品現三件廢品

4、）概率論概率論 可以想象，若另外統計可以想象，若另外統計100天，車工小張不出廢品，天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數與前面的出一件、二件、三件廢品的天數與前面的100天一般天一般不會完全相同，這另外不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數也不天每天的平均廢品數也不一定是一定是1.27.n0天沒有出廢品天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品天每天出三件廢品.nnnnnnnn32103210可以得到可以得到n天中每天的平均廢品數為天中每天的平均廢品數為(假定小張每天至多出假定小張每天至多出三件廢品三件廢品

5、) 一般來說一般來說, 若統計若統計n天天 ,概率論概率論 這是這是以頻率為權的加權平均以頻率為權的加權平均nnnnnnnn32103210 當當N很大時，頻率接近于概率，很大時，頻率接近于概率，所以我們在求廢品數所以我們在求廢品數X的平均值時，用的平均值時，用概率代替概率代替頻率頻率，得平均值為，得平均值為32103210pppp這是這是以概率為權的加權平均以概率為權的加權平均這樣得到一個確定的數這樣得到一個確定的數. 我們就用這個數作為隨機變我們就用這個數作為隨機變量量X 的平均值的平均值 .概率論概率論 定義定義1 設設X是離散型隨機變量，它的分布率是是離散型隨機變量，它的分布率是: P

6、X=xk=pk , k=1,2,請注意請注意 :離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收離散型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的級數的和斂的級數的和.數學期望簡稱期望，又稱為均值。數學期望簡稱期望，又稱為均值。1)(kkkpxXE若級數若級數 1kkkpx絕對收斂，絕對收斂，則稱級數則稱級數 1kkkpx)(XE即的和為的和為隨機變量隨機變量X的數學期望的數學期望，記為，記為 ,概率論概率論 例例1,21XX所得分數分別記為所得分數分別記為甲、乙二人進行打靶，甲、乙二人進行打靶，它們的分布率分別為它們的分布率分別為 0 1 2 00.2 0.8 0 1 20.60.3 0.11Xkp2Xkp的數學

7、期望，的數學期望，和和解：我們先來算解：我們先來算21XX分）分）分）分）(5 . 01 . 023 . 016 . 00)(8 . 18 . 022 . 0100)(21 XEXE概率論概率論 ).(),(XEX求求設設 例例20, 2 , 1 , 0,! kkekXPXk的分布率為的分布率為解解 )()!1(!)(110XEeekekekXEXkkkk即即的數學期望為的數學期望為概率論概率論 到站時刻到站時刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6一旅客一旅客8:20到車站到車站,求他候車時間的數學期望求他候車時間的數學期望. 例例3

8、按規(guī)定按規(guī)定,某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00都恰有一輛客車到站都恰有一輛客車到站,但到站時刻是隨機的但到站時刻是隨機的,且兩者且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：到站的時間相互獨立。其規(guī)律為： 概率論概率論 其分布率為其分布率為以分計以分計為為解：設旅客的候車時間解：設旅客的候車時間),(X X 10 30 50 70 90 kp63626161636162616361)()()(70 BPAPABPXP上表中例如上表中例如的數學期望為的數學期望為候車時間候車時間到站到站第二班車第二班車為事件為事件到站到站第一班車第一班車為事件為事件其中其中XBA.30:9,10:8

9、分分22.2736290363703615062306310)( XE概率論概率論 二、連續(xù)型隨機變量的數學期望二、連續(xù)型隨機變量的數學期望 設設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f (x),在在數軸上取很密的分點數軸上取很密的分點x0 x1x2 ,則則X落在小區(qū)落在小區(qū)間間xi, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)()(1iiixxxf概率論概率論 由于由于xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)間所以區(qū)間xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi來近似代替來近似代

10、替.iiiixxfx)(這正是這正是dxxfx)(的漸近和式的漸近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X與以概率與以概率取值取值xi的離散型的離散型r.v 該離散型該離散型r.v 的數學的數學期望期望是是小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為iixxf)(概率論概率論 由此啟發(fā)我們引進如下定義由此啟發(fā)我們引進如下定義.定義定義2 設設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為 f (x),如果積分如果積分dxxxf)(絕對收斂絕對收斂,則稱此積分值為則稱此積分值為X的數學期望的數學期望, 即即dxxfxXE)()(請注意請注意 : 連續(xù)型隨機變量的

11、數學期望是一個絕對收斂連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的積分的積分.概率論概率論 ).(),(XEbaUX求求設設例例4 其它其它的概率密度為的概率密度為解解01)(bxaabxfX babadxabxdxxxfXEX2)()(的數學期望為的數學期望為.),(的中點的中點即數學期望位于區(qū)間即數學期望位于區(qū)間ba概率論概率論 例例5其概率密度為其概率密度為服從同一指數分布服從同一指數分布它們的壽命它們的壽命裝置裝置個相互獨立工作的電子個相互獨立工作的電子有有,)2 , 1(,2 kXk0, 00, 01)( xxexfx若將這兩個電子裝置串聯連接組成整機若將這兩個電子裝置串聯連接組成整機,

12、求整機求整機壽命壽命(以小時計以小時計) N 的數學期望的數學期望. 0001)()2 , 1(xxexFkXxk 的分布函數為的分布函數為解解概率論概率論 12min(,)NXX 0001)(11)(22minxxexFxFx 0002)(2minxxexfNx 的概率密度為的概率密度為于是于是22)()(02min dxexdxxxfNEx的分布函數為的分布函數為概率論概率論 三、隨機變量函數的數學期望三、隨機變量函數的數學期望 1. 問題的提出：問題的提出： 設已知隨機變量設已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某個函數的期望，比

13、如說的某個函數的期望，比如說g(X)的期望的期望. 那么應該如何計算呢？那么應該如何計算呢？ 一種方法是，因為一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應有概也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來的分布求出來. 一旦一旦我們知道了我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來計算出來.概率論概率論 那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據的分布而只根據X的的分布求得分布求得Eg(X)呢？呢？下面的定理指出，答案是肯定的下面的定理指出，答案是肯定的. 使用這種方法必須先求出隨機

14、變量函數使用這種方法必須先求出隨機變量函數g(X)的的分布，一般是比較復雜的分布，一般是比較復雜的 .概率論概率論 (1) 當當X為離散型時為離散型時,它的分布率為它的分布率為P(X= xk)=pk ;絕對收斂，則有絕對收斂，則有若若 1)(), 2 , 1(kkkpxgk 1)()()(kkkpxgXgEYE(2) 當當X為連續(xù)型時為連續(xù)型時,它它的密度函數為的密度函數為f(x).若若絕對收斂，則有絕對收斂，則有 dxxfxg)()( dxxfxgXgEYE)()()()(定理定理 設設Y是隨機變量是隨機變量X的函數的函數:Y=g (X) (g是連續(xù)函數是連續(xù)函數)概率論概率論 連續(xù)型離散型

15、XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當我們求當我們求Eg(X)時時, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這給求隨機變量函數的期望帶來很大方便這給求隨機變量函數的期望帶來很大方便.概率論概率論 )(,(,是是連連續(xù)續(xù)函函數數的的函函數數是是隨隨機機變變量量設設gYXgZYXZ 則則是一維隨機變量是一維隨機變量,Z則有則有概率密度為概率密度為是二維連續(xù)型是二維連續(xù)型若若),(,),()1(yxfYX dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(概率論概率論 .

16、積分或級數都絕對收斂積分或級數都絕對收斂這里假定上兩式右邊的這里假定上兩式右邊的則有則有概率分布為概率分布為是二維離散型是二維離散型若若)2 , 1,(,),()2( jipyYxXPYXijji 11),(),()(jikjipyxgYXgEZE概率論概率論 密度密度即具有概率即具有概率上服從均勻分布上服從均勻分布在在設風速設風速,), 0(aV 其它其它001)(avavf.), 0(:2的數學期望的數學期望求求常數常數的函數的函數是是壓力壓力又設飛機機翼受到的正又設飛機機翼受到的正WkkVWVW 2022311)()(kadvakvdvvfkvWEa 解：由上面的公式解：由上面的公式概率

17、論概率論 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數求系數211)sin(),(2/02/0 AdxyxAdydxdyyxf，得，得 ）由于）由于解：（解：（1概率論概率論 其它其它）的概率密度為）的概率密度為（設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量020)sin(),(, xyxAyxfYX).(),()2(,)1(XYEXEA求求求系數求系數4)sin(2122/02/0 dxdyyxxXE）（）解（解（12)sin(21),()(2/02/0 dxdyyxxy

18、dxdyyxxyfXYE概率論概率論 四、數學期望的性質四、數學期望的性質 1. 設設C是常數，則是常數，則E(C)=C; 4. 設設X、Y 相互獨立，則相互獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常數，則是常數，則E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推廣niiniiXEXE11)(:推廣（諸（諸Xi相互獨立時）相互獨立時）請注意請注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y 獨立獨立概率論概率論 。和和來證性質來證性質請同學自己證明，我們請同學自己證明，我們，性質性質4321于是有于是有概

19、率密度為概率密度為其邊緣其邊緣）的概率密度）的概率密度設二維隨機變量（設二維隨機變量（證證),(),().,(,yfxfyxfYXYX得證。得證。性質性質3)()(),(),(),()()(YEXEdxdyyxyfdxdyyxxfdxdyyxfyxYXE 概率論概率論 , 相互獨立相互獨立又若又若YX.4)()()()(),()(得證得證性質性質YEXEdxdyyfxxyfdxdyyxxyfXYEyX 概率論概率論 五、數學期望性質的應用五、數學期望性質的應用例例8 求二項分布的數學期望求二項分布的數學期望若若 XB(n,p)，則則X表示表示n重貝努里試驗中的重貝努里試驗中的“成功成功” 次數

20、次數.現在我們來求現在我們來求X的數學期望的數學期望 .概率論概率論 可見，服從參數為可見，服從參數為n和和p的二項分布的隨機變量的二項分布的隨機變量X的數學期望是的數學期望是 n p. XB(n,p), 若設若設則則 X= X1+X2+Xn= np次試驗失敗如第次試驗成功如第iiXi01i=1,2，n因為因為 P(Xi =1)= p,P(Xi =0)= 1-pniiXE1)(所以所以 E(X)=則則X表示表示n重貝努里試驗中的重貝努里試驗中的“成功成功” 次數次數.E(Xi)= )1 (01pp= p概率論概率論 例例9 把數字把數字1,2,n任意地排成一列，如果數字任意地排成一列，如果數字

21、k恰恰好出現在第好出現在第k個位置上，則稱為一個巧合，求巧合個位置上，則稱為一個巧合，求巧合個數的數學期望個數的數學期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 設巧合個數為設巧合個數為X,否則，個位置上恰好出現在第數字0, 1kkXk k=1,2, ,nnkkXX1則則!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故故11nn引入引入概率論概率論 例例10 一民航送客車載有一民航送客車載有20位旅客自機場開出位旅客自機場開出,旅客旅客有有10個車站可以下車個車站可以下車,如到達一個車站沒有旅客下車如到達一個車站沒有旅客下車就不停車就不停車.以以X表示停車的次數，求表示停車的次數，求E(X).(設每位旅設每位旅客在各個車站下車是等可能的客在各個車站下車是等可能的,并設各旅客是否下車并設各旅客是否下車相互獨立相互獨立)10, 2 , 110 iiiXi站有人下車站有人下車在第在第站沒有