第3章 典型機械系統(tǒng)建模

1、電力電子與電力傳動實驗室第三章第三章 典型機械系統(tǒng)的建模典型機械系統(tǒng)的建模 機械系統(tǒng)如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機構(gòu)、飛機舵面?zhèn)鲃友b機械系統(tǒng)如控制系統(tǒng)地執(zhí)行機構(gòu)、飛機舵面?zhèn)鲃友b置、導(dǎo)彈發(fā)射架、飛行模擬器的運動平臺等。置、導(dǎo)彈發(fā)射架、飛行模擬器的運動平臺等。 在建模中，主要將利用牛頓力學(xué)定律、拉格朗日函數(shù)，在建模中，主要將利用牛頓力學(xué)定律、拉格朗日函數(shù)，并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。并結(jié)合能量守恒原理及有關(guān)近似理論等。3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建模基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建模 由理論力學(xué)可知，空間任意力系平衡的必要和充分條由理論力學(xué)可知，空間任意力系平衡的必要和充分條件是：件是： 0)( , 0)(

2、 , 0)(0 , 0 , 0FmFmFmFFFozoyoxzyx空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程電力電子與電力傳動實驗室 牛頓第二定律得牛頓第二定律得： )2()( .2.2.2222 rrmFrrmFdtzdmFdtydmFdtxdmFdtdvmdtsdmmaFrzyx在極坐標(biāo)系中有在極坐標(biāo)系中有在直角坐標(biāo)系下有在直角坐標(biāo)系下有牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達式牛頓第二定律數(shù)學(xué)表達式3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建?；诹W(xué)理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室h2mgF 2mg mg 2mg2mgF a2例例3.1如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為如右圖一個轉(zhuǎn)動物體，它的質(zhì)量為m ,由兩

3、根垂直的由兩根垂直的繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為繩索（無彈性）掛起，每根繩索的長度為h，繩索相距為，繩索相距為2a。重心位于通過連接繩索兩點的中點的垂線上，假設(shè)。重心位于通過連接繩索兩點的中點的垂線上，假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度，然后釋放。求擺動周小的角度，然后釋放。求擺動周期期T，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的，物體通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量J。 假設(shè)物體繞通過重心的假設(shè)物體繞通過重心的垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度垂直軸轉(zhuǎn)一個小的角度時，時，夾角夾角 和夾角和夾角間存在下列關(guān)間存在下列關(guān)系系: ha 因此因此ha 測量轉(zhuǎn)動慣測量轉(zhuǎn)動慣量實驗裝置量

4、實驗裝置 3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建?；诹W(xué)理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室hamgamgJ 2. 或?qū)懗苫驅(qū)懗?02. JhmgaJ由此求得擺動周期為由此求得擺動周期為JhmgaT22 得到轉(zhuǎn)動慣量得到轉(zhuǎn)動慣量JhmgaTJ22 注意，每根繩索的受力注意，每根繩索的受力F 的垂直分量等于的垂直分量等于mg/2。F 的水平分量的水平分量為為 mg/2。兩根繩索的兩根繩索的F 的水平分量產(chǎn)生扭的水平分量產(chǎn)生扭矩矩 mga 使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運動方程為：使物體轉(zhuǎn)動。因此，擺動的運動方程為：3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建模基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建模有負(fù)號是因為角有負(fù)號是因為

5、角加速度方向與轉(zhuǎn)加速度方向與轉(zhuǎn)矩方向相反矩方向相反電力電子與電力傳動實驗室0 mmgiT例例3.2 如圖所示的單擺系統(tǒng)，如圖所示的單擺系統(tǒng)，Ti(t) 為輸入力矩、為輸入力矩、0(t)為輸為輸出擺角、出擺角、m為小球質(zhì)量、為小球質(zhì)量、L為擺長。為擺長。 根據(jù)力系平衡建立系統(tǒng)方程：根據(jù)力系平衡建立系統(tǒng)方程： (t)mLL(t)mgSin (t)Ti020 當(dāng)當(dāng)0很小時很小時:00Sin 非線性系統(tǒng)方程可簡化成非線性系統(tǒng)方程可簡化成線性系統(tǒng)方程線性系統(tǒng)方程:(t)T(t)mgL (t)mLi 00.23.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建?；诹W(xué)理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室 例例3.3

6、設(shè)一個彈簧、質(zhì)量、阻尼設(shè)一個彈簧、質(zhì)量、阻尼系統(tǒng)安裝在一個不計質(zhì)量的小車上，系統(tǒng)安裝在一個不計質(zhì)量的小車上，如下圖所示。推導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。如下圖所示。推導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。 假設(shè)假設(shè)t m , ,旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角足夠小，于是可以對運動方程做足夠小，于是可以對運動方程做線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：線性近似處理。這樣，系統(tǒng)水平方向受力之和將為：0 )t (umlyM. 其中，其中，u( t )等于施加在小車上的外力，等于施加在小車上的外力，l 是質(zhì)量到鉸是質(zhì)量到鉸接點的距離。鉸接點處的轉(zhuǎn)矩之和為：接點的距離。鉸接點處的轉(zhuǎn)矩之和為：02 lgmmlyml. 選定兩個選定兩個2 階系統(tǒng)的狀態(tài)

7、變量為：階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：), y, y()x,x,x,x(. 4321 將將a、b兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：兩式寫成狀態(tài)變量的形式，可得：042 )t (uxmlxM.0342 gxxlx.(a)(b)(c)(d)3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建?；诹W(xué)理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室 為得到為得到1階微分方程組，解出式階微分方程組，解出式（d）中的中的 , ,代入代入式（式（c c），并注意到），并注意到M m，則有：，則有：.xl4)t (umgxxM. 32(e) 再解出式（再解出式（c）中的）中的 ，并代入式（，并代入式（d），可得：），可得：2.x034 )t (

8、uMgxxMl. 于是，于是，4 4個個1 1階微分方程為：階微分方程為：)t (uMlxlgx,xx)t (uMxMmgx,xx.1 1 34.4332.21 3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建?；诹W(xué)理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室 系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：系統(tǒng)狀態(tài)方程則為：uBAXX00010000000010l /gM/mgAMl/M/1010B4321xxxxX4321xxxxX3.1 基于力學(xué)理論的機械系統(tǒng)建?；诹W(xué)理論的機械系統(tǒng)建模電力電子與電力傳動實驗室3.2 能量法推導(dǎo)運動方程能量法推導(dǎo)運動方程 設(shè)力設(shè)力 F 作用于作用于 a 至至 b 連接路徑中運動的質(zhì)點連接路徑中運

9、動的質(zhì)點 m 上，上，那么那么 F 所作的功可一般描述為所作的功可一般描述為)(dzFdyFdxFFdsWzybaxba 能量能量 一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機一般情況下，能量可以定義為做功的能力。機械系統(tǒng)中能有械系統(tǒng)中能有勢能勢能和和動能動能兩種形式。兩種形式。 功率功率是做功的速率，即：是做功的速率，即： dW 表示在表示在dt 時間間隔內(nèi)所作的功。時間間隔內(nèi)所作的功。tWPdd 功率功率功、能、功率功、能、功率能量法推導(dǎo)運動方程能量法推導(dǎo)運動方程電力電子與電力傳動實驗室 例例3.7 如右圖表示一個半徑為如右圖表示一個半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓的均質(zhì)圓柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)

10、軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁柱體，它可以繞其轉(zhuǎn)軸自由轉(zhuǎn)動并通過一個彈簧與墻壁連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢連接。假設(shè)圓柱體純滾動而無滑動，求系統(tǒng)的動能和勢能并導(dǎo)出系統(tǒng)運動方程。能并導(dǎo)出系統(tǒng)運動方程。 圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動圓柱體的動能等于質(zhì)心移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能之和。能之和。 .2 .22121 JxmT 動動能能 系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為系統(tǒng)由于彈簧變形所產(chǎn)生的勢能為221kxU 勢能勢能 系統(tǒng)總能量為系統(tǒng)總能量為2 .2 .2212121kxJxmUT kRx 3.2 能量法推導(dǎo)運動方程能量法推導(dǎo)運動方程電力電子與電力傳動實驗室 因無滑

11、動的滾動，因此，因無滑動的滾動，因此，x=R。并且注意到轉(zhuǎn)動慣。并且注意到轉(zhuǎn)動慣量量 J 等于等于1/2mR2 ，我們得到，我們得到2 .22143kxxmUT 能量守恒定律，總能量為常數(shù)，故：能量守恒定律，總能量為常數(shù)，故： 0 23 23dd. xkxxmxkxxxmtUT032 0 23. xmkxkxxm或或也可寫成轉(zhuǎn)動運動方程得：也可寫成轉(zhuǎn)動運動方程得：032 . mk3.2 能量法推導(dǎo)運動方程能量法推導(dǎo)運動方程電力電子與電力傳動實驗室3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)） 將將x1,x2, xn作為作為n個自由度系統(tǒng)的一套廣義坐標(biāo)，系個自由度系統(tǒng)的一套廣義

12、坐標(biāo)，系統(tǒng)的運動由統(tǒng)的運動由n個微分方程表示，其中廣義坐標(biāo)是因變量，個微分方程表示，其中廣義坐標(biāo)是因變量，時間為自變量。時間為自變量。 系統(tǒng)在任意瞬時的勢能：系統(tǒng)在任意瞬時的勢能： 系統(tǒng)在同瞬時的動能：系統(tǒng)在同瞬時的動能： 拉格朗日函數(shù)定義為拉格朗日函數(shù)定義為niQxLxLtiii, 2 , 1 , )(dd . ),(21nxxxV ),(.2.1.nxxxT ),(.2.1.21nnxxxxxxL VTL 令令 是廣義坐標(biāo)的變分，非保守力（外是廣義坐標(biāo)的變分，非保守力（外力和摩擦力等）在廣義坐標(biāo)上的虛功可以寫成力和摩擦力等）在廣義坐標(biāo)上的虛功可以寫成nxxx ,21 iniixQW 1拉格

13、朗日方程為：拉格朗日方程為：電力電子與電力傳動實驗室)(dd)(dd)(21212121 )(212121211.2.222.1.2.21.111.212221.222.211212221.222.21111yycfyLyLtyycycyLyLtyykykyMyMVTLyykykVyMyMT ；拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) 例例 3.8 例例3.4系統(tǒng)如圖所示，運用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)如圖所示，運用拉格朗日方程建立該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1c1M2c2M1y2yf1k2k解解: 選擇選擇y1，y2為廣義坐標(biāo)系，其系統(tǒng)動能和勢能分別為為廣義坐標(biāo)系，其系統(tǒng)動能和勢能

14、分別為3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室21222212222121.22122.21.2.222221212.21.21.2111.2.2122.2221.2.21.112211.2110000)()()()()()(:yyYfFkkkkkKcccccCMMMFKYYCYMfykykycycyMykykkycyccyMyycfyykyMyycycyykykyM 其其中中：矩矩陣陣形形式式：轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換得得由由拉拉格格朗朗日日方方程程得得3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 例例 3.9 某行

15、星滾動機構(gòu)中有一質(zhì)量為某行星滾動機構(gòu)中有一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為 r 的的實心圓柱在半徑為實心圓柱在半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。的圓筒內(nèi)無滑動地滾動。已知圓柱和圓筒對軸心已知圓柱和圓筒對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量分別為的轉(zhuǎn)動慣量分別為m(R-r)2 和和 MR2圓柱對軸心圓柱對軸心O的轉(zhuǎn)動慣量為的轉(zhuǎn)動慣量為mr2/2,建立圓筒繞其軸心建立圓筒繞其軸心轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運動數(shù)學(xué)模型。轉(zhuǎn)動時，該系統(tǒng)運動數(shù)學(xué)模型。 Mg ROA rO3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取廣義坐標(biāo)分別為圓筒轉(zhuǎn)角該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)。取

16、廣義坐標(biāo)分別為圓筒轉(zhuǎn)角和圓柱軸心偏離角和圓柱軸心偏離角。由于圓柱與圓筒間的運動是無滑動。由于圓柱與圓筒間的運動是無滑動純滾動，故在接觸點純滾動，故在接觸點A處它們具有相同的線速度處它們具有相同的線速度 系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能T為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動為圓柱滾動和圓筒轉(zhuǎn)動所具有的動能所具有的動能:rrRRvA )(. 2.22.2222.22.22)(4)(21241)(212 RrRmrRmMRmrrRmMRT Mg ROA rO3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。系統(tǒng)的動力為重力，圓筒的勢能等于零。 則系統(tǒng)的勢能

17、為則系統(tǒng)的勢能為 cos)(rRmgV 拉格朗日函數(shù)得：拉格朗日函數(shù)得：cos)()(4)(2122.22.22rRmgRrRmrRmMRVTL 代入拉格朗日方程有代入拉格朗日方程有 0sin2)(30)()2(. gRrRrRmRmM 即為該行星滾動機構(gòu)的運動數(shù)學(xué)模型。即為該行星滾動機構(gòu)的運動數(shù)學(xué)模型。3.3 拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）拉格朗日方程（多自由度系統(tǒng)）電力電子與電力傳動實驗室 例例 3.10 用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運動的微分用拉格朗日方程建立圖示系統(tǒng)運動的微分方程，用方程，用1、2和和x作為廣義坐標(biāo)，以矩陣的形式寫出作為廣義坐標(biāo)，以矩陣的形式寫出微分方程。微分方程。 解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為解：系統(tǒng)在任意時刻的動能為2.22.221.1212121xmIIT 系統(tǒng)在同一時刻的勢能為系統(tǒng)在同一時刻的勢能為mgxrrkrxkV 22121)22(321)(21 拉格朗日函數(shù)為拉格朗日函數(shù)為VTL mgxkrkrkrkrkrxkxxmIIL 212222212212122.22.221.11266 2121212121 3.3 拉格朗日方