第2章-計算流體動力學分析-CFD軟件原理及應用

1、計算流體動力學分析計算流體動力學分析-CFD軟件原理與應用軟件原理與應用王福軍王福軍 編著編著. 北京北京: 清華大學出版社清華大學出版社, 2004.9第第2章章 基于有限體積法的基于有限體積法的控制方程離散控制方程離散匯報人：華南理工大學機械與汽車工程學院機械工程2班內(nèi)容提要內(nèi)容提要1 離散化概述離散化概述2 有限體積法及其網(wǎng)格簡介有限體積法及其網(wǎng)格簡介3 一維穩(wěn)態(tài)問題的有限體積法一維穩(wěn)態(tài)問題的有限體積法4 常用離散格式常用離散格式5 空間離散的高階離散格式空間離散的高階離散格式內(nèi)容提要內(nèi)容提要6 各種離散格式的性能對比各種離散格式的性能對比7 一維瞬態(tài)問題的有限體積法一維瞬態(tài)問題的有限體

2、積法8 有限體積法的進一步討論有限體積法的進一步討論9 二、三維問題的離散方程二、三維問題的離散方程一、離散化概述一、離散化概述1. 離散化的目的離散化的目的2022-5-96二、有限體積法及其網(wǎng)格簡介二、有限體積法及其網(wǎng)格簡介1. 有限體積法的基本思想有限體積法的基本思想2022-5-98三、求解一維穩(wěn)態(tài)問題的三、求解一維穩(wěn)態(tài)問題的有限體積法有限體積法1. 問題描述問題描述2022-5-910四、常用的離散格式四、常用的離散格式2022-5-9121.離散格式（discretization scheme）：也就是插值方式。2.插值的目的：建立離散方程，通過體積上的節(jié)點物理量，求出體積界面上的

3、物理量。3.本節(jié)介紹最基本、應用最廣泛的一階離散格式。2022-5-9131.前提前提：離散格式并不會影響控制方程中的源項和瞬態(tài)項，因此選取簡單的、一維、穩(wěn)態(tài)、無源項的對流-擴散問題為討論對象。1. 術(shù)語與約定術(shù)語與約定2.通過一些列推導，可以化簡為如下公式左圖表示控制體積P及界面上的流速。在x方向的對流-擴散行為，通過w、e兩個界面。公式中參數(shù)的含義：F：通過單位面積的對流質(zhì)量通量；D：界面的擴散傳導性：通用變量，或者廣義未知量在速度場已知的情況下，F(xiàn)E、FW 是可以得到的；因此，只需要計算在E和W處的值即可。因此，必須決定界面物理量如何通過節(jié)點的插值來表示。也就是確定離散格式。（？）WPw

4、PEewweeDDFF2022-5-9142. 中心差分格式中心差分格式2.1中心差分格式（中心差分格式（central differencing scheme）的數(shù)學描述的數(shù)學描述 中心插值，也就是說采用線性插值方式來計算。通過下面的公式可以看出。經(jīng)過一系列化簡，中心插分格式的對流-擴散插值方程如下所示： 方程的未知量是各點的值，即是 FE 、F 、FW 。求解這個方程組，可以得到未知量在空間的分布。2EPeEEWWPPaaa2wwFDaW2eeFDaEweFFaaaEWP2WPw原始公式：其中，2022-5-9152. 中心差分格式中心差分格式2.2中心插分格式的特點及適用性中心插分格式的

5、特點及適用性 在上述公式中，D是由擴散項的中心差分所形成的，代表了擴散過程擴散過程的影響；F則是分段線性插值方式，在均勻的網(wǎng)格下的表現(xiàn)，代表了對流過程對流過程的影響。 引入一個新參數(shù)，Pe=F/D，那么，將方程組的解與精確解對比可知： 當Pe 2時，計算結(jié)果完全失去意義。這是由于aE小于0的緣故。 結(jié)論：根據(jù)數(shù)學上的分析可知，要滿足Pe 2的條件，只能使得速度很小、網(wǎng)格間距很小。因此，公式的限制程度很大，中心差分格式不能作為中心差分格式不能作為一般流動問題的離散格式。一般流動問題的離散格式。2022-5-9163. 一階迎風格式一階迎風格式3.1一階迎風格式格式的數(shù)學描述一階迎風格式格式的數(shù)學

6、描述 從前面的分析可知，界面w處的廣義物理量會同時受到臨近的兩個點P、W的共同影響，但是這個模型是從左往右流動的，因此，上游的P點的影響力是要大于下游的W點，可以知道，上一節(jié)的中心差分明顯是不合適的。 考慮到流動方向流動方向的影響，于是提出了迎風格式first order upwind scheme。經(jīng)過一系列化簡，中心插分格式的對流-擴散插值方程如下所示： 式中各物理量的意義如前所述。由于這種插值方式存在一階的余項，因此稱之為一階迎風格式。EEWWPPaaa0 ,maxwwFDaWeeFDaE, 0maxweFFaaaEWP其中，原始公式：2022-5-9173.2一階迎風格式格式的特點及適

7、用性一階迎風格式格式的特點及適用性3. 一階迎風格式一階迎風格式 一階迎風格式解決了中心插分格式中，三個a值可能為負數(shù)的問題，因此，這樣的方程組求得的解不會震蕩，看上去是合理的。這一點也使得一階迎風格式在過去有著廣泛的應用。 缺點及不足：缺點及不足： （1）一階迎風格式簡單的按照界面流速的正負性來決定a的取值，沒有考慮到Pe的取值。但精確解還是與Pe的大小有關(guān)； （2）一階迎風格式的擴散項永遠按照中心差分的方式來計算。但是，在D值很小的情況下，擴散作用很?。坏藭r，迎風格式中的擴散項仍然按平均值計算，明顯有所缺陷。2022-5-9184. 混合格式混合格式 將上述兩種方法綜合起來，就是混合格式

8、hybrid scheme。當|Pe| 2時，采用一階迎風格式。 經(jīng)過一系列化簡，混合格式插值方程如下所示，各物理量的意義如前所述： 優(yōu)點：不會出現(xiàn)震蕩解，無條件穩(wěn)定；與高階離散格式相比，計算效率較高； 缺點：只具有一階精度。EEWWPPaaa0 ,2max,wwwFDFaW0 ,2,maxeeeFDFaEweFFaaaEWP 其中，原始公式：2022-5-9195. 指數(shù)格式指數(shù)格式 指數(shù)格式（exponential scheme）是利用方程的精確解建立起來的一種離散格式。綜合考慮了傳導和對流兩方面的影響。dxddxddxudEEWWPaaaPweFFaaaWEP1/exp/expWWWWW

9、WDFDFFa1/expeeeDFFaE 其中，原始公式： 優(yōu)點：在應用一維問題時，對于任何的P值、任意網(wǎng)格數(shù)量，都可以獲得精確解； 缺點：指數(shù)運算耗費時間；只在一維且源項為0的情況下才可以實現(xiàn)。2022-5-9206. 乘方格式乘方格式 乘方格式（power-law scheme）則是與上述指數(shù)格式非常接近的一種離散格式。當P 10時，擴散項D按0計算；當 0 P 0 和Fe 0， =1；當流動沿著負方向時，有Fw 0 和Fe 0時，有w =1；當Fe 0時，有e =1；當Fe 0時，有w =0；當Fe 0時，有w =1；當Fe 0時，有e =1；當Fe 0時，有w =0；當Fe 2時，性能與一階迎風相同指數(shù)格式絕對穩(wěn)定適用于無源項的對流-擴散模型。當源項不是常數(shù)時，若P較大，則誤差較大乘方格式絕對穩(wěn)定同上QUICK格式條件穩(wěn)定P 8/3減少假擴散的誤差，精度高，應用廣。主要用于六面體和四邊形網(wǎng)格。改進的QUICK格式絕對穩(wěn)定性能同上，且穩(wěn)定六、各種離散格式的性能對比六、各種離散格式的性能對比1. 2022-5-931七、一維穩(wěn)態(tài)問題的有限體積法七、一維