數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(j sh)的概念與性質(zhì)的概念與性質(zhì)第一頁，共39頁。2.2.數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(j (j sh)sh)的性質(zhì)的性質(zhì)3.3.柯西柯西(cauchy)(cauchy)收斂收斂(shulin)(shulin)準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(j sh)(j sh)的基本的基本概念概念第1頁/共39頁第二頁，共39頁。若有一個(gè)無窮數(shù)列若有一個(gè)無窮數(shù)列 u1 u1，u2u2，u3u3，unun，此無窮數(shù)列構(gòu)成下列表達(dá)式此無窮數(shù)列構(gòu)成下列表達(dá)式 u1 + u2 + u3 + u1 + u2 + u3 + + un + + un + (1) (1)稱以上表達(dá)式為稱以上表達(dá)式為( (常

2、數(shù)常數(shù)(chngsh)(chngsh)項(xiàng)項(xiàng)) )無窮級數(shù)，簡無窮級數(shù)，簡稱稱( (常數(shù)常數(shù)(chngsh)(chngsh)項(xiàng)項(xiàng)) )級數(shù)，記為級數(shù)，記為其中其中(qzhng)(qzhng)第第n n項(xiàng)項(xiàng)unun叫作級數(shù)的一般項(xiàng)或叫作級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng)通項(xiàng). .第2頁/共39頁第三頁，共39頁。第3頁/共39頁第四頁，共39頁。第4頁/共39頁第五頁，共39頁。 由上我們便得到由上我們便得到(d do)一個(gè)數(shù)列一個(gè)數(shù)列,從形式從形式(xngsh)上上=與發(fā)散與發(fā)散,進(jìn)而進(jìn)而(jn r)就不難得出級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。就不難得出級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。不難知道不難知道，以前我們學(xué)過數(shù)列的收斂，以

3、前我們學(xué)過數(shù)列的收斂換而言之，有限個(gè)數(shù)相加為一數(shù)換而言之，有限個(gè)數(shù)相加為一數(shù),無窮多個(gè)數(shù)相加是無窮多個(gè)數(shù)相加是否仍為一個(gè)數(shù)呢？否仍為一個(gè)數(shù)呢？問問 題題第5頁/共39頁第六頁，共39頁。則稱無窮級數(shù) 收斂.s稱為此級數(shù)的和.且有1nnu若 無極限，則稱無窮級數(shù) 發(fā)散.1nnu ns定義定義1 1 若級數(shù)若級數(shù) 的部分的部分(b fen)(b fen)和數(shù)和數(shù)列列 收斂，設(shè)其極收斂，設(shè)其極 限值為限值為無窮多項(xiàng)求和無窮多項(xiàng)求和(qi h)問問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列題轉(zhuǎn)化成數(shù)列sn的極限的極限問題問題第6頁/共39頁第七頁，共39頁。注意(zh y)1:稱為級數(shù)的余項(xiàng)， 為 代替s所產(chǎn)生的誤差 .nsnr.

4、第7頁/共39頁第八頁，共39頁。注意(zh y)2: 到目前為止，已了解的級數(shù)到目前為止，已了解的級數(shù)(j sh)的基本概念，特別的基本概念，特別1nnu了解了解(lioji)了級數(shù)了級數(shù)的收斂與發(fā)散性的收斂與發(fā)散性(斂散性斂散性)是由其是由其部分和數(shù)列部分和數(shù)列 的斂散性所決定的。的斂散性所決定的。 確切地說，兩者斂散性是相同的確切地說，兩者斂散性是相同的 第8頁/共39頁第九頁，共39頁。第9頁/共39頁第十頁，共39頁。解:(1)若 ,則部分和1q 第10頁/共39頁第十一頁，共39頁。則級數(shù)則級數(shù)(j sh)(j sh)發(fā)散。發(fā)散。則則級數(shù)收斂級數(shù)收斂；，qasnn1lim 第11頁

5、/共39頁第十二頁，共39頁。當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)， sn為a或0，則 的極限不存在，級數(shù)發(fā)散.ns小結(jié): 等比級數(shù)的公比 ，級數(shù)收斂級數(shù)收斂, ，級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散.1|q1|q第12頁/共39頁第十三頁，共39頁。例例3 證明證明(zhngmng)調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)發(fā)散發(fā)散(fsn).證證: 為估計(jì)調(diào)和級數(shù)的部分為估計(jì)調(diào)和級數(shù)的部分(b fen)和和sn，我們在區(qū)，我們在區(qū)間間1,+上引入函數(shù)上引入函數(shù)對于任一對于任一x屬于屬于1,+，存在，存在自然數(shù)自然數(shù)k，使得，使得，于是，于是對上式兩端在區(qū)間對上式兩端在區(qū)間k，k+1上取定積分上取定積分當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),.顯然顯然不存在不存在. 故原故原級數(shù)發(fā)散

6、級數(shù)發(fā)散.第13頁/共39頁第十四頁，共39頁。性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1:(收斂的必要條件收斂的必要條件)如果如果(rgu)級數(shù)級數(shù)收斂收斂，則它的一般項(xiàng)，則它的一般項(xiàng) 趨于零，即趨于零，即nu第14頁/共39頁第十五頁，共39頁。注注1: 若反之，則不一定若反之，則不一定(ydng)成立。成立。，原級數(shù)，原級數(shù)(j sh)1nnu不一定不一定(ydng)收斂。收斂。 發(fā)散發(fā)散，但但.如調(diào)和級數(shù)如調(diào)和級數(shù)即即第15頁/共39頁第十六頁，共39頁。注注2: 收斂的必要條件收斂的必要條件(b yo tio jin)常用來證明級數(shù)發(fā)散。常用來證明級數(shù)發(fā)散。，則原級數(shù)，則原級數(shù)(j sh)1nnu一定

7、一定(ydng)不收斂不收斂.即若即若第16頁/共39頁第十七頁，共39頁。性質(zhì)性質(zhì)2 若級數(shù)若級數(shù) 收斂于和收斂于和s s，則它的各項(xiàng)同乘，則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)以一個(gè)常數(shù)k,k,所得的級數(shù)所得的級數(shù) 也收斂也收斂, ,且其和為且其和為ks.ks.1nnu1nnku級數(shù)級數(shù)(j sh)的每一項(xiàng)同乘以的每一項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)后，其斂散性不為零的常數(shù)后，其斂散性不變不變第17頁/共39頁第十八頁，共39頁。性質(zhì)性質(zhì)3 如果級數(shù)如果級數(shù) , , 分別收斂于分別收斂于 , ,即即1nnu1nnvs與兩個(gè)收斂兩個(gè)收斂(shulin)級級數(shù)的和差仍為收斂數(shù)的和差仍為收斂(shulin)級數(shù)級數(shù)第18

8、頁/共39頁第十九頁，共39頁。注注1: 稱為稱為(chn wi)級數(shù)級數(shù)1nnu與與注注2: 若級數(shù)若級數(shù)(j sh)1nnu和和發(fā)散發(fā)散(fsn)。（證明）。（證明）的和與差的和與差.之中有一個(gè)收斂，另一個(gè)之中有一個(gè)收斂，另一個(gè)發(fā)散，則發(fā)散，則問：問：若兩個(gè)都發(fā)散，情況又如何呢？若兩個(gè)都發(fā)散，情況又如何呢？（思考）（思考） 第19頁/共39頁第二十頁，共39頁。性質(zhì)性質(zhì)4 在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不影響級數(shù)在級數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)，不影響級數(shù) 的斂散性，但其和可能的斂散性，但其和可能(knng)改變改變. 只是當(dāng)級數(shù)收斂只是當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，加上有限項(xiàng)時(shí)，加上有限項(xiàng)或去掉或去掉(q di

9、o)有限項(xiàng)，一般會有限項(xiàng)，一般會改變級數(shù)的和改變級數(shù)的和.第20頁/共39頁第二十一頁，共39頁。性質(zhì)性質(zhì)5: 收斂級數(shù)加括號后收斂級數(shù)加括號后(不改變各項(xiàng)順序不改變各項(xiàng)順序)所產(chǎn)生所產(chǎn)生(chnshng) 的級數(shù)仍收斂于原來級數(shù)的和的級數(shù)仍收斂于原來級數(shù)的和.注注1: 這里所謂加括號這里所謂加括號,就是在不改變各項(xiàng)的順序的情就是在不改變各項(xiàng)的順序的情 況下況下,將其某項(xiàng)放在一起作為新的項(xiàng)將其某項(xiàng)放在一起作為新的項(xiàng),而產(chǎn)生而產(chǎn)生(chnshng)的的 級數(shù)級數(shù).當(dāng)然當(dāng)然(dngrn),加括號的方法是有無窮多種的加括號的方法是有無窮多種的.是發(fā)散是發(fā)散(fsn)(fsn)的的, ,是收斂的是收斂

10、的. .注注2:2: 若級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)發(fā)散若級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)發(fā)散, ,那么原級那么原級 數(shù)發(fā)散數(shù)發(fā)散. .但是但是, ,某級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)收某級數(shù)在加括號后所得的級數(shù)收 斂斂, ,則原級數(shù)未必收斂則原級數(shù)未必收斂. .也就是說也就是說: :發(fā)散的級數(shù)發(fā)散的級數(shù) 加括號后可能產(chǎn)生收斂的級數(shù)加括號后可能產(chǎn)生收斂的級數(shù). .例如例如: : 但但 第21頁/共39頁第二十二頁，共39頁。111()3nn第22頁/共39頁第二十三頁，共39頁。例例5 5 判別判別(pnbi)(pnbi)級數(shù)級數(shù)的斂散性的斂散性. .解解: : 因級數(shù)因級數(shù)(j sh) (j sh) 與級數(shù)與級

11、數(shù)(j sh) (j sh) 均收斂均收斂 由性質(zhì)由性質(zhì)3 3可知可知 收斂收斂. . 第23頁/共39頁第二十四頁，共39頁。第24頁/共39頁第二十五頁，共39頁。第25頁/共39頁第二十六頁，共39頁。第26頁/共39頁第二十七頁，共39頁。第27頁/共39頁第二十八頁，共39頁。所以對于任一給定所以對于任一給定(i dn)(i dn)的正數(shù)的正數(shù)，取自然數(shù)，取自然數(shù)則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)，對任意時(shí)，對任意(rny)(rny)自然數(shù)自然數(shù)p,p,都有都有成立成立(chngl)(chngl)由柯西收斂定理，級數(shù)由柯西收斂定理，級數(shù) 收斂收斂第28頁/共39頁第二十九頁，共39頁。2.2.交錯(cuò)交錯(cuò)(j

12、iocu)(jiocu)級數(shù)的收斂級數(shù)的收斂判別法判別法3.3.絕對絕對(judu)(judu)收斂與條件收斂與條件收斂收斂4.4.任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù)(j sh)(j sh)的收的收斂判別法斂判別法1.1.正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法正項(xiàng)級數(shù)的收斂判別法第29頁/共39頁第三十頁，共39頁。(yxi)性質(zhì)，正項(xiàng)級數(shù)在級數(shù)中占有很重要的地位。很多級數(shù)的斂散性討論都會轉(zhuǎn)為正項(xiàng)級數(shù)的斂散性.第30頁/共39頁第三十一頁，共39頁。定義定義(dngy) (dngy) 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)為正項(xiàng)(zhn xin)級數(shù). 顯然顯然(xinrn),(xinrn),正項(xiàng)級數(shù)的部分和正項(xiàng)級數(shù)的部分和snsn數(shù)列是單調(diào)增加的數(shù)

13、列是單調(diào)增加的， 即即第31頁/共39頁第三十二頁，共39頁。定理定理(dngl) 正項(xiàng)級數(shù)正項(xiàng)級數(shù)1nnu收斂收斂(shulin) ns有界有界.證證: “” 1nnu收收斂斂(shulin) ns收斂收斂 ns有界有界. ns有界有界,又又 ns是一個(gè)是一個(gè)單調(diào)上升單調(diào)上升數(shù)列數(shù)列l(wèi)imnns存存在在1nnu收斂收斂.“” 第32頁/共39頁第三十三頁，共39頁。證明:這是一個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，其部分和為:nns2112112112故sn有界，所以(suy)原級數(shù)收斂.第33頁/共39頁第三十四頁，共39頁。定理定理(dngl)1(比較判別法比較判別法) 設(shè)設(shè)1nnu與與1nn是兩個(gè)是兩個(gè)(lin )正項(xiàng)級數(shù)，正項(xiàng)級數(shù)， 且且 那么那么(n me) （1）如果）如果 1nn收斂收斂，則則1nnu收斂收斂。（2）如果）如果 1nnu發(fā)散發(fā)散，則則1nn發(fā)散發(fā)散。 證證: 設(shè)設(shè)和和分別表示分別表示1nnu和和1nn的部分和的部分和，nsn顯然由顯然由(1) 1nn收斂收斂n有界有界ns有界有界1nnu也收斂也收斂.(2) 1nnu發(fā)散發(fā)散ns無界無界n無界無界1nn也發(fā)散也發(fā)散.第34頁/共39頁第三十五頁，共39頁。例例2 2 判定判定(pndng)p-(pndng)p-級數(shù)級數(shù)的斂散性.(常數(shù)常數(shù)(