高考數(shù)學考點5--數(shù)列的綜合應(yīng)用解析

1、2010-2015年高考真題匯編專題6 數(shù)列考點5 數(shù)列的綜合應(yīng)用1.（2015年安徽17，12分）設(shè)，是曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標，（）求數(shù)列的通項公式；（）記，證明：.【答案】（）；（）證明見解析。【解析】（）由題意， 所以曲線在點處的切線方程為 當時，.5分 （）由題設(shè)中和（1）中的計算結(jié)果知 當時， 當時， 所以 . 綜上可得對任意的 均有 12分2.（2015年廣東21，14分）數(shù)列滿足:. (1)求的值; (2)求數(shù)列的前項和; (3)令證明:數(shù)列的前項和滿足.【答案】【解析】(1) 3.（2015年四川16，12分）設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項公式；

2、 （2）記數(shù)列的前項和，求得使成立的的最小值?！窘馕觥浚?）當時有， ，則 ， （） ，則是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。又由題意得 ，則 （2）由題意得 ，由等比數(shù)列求和公式得 ，則 。又當時， ，成立時，的最小值的。4.（2015年浙江20，15分）已知數(shù)列滿足=且=-（n）(1)證明：1（n）；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為,證明（n）.【答案】（1）略；（2）略【解析】（1），所以數(shù)列為遞減數(shù)列，即；又，所以，則，由，得，即，1（2）所以要證，只需證明，即證，即，也即證明，即證；，即若，則，即若，則，即，即得證。5.（2015年重慶22，12分）在數(shù)列中，() 若，求數(shù)列的通項公式；()若，

3、證明：【答案】（）（）略【解析】（）解：由，有。若存在某個，使得，則由上述遞推公式易得。重復(fù)上述過程可得，與矛盾，所以對任意。從而，即是一個公比的等比數(shù)列。故。（）證明：由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)?，變形為。由上式及，歸納可得。因為，所以對求和得另一方面，由上已證的不等式知，得綜上，。6（2014安徽，5分）數(shù)列an是等差數(shù)列，若a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q_.【答案】1【解析】法一：因為數(shù)列an是等差數(shù)列，所以a11，a33，a55也成等差數(shù)列，又a11，a33，a55構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，所以a11，a33，a55是常數(shù)列，故q1.法二：因為數(shù)列an是等差數(shù)列，所以可設(shè)

4、a1td，a3t，a5td，故由已知得(t3)2(td1)(td5)，得d24d40，即d2，所以a33a11，即q1.7.（2014天津，5分）設(shè)an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列，Sn為其前n項和若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為_【答案】【解析】由已知得S1·S4S，即a1·(4a16)(2a11)2，解得a1.8.（2014浙江，5分）設(shè)函數(shù)f1(x)x2，f2(x)2(xx2)，f3(x)|sin 2x|，ai，i0,1,2，99.記Ik|fk(a1)fk(a0)|fk(a2)fk(a1)|fk(a99)fk(a98)|，k1,2,3.則()AI1<

5、;I2<I3 BI2<I1<I3CI1<I3<I2 DI3<I2<I1【答案】B【解析】選B顯然f1(x)x2在0,1上單調(diào)遞增，可得f1(a1)f1(a0)>0，f1(a2)f1(a1)>0，f1(a99)f1(a98)>0，所以I1|f1(a1)f1(a0)|f1(a2)f1(a1)|f1(a99)f1(a98)|f1(a1)f1(a0)f1(a2)f1(a1)f1(a99)f1(a98)f1(a99)f1(a0)201.f2(x)2(xx2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得f2(a1)f2(a0)>0，f2(a49)f2(

6、a48)>0，f2(a50)f2(a49)0，f2(a51)f2(a50)<0，f2(a99)f2(a98)<0，所以I2|f2(a1)f2(a0)|f2(a2)f2(a1)|f2(a99)f2(a98)|f2(a1)f2(a0)f2(a49)f2(a48)f2(a51)f2(a50)f2(a99)f2(a98)f2(a49)f2(a0)f2(a99)f2(a50)2f2(a50)f2(a0)f2(a99)4××<1.f3(x)|sin 2x|在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，可得f3(a1)f3(a0)>0，f3(a24)f3(a23)>

7、0, f3(a25)f3(a24)>0，f3(a26)f3(a25)<0，f3(a49)f3(a48)<0，f3(a50)f3(a49)0，f3(a51)f3(a50)>0，f3(a74)f3(a73)>0，f3(a75)f3(a74)<0，f3(a76)f3(a75)<0，f3(a99)f3(a98)<0，所以I3|f3(a1)f3(a0)|f3(a2)f3(a1)|f3(a99)f3(a98)|f3(a25)f3(a0)f3(a49)f3(a25)f3(a74)f3(a50)f3(a99)f3(a74)2f3(a25)2f3(a49)2f3(

8、a74)2sinsin>2sinsin>1.因此I2<I1<I3.9.（2014湖北，12分）已知等差數(shù)列an滿足：a12，且a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2,2d,24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)，化簡得d24d0，解得d0或d4.當d0時，an2；當d4時，an2(n1)·44n2，從而得數(shù)列an的通項公式為an2或an4n2.(2)當an2時，Sn2n.顯

9、然2n<60n800，此時不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立當an4n2時，Sn2n2.令2n2>60n800，即n230n400>0，解得n>40或n<10(舍去)，此時存在正整數(shù)n，使得Sn>60n800成立，n的最小值為41.綜上，當an2時，不存在滿足題意的n；當an4n2時，存在滿足題意的n，其最小值為41.10.（2014廣東，14分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求數(shù)列an的通項公式【解析】(1)由Sn2nan13n24n，nN*，取n1,2得又S

10、315，a1a2a315，a315(a1a2)聯(lián)立解得a13，a25，a37.(2)法一：當n>1時，由已知得兩式相減得2nan1(2n1)an6n1，即2nan14n26n(2n1)an4n21，即2nan1(2n3)(2n1)an(2n1)，令bnan(2n1)，則2nbn1(2n1)bn，由(1)知b1b20，則由知bn0，an2n1，且n1時也成立，故an2n1，nN*.法二：由(1)猜想an2n1，下面用數(shù)學歸納法證明n1時，結(jié)論顯然成立；假設(shè)當nk(k1)時，ak2k1，則Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得2ak14

11、k6，ak12(k1)1，即當nk1時，結(jié)論成立由知，nN*，an2n1.11.（2014湖南，13分）已知數(shù)列an滿足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是遞增數(shù)列，且a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值；(2)若p，且a2n1是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列an的通項公式【解析】(1)因為an是遞增數(shù)列，所以an1an|an1an|pn.而a11，因此a2p1，a3p2p1.又a1,2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2a13a3，因而3p2p0，解得p或p0.當p0時，an1an，這與an是遞增數(shù)列矛盾，故p.(2)由于a2n1是遞增數(shù)列，因而a2n1a2n1>0

12、，于是(a2n1a2n)(a2na2n1)>0.但<，所以|a2n1a2n|<|a2na2n1|.由知，a2na2n1>0，因此a2na2n12n1.因為a2n是遞減數(shù)列，同理可得，a2n1a2n<0，故a2n1a2n2n.由即知，an1an.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11··.故數(shù)列an的通項公式為an·。12.（2014江蘇，16分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Snam，則稱an是“H數(shù)列”(1)若數(shù)列an的前n項和Sn2n(nN*)，證明：an是“H數(shù)列”；(2)設(shè)a

13、n是等差數(shù)列，其首項a11，公差d<0.若an是“H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立【解析】(1)證明：由已知，當n1時，an1Sn1Sn2n12n2n.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)mn1，使得Sn2nam.所以an是“H數(shù)列”(2)由已知，得S22a1d2d.因為an是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2am，即2d1(m1)d，于是(m2)d1.因為d<0，所以m2<0，故m1.從而d1.當d1時，an2n，Sn是小于2的整數(shù)，nN*.于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m2Sn2，使

14、得Sn2mam，所以an是“H數(shù)列”因此d的值為1.(3)證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令bnna1，cn(n1)(da1)，則anbncn(nN*)下面證bn是“H數(shù)列”設(shè)bn的前n項和為Tn，則Tna1(nN*)于是對任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Tnbm，所以bn是“H數(shù)列”同理可證cn也是“H數(shù)列”所以任意的等差數(shù)列an，總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn，使得anbncn(nN*)成立13.（2014天津，14分）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)設(shè)集合M0,1,2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1,2，n

15、(1)當q2，n3時，用列舉法表示集合A；(2)設(shè)s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1,2，n.證明：若an<bn，則s<t.【解析】(1)當q2，n3時，M0,1，Ax|xx1x2·2x3·22，xiM，i1,2,3可得，A0,1,2,3,4,5,6,7(2)證明：由s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1,2，n及an<bn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)·qn2(anbn)·qn1(q1)(q1)q(q1)·qn2qn1q

16、n11<0.所以s<t.14（2013新課標全國，5分）設(shè)AnBnCn的三邊長分別為an，bn，cn，AnBnCn的面積為Sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，則()ASn為遞減數(shù)列BSn為遞增數(shù)列CS2n1為遞增數(shù)列，S2n為遞減數(shù)列DS2n1為遞減數(shù)列，S2n為遞增數(shù)列【答案】B【解析】本題考查三角形面積公式和歸納推理等知識，意在考查考生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，對考生的歸納推理能力、邏輯思維能力要求較高已知b1c1，b1c12a1，a2a1，故b2c1b1b1，c2b1c1c1，b2c2a12a1，b2c20，即b2c2

17、，b2c2·(b1c1)2b1c1b1c1.又a3a2a1，所以b3c2b2b2，c3b2c2c2，b3c32a22a1，b3c3c2b20，即b3c3，b3c3(b2c2)2b2c2b2c2b1c1.又AnBnCn的面積為Sn ，其中p(anbncn)，p(pan)和p2(bncn)p都為定值，bncn逐漸遞增，所以數(shù)列Sn為遞增數(shù)列，選擇B.15.（2013安徽，14分）如圖，互不相同的點A1，A2，An，和B1，B2，Bn，分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面積均相等設(shè)OAnan.若a11，a22，則數(shù)列an的通項公式是_【答案】an【

18、解析】本題考查由數(shù)列遞推求通項、三角形相似以及平行線分線段成比例等知識令SOA1B1m(m>0)，因為所有AnBn平行且a11，a22，所以S梯形AnBnBn1An1S梯形A1B1B2A23m，當n2時，故aa，aa，aa，aa，以上各式累乘可得：a(3n2)a，因為a11，所以an.16（2013北京，14分）設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有<.【解析】本題考查數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、裂項求和、放縮法等基礎(chǔ)知識和基本方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合

19、思想，考查考生的運算求解能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題能力(1)依題意，2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)當n2時，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，兩式相減得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以1(n1)×1n，所以ann2.(3)證明：當n1時，1<；當n2時，1<；當n3時，<，此時1<11<.綜上，對一切正整數(shù)n，有<.17（2013北京，13分）已知an是由非負整數(shù)組

20、成的無窮數(shù)列該數(shù)列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an1，an2, 的最小值記為Bn，dnAnBn.(1)若an為2,1,4,3,2,1,4,3，是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*，an4an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；(2)設(shè)d是非負整數(shù)證明：dnd(n1,2,3，)的充分必要條件為an是公差為d的等差數(shù)列；(3)證明：若a12，dn1(n1,2,3，)，則an的項只能是1或者2，且有無窮多項為1.【解析】本題主要考查無窮數(shù)列的有關(guān)知識，考查了考生對新定義類數(shù)列的理解與運用，對考生的邏輯思維能力要求較高(1)d1d21，d3d43.(2)證明：(充分性)因為an是公差為d的等差數(shù)列，且d0，所以a1a2an，因此Anan，Bnan1，dnanaa1d(n1,2,3)(必要性)因為dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn，又anAn，an1Bn，所以anan