專題06 一次函數(shù)背景的最值-線段之差最值（解析版）中考數(shù)學(xué)通用函數(shù)專題滿分突破之一次函數(shù)篇

1、初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題-一次函數(shù)第6節(jié) 一次函數(shù)背景的最值-線段之差最值 內(nèi)容導(dǎo)航方法點撥一、求線段之差的最值（1）在直線l同側(cè)有兩點A、B，在直線L上找一點P，使|PAPB|最大；（2）在直線l兩側(cè)有兩點A、B，在直線l上找一點P，使|PAPB|最大；（3）在直線l兩側(cè)有兩點A、B，在直線l上找一點P，使|PAPB|最?。?）如圖所示：（2）如圖所示：（3）如圖所示： 例題演練例11如圖所示，直線yx+3與x軸、y軸分別交于點M、N，以線段MN為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰RtMNC，NMC90°（1）求點M、N的坐標(biāo)；（2）求點C的坐標(biāo)；（3）若點P是x軸上的一個動點，設(shè)P（x，0），是否

2、存在這樣的點P，使得|PNPC|的值最大？如果不存在，請說明理由；如果存在，請求出點P的坐標(biāo)【解答】解：（1）由直線，令y0，得x4，令x0，得y3，則點M的坐標(biāo)為（4，0），點N的坐標(biāo)為（0，3）；（2）如圖所示，過點C作CDx軸，垂足為點D，MNC是等腰直角三角形，MNMC，NMC90°，NMO+CMD90°，MCD+CMD90°，NMOMCD，又MNMC，MONCDM90°，MONCDM（AAS），ONDM，CDOM，ODOM+MDOM+ON4+37，點C的坐標(biāo)為（7，4）；（3）存在這樣的點P，延長CN交x軸于點P，此時|PNPC|的值最大設(shè)直線

3、CN的解析式為ykx+b，將C（7，4）、N（0，3）代入，得，解得：，所以直線CN的解析式為，令y0，得，解得：x21，P點坐標(biāo)為（21，0），即存在這樣的點P，使得|PNPC|的值最大，此時P點坐標(biāo)為（21，0）練1.1如圖，已知四邊形ABCO是矩形，點A，C分別在y軸，x軸上，AB4，BC3（1）求直線AC的解析式；（2）作直線AC關(guān)于x軸的對稱直線，交y軸于點D，求直線CD的解析式并結(jié)合（1）的結(jié)論猜想并直接寫出直線ykx+b關(guān)于x軸的對稱直線的解析式；（3）若點P是直線CD上的一個動點，試探究點P在運動過程中，|PAPB|是否存在最大值？若不存在，請說明理由；若存在，請求出|PAPB

4、|的最大值及此時點P的坐標(biāo)【解答】解：（1）四邊形ABCO是矩形，ABOC4，OABC3，A（0，3），B（4，0），設(shè)直線AC的解析式為ykx+b，則有，解得，直線AC的解析式為yx+3（2）由題意，點A，D關(guān)于原點對稱，D（0，3），設(shè)直線CD的解析式為ymx+n，則有，解得，直線CD的解析式為yx3由（1）可知，直線ykx+b關(guān)于x軸的對稱直線的解析式為ykxb（3）如圖，由題意|PAPB|AB，當(dāng)P，A，B共線時，|PAPB|的值最大，最大值為4，此時P（8，3）練1.2如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線ykx+b與x軸交于點A（10，0），與y軸交于點B，與直線yx交于點C（a，7）（1）

5、求點C的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；（2）如圖，在（1）的條件下，過點E作直線lx軸，交直線yx于點F，交直線ykx+b于點G，若點E的坐標(biāo)是（15，0）求CGF的面積；點M為y軸上OB的中點，直線l上是否存在點P，使PMPC的值最大？若存在，直接寫出這個最大值；若不存在，說明理由；【解答】解：（1）將點C（a，7）代入yx，可得a3，點C的坐標(biāo)（3，7），將點C（3，7）和點A（10，0）代入ykx+b，可得，解得，直線AB的解析式為yx+10；（2）點E的坐標(biāo)是（15，0），當(dāng)x15時，y35，y15+105，點F的坐標(biāo)為（15，35），點G的坐標(biāo)為（15，5），SCGF；存在，證明：由三角形

6、的三邊關(guān)系可知當(dāng)點P、M、C在一條直線上時，PMPC的值最大，令x0，則y10，點B的坐標(biāo)（0，10），點M為y軸上OB的中點，點M的坐標(biāo)為（0，5），設(shè)直線MC的解析式為yax+5，將C（3，7）代入得：73a+5，解得：a，直線MC的解析式為yx+5，當(dāng)x15時，y，點P的坐標(biāo)為（15，15），PMPCCM；練1.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：yx+2與直線AC：yx+8交于點A，直線AB分別交x軸、y軸于點B、E，直線AC分別交x軸、y軸于點C、D（1）求點A的坐標(biāo)；（2）在y軸左側(cè)作直線FGy軸，分別交直線AB、直線AC于點F、G，當(dāng)FGDE；時，過點G作直線GHy軸于點H，在

7、直線GH上找一點P，使|PFPO|的最大，求出點P的坐標(biāo)及|PFPO|的最大值；【解答】解：（1）由，解得，A（4，6）（2）如圖1中，設(shè)F（m，m+2），則G（m，m+8）D（0，8），E（0，2），OE2，OD8，DE6，F(xiàn)GDE，m+2（m+8）×6，m10，F(xiàn)（10，12），G（10，3），H（0，3），作點O關(guān)于GH的對稱點O，作直線FO交直線GH于點P，此時|PFPO|的值最大，最大值為FO的長，F(xiàn)（10，12），O（0，6），F(xiàn)O2，直線FO的解析式為yx+6，y3時，3x+6，解得x5，P（5，3）點P的坐標(biāo)為（5，3），|PFPO|的最大值為2例21如圖1，直線yx

8、+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，作點A關(guān)于y軸的對稱點C，連接BC，作ABO的平分線交x軸于點D（1）求線段CD的長；（2）如圖2，點E為直線AB位于y軸右側(cè)部分圖象上的一點，連接CE，當(dāng)SBCE時，點F為直線BC上的一個動點，當(dāng)|EFDF|的值最大時，求|EFDF|的最大值及此時點F的坐標(biāo)；【解答】解：（1）由已知可得A（3，0），B（0，3），C（3，0），在RtABO中，AO3，BO3，ABO60°，BD是ABO的平分線，DBO30°，在RtBDO中，DO，CD4（2）過E作EMBC，××AC×BO，SBCESBCE×BC&

9、#215;EM×6EM，EM，設(shè)E（m，m+3），ABOCBO60°，EBM60°，BE9，9，m，E（，），在DEF中，|EFDF|DE，|EFDF|EF時有最大值，BD平分ABO，DBO30°，OD，D（，0），DE；直線BC的解析式為yx+3，直線DE的解析式為y，兩直線交點為F（，）練2.1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x+9與x軸交于點C，與直線AB：yx+b交于點A，且B（5，0），ADx軸于點D（1）若E是線段AB的中點，G是直線AB上方的一點，GEy軸，GFAB于點F，且GEF的周長是2+2一動點從E點出發(fā)先，到達(dá)x軸上的某點M，再

10、到達(dá)直線AD上的某點N，最后運動到點F當(dāng)該動點運動的總路徑最短時，在直線AB上有一點P，使|GPNP|最大，求|GPNP|的最大值；【解答】解：（1）將B（5，0）代入yx+b中，得05+b，b5所以直線AB解析式為yx+5聯(lián)立，解得點A坐標(biāo)為（1，6）ADx軸，點D坐標(biāo)為（1，0）BD5（1）6AD，ABD為等腰RtDABDBA45°，ABAD6延長GE交x軸于點H，E為AB中點，由中點坐標(biāo)公式可得，點E坐標(biāo)為（2，3）GHx軸，DBA45°，BEH45°GEF又GFAB，F(xiàn)GE45°，EFG為等腰Rt設(shè)EFGFa，則EG2a，周長為a+a+2a2+2

11、解得a點G坐標(biāo)為（2，5）在RtBEH中，BE3BFBE+EF3+4作FIx軸于點I，則FIADBFIBAD即，F(xiàn)I4把y4代入yx+5中，得x1點F坐標(biāo)為（1，4）點E關(guān)于x軸的對稱點E'，作點F關(guān)于AD的對稱點F'，連接E'F'，交x軸于點M，交AD于點N，此時動點運動總路徑EM+MN+NFE'F'最小如答圖1則點E'坐標(biāo)為（2，3），點F'坐標(biāo)為（3，4）設(shè)過E'F'的直線解析式為ykx+b，解得yx令x1，則y；令y0，則x點N坐標(biāo)為（1，），點M坐標(biāo)為（，0）作點G關(guān)于直線AB的對稱點G'，則由中

12、點坐標(biāo)公式可得：xG'2×120，yG'2×453點G'坐標(biāo)為（0，3）連接NG'并延長交AB與點P，則此時NG最大由兩點距離公式，NG故的最大值為練2.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標(biāo)為（0，2），點D在x軸上，CDAB（1）點E在CD上，其橫坐標(biāo)為4，點F、G分別是x軸、y軸上的動點，連接EF，將DEF沿EF翻折得DEF，點P是直線BD上的一個動點，當(dāng)|PAPC|最大時，求PG+GD的最小值；【解答】解：（1）對于y3x+6，令x0，則y6，令y3x+60，解得x2，故點A、B的坐標(biāo)分別

13、為（2，0）、（0，6），OCOA2，CDAB，RtAOBRtCOD（HL），ODOB6，故點D（6，0），連接AC交BD于點P，則點P為所求點，理由：|PAPC|PAPCAC為最大，由點A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為yx+2，同理可得，直線BD的表達(dá)式為yx+6，聯(lián)立并解得，故點P（2，4），過點P作y軸的對稱點P（2，4），過點E以DE為半徑作圓E，連接PE交圓E于點D，交y軸于點G，則點G為所求點，此時，PG+GD最小，理由：PG+GDPG+GDPEDEPD為最小，由點C、D的坐標(biāo)得，直線CD的表達(dá)式為yx+2，當(dāng)x4時，yx+2，故點E的坐標(biāo)為（4，），由點P、E的坐標(biāo)得：PE，同

14、理可得DE，則PG+GD的最小值PEDEPEDE；練2.1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l2：yx+與x軸交于點B，與直線l1：yx+b交于點C，C點到x軸的距離CD為2，直線l1交x軸于點A（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，y軸上的兩個動點E、F（E點在F點上方）滿足線段EF的長為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時，求出此時點F的坐標(biāo)以及CE+EF+AF的最小值；練2.2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y與x軸，y軸分別交于點A，D，直線l2與直線yx平行，交x軸于點B（7，0），交l1于點C（1）直線l2的解析式為 yx+，點C的坐標(biāo)為 （1，3）；（2）若點P是線段BC上一動點，當(dāng)SPAB時，在x軸上有兩動點M、N（M在N的左側(cè)），且MN2，連接DM，PN，當(dāng)四邊形DMNP周長最小時，求點M的坐標(biāo)；練2.3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的解析式為yx+4，與x軸交于點C直線l上有一點B的橫坐標(biāo)為，點A是OC的中點（1）求直線AB