偏微分方程數(shù)值解課程簡介

1、課程名稱（中文）：偏微分方程數(shù)值解專題課程名稱（英文）：Sometopicsonnumericalsolutionsofpartialdifferentialequations一）課程目的和任務(wù)：有限差分方法是微分方程定解問題的最廣泛的數(shù)值方法之一，其基本思想是用差商近似代替導(dǎo)數(shù)，用有限個未知量的差分方程組的解作為微分方程定解問題的解。本課程旨在介紹非線性拋物和橢圓型方程的有限差分方法的最新進(jìn)展，并簡單介紹在實(shí)際模型問題中的應(yīng)用。本課程是為計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)二年級研究生開設(shè)的一門專業(yè)選修課程，也可作為其它專業(yè)研究生的選修課程。其主要目的是使學(xué)生了解不同非線性定解問題的有限差分格式的構(gòu)造方法，掌握有限

2、差分方法的基本理論和一些數(shù)值分析技巧，使他們對這一方法能夠有清晰和全面的了解，并能應(yīng)用于實(shí)際問題的數(shù)值模擬和數(shù)值計(jì)算。通過對本課程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步豐富微分方程定解問題的數(shù)值方法，掌握有限差分方法的最新進(jìn)展，也為學(xué)習(xí)進(jìn)一步的專業(yè)知識打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。主要內(nèi)容：本課程以非線性拋物型和橢圓型方程的定解問題為例，介紹有限差分格式的構(gòu)造方法，同時介紹相應(yīng)數(shù)值分析的基本方法和技巧，也簡單討論有限差分解的一些性質(zhì)。所有內(nèi)容基本都是本課題的最新研究進(jìn)展。具體內(nèi)容如下：第一章：非線性橢圓邊值問題的有限差分方法。本章主要介紹非線性橢圓邊值問題的差分解法，給出一些定性分析，包括解的存在唯一性、收斂性和誤差估計(jì)，同時介紹

3、分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調(diào)迭代算法；第二章：非線性拋物初邊值問題的有限差分方法。本章主要介紹非線性拋物邊值問題的差分解法，包括一些定性分析，如解的存在唯一性、收斂性和誤差估計(jì)，同時介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調(diào)迭代算法；第三章：依賴于時間數(shù)值解的漸近性。本章著重介紹非線性拋物初邊值問題有限差分解的長時間漸近性，穩(wěn)定性及在實(shí)際模型問題中的應(yīng)用；第四章：非線性橢圓方程組的有限差分方法。本章主要介紹非線性橢圓型方程組的有限差分解法，著重介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調(diào)迭代算法。第五章：非線性拋物方程組的有限差分方法。本章主要介紹非線性拋物型方

4、程組的有限差分解法，介紹分析非線性差分方程組的上下解方法以及求解的單調(diào)迭代算法。除此之外，還介紹特別介紹有限差分解的長時間漸近性，穩(wěn)定性及在實(shí)際模型問題中的應(yīng)用。：數(shù)值代數(shù)、數(shù)值逼近、微分方程數(shù)值解、泛函分析。三)教材及參考書目：教材：自編講義，2012.參考書目：1)C.V.Pao,NonlinearParabolicandEllipticEquations,PlenumPress,NewYork,1992.2)A.Berman,R.Plemmons,NonnegativeMatrixintheMathematicalScience,AcademicPress,NewYork,1979.四）

5、講授大綱（中英文）第一章非線性橢圓邊值問題的有限差分方法1） 有限差分方程2） 上下解方法3） 單調(diào)迭代算法4） 上下解的構(gòu)造方法5） 一些應(yīng)用第二章非線性拋物初邊值問題的有限差分方法1) 有限差分方程2) 上下解方法3) 單調(diào)迭代算法4) 上下解的構(gòu)造方法5) 一些應(yīng)用第三章依賴于時間數(shù)值解的漸近性1) 有限差分解的單調(diào)性2) 極大極小定常解的穩(wěn)定性3) 依賴于時間數(shù)值解的吸引子4) Logistic反應(yīng)擴(kuò)散方程5) 一個熱傳導(dǎo)問題第四章非線性橢圓方程組的有限差分方法1) 有限差分方程組2) 上下解方法3) 單調(diào)迭代算法4) 有限差分方程組的擬解5) 上下解的構(gòu)造方法6) 一些應(yīng)用第五章非線

6、性拋物方程組的有限差分方法1) 有限差分方程組2) 上下解方法3) 單調(diào)迭代算法4) 有限差分方程組的擬解5) 依賴于時間數(shù)值解的漸近性6) 上下解的構(gòu)造方法7) 一些應(yīng)用Chapter1Finitedifferencemethodsfornonlinearellipticboundaryvalueproblems1) Finitedifferenceequations2) Themethodofupperandlowersolutions3) Monotoneiterativealgorithms4) Theconstructionsofupperandlowersolutions5) Ap

7、plicationsChapter2Finitedifferencemethodsfornonlinearparabolicinitial-boundaryvalueproblems1) Finitedifferenceequations2) Themethodofupperandlowersolutions3) Monotoneiterativealgorithms4) Theconstructionsofupperandlowersolutions5) ApplicationsChapter3Asymptoticbehavioroftime-dependentsolutions1) Mon

8、otonepropertyoffinitedifferencesolutions2) Stabiltyofmaximalandminimalsteady-statesolutions3) Globalattractoroftime-dependentsolutions4) Logisticreaction-diffusionequations5) Aheat-conductionproblemChapter 4 Finitedifferencemethodsfornonlinearellipticsystems1) Finitedifferencesystems2) Themethodofup

9、perandlowersolutions3) Monotoneiterativealgorithms4) Quasi-solutionsoffinitedifferencesystems5) Theconstructionsofupperandlowersolutions6) ApplicationsChapter 5 Finitedifferencemethodsfornonlinearparabolicsystems1) Finitedifferencesystems2) Themethodofupperandlowersolutions3) Monotoneiterativealgorithms4) Quasi-solutionsoffinite