高三數(shù)學(xué)極限與探索性問(wèn)題的解題技巧

1、專題九 極限與探索性問(wèn)題的解題技巧【命題趨向】 綜觀歷屆全國(guó)各套高考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)極限的考查有以下一些知識(shí)類型與特點(diǎn)：1數(shù)學(xué)歸納法 客觀性試題主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)的理解，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用 解答題大多以考查數(shù)學(xué)歸納法容為主， 并涉及到函數(shù)、 方程、數(shù)列、 不等式等綜合性的知 識(shí)，在解題過(guò)程常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目 數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)容之一.類比與猜測(cè)是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所表達(dá)的比擬突出的思想， 抽象與概括， 從特殊到一般是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的一種主要思想方法 . 在由 n=k 時(shí)命題

2、成立，證明 n=k+1 命題也成立時(shí)，要注意設(shè)法化去增加的項(xiàng)，通常要用到拆項(xiàng)、組合、添 項(xiàng)、減項(xiàng)、分解、化簡(jiǎn)等技巧，這一點(diǎn)要高度注意2. 數(shù)列的極限 客觀性試題主要考查極限的四那么運(yùn)算法那么、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和等容， 對(duì)根本的計(jì)算技能要求比擬高，直接運(yùn)用四那么運(yùn)算法那么求極限 解答題大多結(jié)合數(shù)列的計(jì)算求極限等，涉及到函數(shù)、方程、不等式知識(shí)的綜合性試題，在解題過(guò)程常用到等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，是屬于中高檔難度的題目. 數(shù)列與幾何： 由同樣的方法得到非常有規(guī)律的同一類幾何圖形，通常相關(guān)幾何量構(gòu)成等比數(shù)列，這是一類新題型3函數(shù)的極限 此局部為新增容， 本章容在高考中以填空題和解答題為

3、主 應(yīng)著重在概念的理解， 通過(guò)考 查函數(shù)在自變量的某一變化過(guò)程中，函數(shù)值的變化趨勢(shì)，說(shuō)出函數(shù)的極限 利用極限的運(yùn)算法那么求函數(shù)的極限進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算 利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限 函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的容之一.它把高中的極限知識(shí)與大學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)在一起.在高考中，必將這一塊容溶入到函數(shù)容中去，因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn).4. 在一套高考試題中， 極限一般分別有 1個(gè)客觀題或 1個(gè)解答題， 分值在 5分12 分之間5. 在高考試題中， 極限題多以低檔或中檔題目為主， 一般不會(huì)出現(xiàn)較難題， 更不會(huì)出現(xiàn)難題， 因而極限題是高考中的得分點(diǎn)Xim( a1 a2an)limx1(1lim qn 0(

4、q 1)的應(yīng)用.13n .6. 注意掌握以下思想方法 極限思想：在變化中求不變，在運(yùn)動(dòng)中求靜止的思想； 數(shù)形結(jié)合思想，如用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性、極值等此類題大多以解答題的形式出現(xiàn)，這類題主要考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，分析問(wèn)題和學(xué)生解決問(wèn)題的能力，對(duì)運(yùn)算能力要求較高.【考點(diǎn)透視】1 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.2了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.3 掌握極限的四那么運(yùn)算法那么；會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限.4 了解函數(shù)連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì).【例題解析】考點(diǎn)1 數(shù)列的極限1. 數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列

5、an的項(xiàng)an無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)a 即|an -a|無(wú)限地接近于0,那么就說(shuō)數(shù)列an以a為極限.注意：a不一定是 an中的項(xiàng).2.幾個(gè)常用的極限：lim C=C (C 為常數(shù)) lim 丄=0； lim qn=0 (|q|v 1). nnnn3.數(shù)列極限的四那么運(yùn)算法那么：設(shè)數(shù)列an、 bn,當(dāng) lim an=a, lim bn=b 時(shí)，lim(an± bn) =a ± b;nnn例1. ( 2006年卷)數(shù)列an 滿足：a,丄,且對(duì)于任意的正整數(shù)m,n都有am n am an,那么13lim( a! a2 L an)()nA.解答過(guò)程由 31 1 和 amn am an得

6、 a2 9,a3 27, B. 2 C. 3D.2232考查目的此題考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式應(yīng)選A.4Q例2 . 2006年卷設(shè)常數(shù)a 0 ,ax 2 .ann1 展開(kāi)式中X的系數(shù)為衛(wèi)，那么五2lim( a a2n考查目的此題考查利用 二項(xiàng)式定理求出關(guān)鍵數(shù),再求極限的能力解答過(guò)1rC；a4rx82rx21 r 8 2r -2x",得2,由C；a4W知日冷，所以lim( a a2n1n、2所以為a ) 11 -21.例 3.( 2007年卷理把1 1 x 1x)2 L(1 x)展開(kāi)成關(guān)于X的多項(xiàng)式，其各項(xiàng)系數(shù)和為an，那么limn f2已1等于an 1A 丄4考查目的此題考查

7、無(wú)窮遞縮等比數(shù)列求和公式和公式Hm qn 0( q1的應(yīng)用.解答過(guò)程當(dāng)X 1時(shí),an1(1 x) (1 X)2 L(1 x)n空 2n 1,1 2lim 空Hm2(2n 1) 1 lim 2nf an 1nf (2n1) 1 nf 2nlim( 2n f步2-應(yīng)選D例4. 2007 年卷理設(shè)等差數(shù)列a的公差n項(xiàng)的和為£ ,那么思路啟迪：由等差數(shù)列a的公差Und是2，先求出前n項(xiàng)的和為sn和通項(xiàng)a解答過(guò)程a (n1)2 2n 2a,Sn na 竺心 n2 (a 1)n,22 2.annlimnSnlim(2nn2 a)2 n2 n (a 1)nlimn(2 - -)2 12 n n31

8、 Ln故填3小結(jié):1.運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法那么求一些數(shù)列的極限時(shí)必須注意以下幾點(diǎn):(1) 各數(shù)列的極限必須存在；(2) 四那么運(yùn)算只限于有限個(gè)數(shù)列極限的運(yùn)算2. 熟練掌握如下幾個(gè)常用極限：(1) lim C = C( C 為常數(shù)) nlimn(1) P=0 (p>0)nklim an = a(k N *,a、b、c、d R 且 cm 0)cnk d c(4) lim qn=0 (|q| < 1)n例5. (2007年卷理)設(shè)正數(shù)a, b滿足卬(x2ax b)n 1,那么 a4那么 lim 二n aabn11n2b(A) 0解(B) 1(C)丄422丁冋X(D) 1,a 1ax b)

9、 4,二 4 2a b 4,二 b 2那么limxn 1 n 1a aba 2ba(a)n1 1 b(a)n1 2b ba(1)n1 1 limx (1)n1 2b 22b應(yīng)選B小結(jié):重視在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中運(yùn)用化歸思想考點(diǎn)2 函數(shù)的極限1函數(shù)極限的概念：(1)如果lim f (x) =a且lim f (x) =a,那么就說(shuō)當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f (x)的極xx限是a,記作lim f (x) =a,也可記作當(dāng)x時(shí)，f (x) a. x(2) 一般地，當(dāng)自變量 x無(wú)限趨近于常數(shù) X。(但x不等于X。)時(shí)，如果函數(shù)f ( x)無(wú)限趨 近于一個(gè)常數(shù)a,就說(shuō)當(dāng)x趨近于xo時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是a,

10、記作lim f (x) =a,也可記作x X。當(dāng) XTxo 時(shí)，f (x)T a.(3) 一般地，如果當(dāng) x從點(diǎn)x=xo左側(cè)(即x< xo =無(wú)限趨近于xo時(shí)，函數(shù)f( x)無(wú)限趨近于常數(shù)a,就說(shuō)a是函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處的左極限，記作lim f (x) =a.如果從點(diǎn)x=xo右側(cè)x xo(即x> xo)無(wú)限趨近于xo時(shí)，函數(shù)f (X)無(wú)限趨近于常數(shù) a,就說(shuō)a是函數(shù) f (x)在點(diǎn)xo處的右極限，記作 lim f (x) =a.X Xo2.極限的四那么運(yùn)算法那么:如果 lim f (x) =a, lim g (x) =b,那么X 冷x xolim f (x) ± g

11、(x ) =a± b; lim f (x) g (x) =a b; lim f(x)= a (b* 0 ) x xox x0X 冷 g(x) b32例 6. (2007 年卷理)lim x x =)x 1 x 1D.不存A .等于0B .等于IC .等于3在考查目的此題主要考查利用同解變形求函數(shù)極限的能力32解答過(guò)程lim x xx2(x lim1)lim x21.應(yīng)選Bx 1 x 1x 1 X1X 1例7. (2007年卷理)2lim X1()n 1 2x2x 1(A) 0(B)1(C) 12(D) 23考查目的此題主要考查利用分解因式同解變形求函數(shù)極限的能力2解答過(guò)程lim li

12、m (x 1)(x 1)n 1 2x x 1 n 1(2 x 1)( X 1)x 1 lim n 1 2x 1應(yīng)選D例 8.假設(shè)f (x) 八x 1 1在點(diǎn) x=0 處連續(xù)，那么 f (0 ) =yri 1思路啟迪：利用逆向思維球解解答過(guò)程：/ f (x)在點(diǎn)x=0處連續(xù),(0) =xm0f(X)moH XX答案：32例9.設(shè)函數(shù)f (x) =ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù)，且lim f (x) =0, lim f (x) = 3,求這一函數(shù) x 1x 2最大值.思路啟迪：由函數(shù)f (x) =ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù),利用f ( x) =f (X)構(gòu)造方程，求出b的值.解答過(guò)程：t f (x

13、) =ax2+bx + c是一偶函數(shù)， f ( x) =f (x)，即 ax2+bx + c=ax2 bx+c. b=0. f (x ) =ax2+c.又 lim f (x) = lim ax2+c=a+c=0, lim f (x) = lim ax2+c=4a+c= 3,x 1x 1x 2x 2二 a= 1,c=1. f ( x) = x2+1. f ( x) max=f ( 0 ) =1. f (x)的最大值為1.例10.設(shè)f (x)是x的三次多項(xiàng)式，lim = f(x)= lim fx) =1.x 2a x 2a x 4a x 4a求lim f (x)的值(a為非零常數(shù))x 3a x 3

14、a解答過(guò)程：由于lim f (x) =1,可知f ( 2a) =0.x 2a x 2a同理f (4a) =0.由，可知f (x)必含有(x 2a)與(x 4a)的因式，由于f (x)是x的三次多項(xiàng)式,故可設(shè) f (x) =A (x 2a) ( x 4a) (x C).這里A、C均為待定的常數(shù).由 lim f (x) =1,即x 2a x 2alim_2a)(x 4a)(x_ = lim A (x 4a) (x C) =1,x 2ax 2ax 2a得 A (2a 4 a) (2 a C) =1,即 4a2A 2aCA= 1.同理，由于lim f(x) =1,x 4a x 4a得 A (4a 2a

15、 ) (4a C) =1,即 8a2A 2aCA=1.由得C=3a,A=丄，2a2因而 f (x ) = 1(x 2a) (x 4a) (x 3a ).2a2- lim f(x) = lim 丄 (x 2a) (x 4a)x 3a x 3a x 3a 2a2= a .( a ) = 1.2a22例11 a為常數(shù)，假設(shè)lim ( x2 1 ax ) =0,那么a的值是 x思路啟迪：先對(duì)括號(hào)的的式子變形解答過(guò)程：T lim ( - x2 1 ax)xlimxx 1_a2x2 = lim (1_a2Jx21=0,x21 ax xx21 ax 1 a2=0. a= ± 1.但 a = 1 時(shí)

16、，分母0,-a=1.考點(diǎn)3函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用1函數(shù)的連續(xù)性一般地，函數(shù)f (x)在點(diǎn)X=Xo處連續(xù)必須滿足下面三個(gè)條件：(1)函數(shù) f( x)在點(diǎn) x=xo 處有定義；(2) lim f( x)存在；(3) lim f( x)=f(xo).如果 X x0x x函數(shù)y=f( x)在點(diǎn)x=xo處及其附近有定義，而且lim f(x) =f(xo),就說(shuō)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x xoxo處連續(xù).2. 如果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f (x)在閉區(qū)間a,b上有最大值和最小值.3. 假設(shè) f (x)、g (x)都在點(diǎn) xo 處連續(xù)，那么 f (x)± g (x) ,f (x) g

17、(x) , f(x) (g (x)工 0)g(x)也在點(diǎn)xo處連續(xù) 假設(shè)u (X)在點(diǎn)xo處連續(xù)，且f (u)在Uo=u ( xo)處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)f u(x)在點(diǎn)xo處也連續(xù).例12. f (x)在x=Xo處連續(xù)是f (x)在x=xo處有定義的 條件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要思路啟迪:說(shuō)明問(wèn)題即可.解答過(guò)程:f ( x)在X_Xo處有定義不-定連續(xù).答案：An例13.f (x) =cosx的不連續(xù)點(diǎn)為()ncosXA.x=0B.x_2( k_0, ± 1, ± 2,)2k 1C.x=0 和x_2k n( k_0, ± 1, &

18、#177; 2,)D.x_0 和 x_ 2(k_0, ± 1, ± 2,)2k 1思路啟迪:由條件出發(fā)列方程解之.解答過(guò)程:由 cos n_o,得 n_k n + nxx2(k Z) ,x(k Z).2k r>又x=0也不是連續(xù)點(diǎn)，應(yīng)選D答案：D例14.設(shè)f (x) = eX(x 0),當(dāng)a為 時(shí)，函數(shù)f (x)是連續(xù)的a x (x o),解答過(guò)程:lim f (x) = lim ( a+x) =a， lim f (x) = lim ex=1,而 f (0) =a，故當(dāng) a=1 時(shí)，x 0x 0x 0x 0lim f (x)x 0=f (0),即說(shuō)明函數(shù)f (x)在x

19、=0處連續(xù)，而在x豐0時(shí),f (x)顯然連續(xù)，于是我們可判斷當(dāng) a=1時(shí)，f(x)在(一8 ，+ s)是連續(xù)的.小結(jié)：分段函數(shù)討論連續(xù)性，一定要討論在“分界點(diǎn)的左、右極限，進(jìn)而斷定連續(xù)性.例15.函數(shù)f (x) = x1X為有理數(shù)，函數(shù)f (x)在哪點(diǎn)連續(xù)(X為無(wú)理數(shù)，A.處處連續(xù)B.x=1C.x=OD.x=12思路啟迪：考慮結(jié)果的啟發(fā)性.解答過(guò)程:lim f (x) = lim f (x) =f (1).12答案：D例16.拋物線2、x軸及直線AB:x=a圍成了如圖(1)的陰影局部,AB與x軸交于點(diǎn)A,把線段OA分成n等份,作以a為底的接矩形如圖(2)，陰影局部的面積為 S等于這些n接矩形面

20、積之和當(dāng) nis時(shí)的極限值,求S的值.思路啟迪：先列出式子.解答過(guò)程：S= lim b ( 1) 2+b nn2 2 2L!I abn3(2) 2+bn=limn=limn(n " n (2n D ab=1 ab. 6n33例17.如圖，在邊長(zhǎng)為I的等邊ABC中，圓01 ABC的切圓，圓02與圓01外切，且與AB、BC相切，圓0n+1與圓On外切，且與 AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去，記圓On的面積為an ( n N*).(1) 證明an是等比數(shù)列；(2) 求 lim (a1 + a2+ + an)的值.解答過(guò)程：(1 )證明：記rn為圓On的半徑,i-那么 r1=itan30 &

21、#176; =蟲(chóng) I.2 6rn 1 rn =sin30 ° =1, rn= 2 rn-1 (n > 2). rn 1 rn23于是 ai= n ri2= 2 an , an = ( 土 ) 2=12 a n 1 an 1rn 19二an成等比數(shù)列.(2 )解：因?yàn)?an= (1) n-1 a1 (n N*)9所以limn(a1+a2+ +an)=a1= 3/.1321 -9例18. 一彈性小球自ho=5 m高處自由下落，當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的7，不計(jì)每次碰撞時(shí)間，那么小球從開(kāi)始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程和時(shí)間分別是多少9解答過(guò)程：設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為V

22、0,那么有V0= 2gh0 =10 ( m/s )，那么第二，第三，,第n+1次落地速度分別為 V1=7 V0,V2= ( 7 ) 2V0,Vn= ( 7 ) nV0,小球開(kāi)始下落到第一次與地相999碰經(jīng)過(guò)的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程是L1=2 X2t=10 X( Z)2.2g9小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為L(zhǎng) 2,2那么 L2=2 X 魚=10 X( 7) 4.2g9由數(shù)學(xué)歸納法可知，小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過(guò)路程為L(zhǎng)n=10 X( Z) 2n9故從第一次到第 n+1次所經(jīng)過(guò)的路程為Sn+1=h°+L1 + L2 +L

23、n,那么整個(gè)過(guò)程總路程為(7)21 (-)2nS= lim Sn+1 =5+ lim 10 x (9)(9)=5+10nn1 (-)29地面相碰經(jīng)過(guò)時(shí)間t0= 2h0 =1 (s).Y g°A(9)=20.3 (m),小球從開(kāi)始下落到第一次與小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的時(shí)間t1=2 X V1=2 X ?,同理可得g 9tn=2 X(?)n,tn+1=t0+t1 + t2+ +tn,那么 t= limntn+1 =1+ lim 2 xn創(chuàng)1(9) =8 (s)1(7)考點(diǎn)4.新考題 例19 . (2007年卷理)(本小題總分值12分)數(shù)列an、bn與函數(shù)f(x)、g(x)

24、 , x R滿足條件:db, anf (bn) g(bn J(n N ).假設(shè) f(x) tx 1(t0,t2),g(x) 2x,f (b)g(b)，且lim an存在，求t的取值圍，并求 nlim an (用t表示).n(II)假設(shè)函數(shù)y f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)f 1(x),b 1,f(1) 1，證明對(duì)任意的n N ,an 1 an .考查目的本小題主要考查數(shù)列的定義，數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列，函數(shù)，不等式等根底知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題的能力解答過(guò)程(I)解法一：由題設(shè)知 atbn 12bn 1,11 2an1又t2，可得由 f(b) g(b),t 2,t0,可知 a1tb

25、0,l0,所以an是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為tb七,公比為1，2t t n 1an t 2 (tb t 2)(2),即 an(tbt 2)(2)n1又lim an存在,可得01,所以2且 t0.lim an-2-n2 t解法二：由題設(shè)知tbn1 2b1,且t2，可得由 f (b)2 2(bng(b), t 2,t).0,可知b0,-0,所以2b,1是首項(xiàng)為t 2，公比為丄的等比2數(shù)列(b七n1,即 bn (b 七 I©)"1由an2bt可知,假設(shè)lim an存在,那么lim bn存在，于是可得0 |- | 1, nn2所以t2且 t0.lim ann2 lim bn-n2 t解法

26、三：由題設(shè)知tbn 1 2bn 1,即bn 1-bn122于是有bn 2bn 1122一得bn2 bn 1-(bn1bn),令Cnbn1bn，得2tCn 15.2由 f(b) g(b),t 2,t0可知 qb?b,(t 2)b 10,- 0,2 21(b2b1)b,1鼻所以cn是首項(xiàng)為b2b,公比為丄的等比數(shù)列，于是bn 1 (C1 C2Cn) b1t n41 H) an 2bn 12(b2b1) 2b.2 t又lim an存在,可得0 |- | 1,所以2 t 2且t 0.n 242lim an(b2bQ 2bn2 t2 t說(shuō)明：數(shù)列an通項(xiàng)公式的求法和結(jié)果的表達(dá)形式均不唯一，其他過(guò)程和結(jié)果

27、參照以上評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).(H)證明：因?yàn)?g(x) f (x),所以 ang(bn1)f 1(bn 1),即 bn 1 f (an).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明aman(n N*).(1 )當(dāng)n 1時(shí)，由f (x)為增函數(shù)，且f(1)1，得a1f (b1)f (1)1,b2f(ajf (1)1,a2f (b2)f (1)a1,即a2a1，結(jié)論成立.(2)假設(shè)n = k時(shí)結(jié)論成立，即 ak 1 ak由f (x)為增函數(shù)，得f (ak 1)f(ak),即bk 2bk 1，進(jìn)而得f(bk2) f(bki),即ak 2 ak 1.這就是說(shuō)當(dāng)n = k +1時(shí)，結(jié)論也成立.根據(jù)(1 )和(2)可知，對(duì)任意的n N*

28、,ani an例20.(2006年卷)公比為q(o q i)的無(wú)窮等比數(shù)列an各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列a2n各項(xiàng)的和為81.5(I )求數(shù)列an的首項(xiàng)ai和公比q ；(n )對(duì)給定的k(k 1,2,3,n),設(shè)T(k)是首項(xiàng)為ak，公差為2ak 1的等差數(shù)列.求數(shù)列T(k)的前(川)設(shè)bi為數(shù)列T的第i項(xiàng)，Sn b1b210項(xiàng)之和;bn ,求Sn ,并求正整數(shù)m(m 1),使得lim §n m存在且不等于零.(注：無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)n時(shí)該無(wú)窮數(shù)列前n項(xiàng)和的極限)考查目的此題考查運(yùn)用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，從的條件入手列方程組求出等比數(shù)列的公比和首項(xiàng).a1解答過(guò)程(I )依題意可

29、知，1 q2 a 1 1Vn8151a13,23.d 2a2 13, S1010an 3-31210 92數(shù)列T(2)的的首項(xiàng)為t1a22 ,公差155,即數(shù)列t(2)的前10項(xiàng)之和為155.(川)bi = ai2a1 = 2i1 ai1 = 3 2i 1i 12 .i3Sn 4518n27lim mn nSn=lim45nmn18n 27n n 1m2n當(dāng)m=2時(shí),nim = n n1，當(dāng)2m>2 時(shí),nim 訂，所以m=2.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測(cè)】選擇題1. 以下極限正確的個(gè)數(shù)是n n lim丄=0( a >0): lim qn=0;lim23 = 1 ; limC=C (C 為

30、常數(shù))nnnnnA.2B.3會(huì) C.4D.都不正確2. 以下四個(gè)命題中正確的選項(xiàng)是A.假設(shè) lim an2= A2，那么 lim an = AnB.假設(shè) an> 0 , lim an= A，貝U A >0nC.假設(shè) lim an = A，那么nlim an2 = A2nD.假設(shè) lim (an b)= 0,貝U lim an= lim bnnnn3. lim f (x)x xg=limx Xof (x) =a 是 f(x)在X0處存在極限的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.f x = 2x x人以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是0x1,A. lim f(

31、x)= lim f (x)x 1x 1B. lim f (x)=2 ,x 1lim f(x)不存在1C. lim f (x) =0, lim f(x)不存在X 1X 1D. lim fxXlim fx 1(X)5.以下圖象表示的函數(shù)在yOX)xX=X0處連續(xù)的是C.A.B.D.6.假設(shè)f x在定義域a,b上有定義，那么在該區(qū)間上A. 一定連續(xù)B. 一定不連續(xù)C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)D.以上均不正確7.Lim憶cnn bn25,Limbkn cn a1，如果bc豐0,那么3Limn2an bncn2an5=()bA、 15B、1158.假設(shè)r為實(shí)常數(shù)，那么集合x(chóng)|xn| r | Lim - n

32、1 | r|nRD、無(wú)數(shù)多個(gè)元素A、恰有一個(gè)元素 B、恰有兩個(gè)元素C、恰有三個(gè)元素9.假設(shè) lim 丄 1,那么 lim( C)x 1 x 1x 1 f(2 2x)A.1B . 1 C .1D. 12210.f x2x 3, x1下面結(jié)論正確的選項(xiàng)是()2, x 1A. f x在x1處連續(xù) B.f x5 C. lim f x 2x 1D. lim f x 5x 1.填空題11. 四個(gè)函數(shù)：f (x) =1;g (x) =sinx;f (x) =|x|;f (x) =ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0x處連續(xù)的函數(shù)是.(把你認(rèn)為正確的代號(hào)都填上)12. 下四個(gè)命題： f (x)=1在0,1

33、 上連續(xù)；x 假設(shè)f (乂)是(a,b)的連續(xù)函數(shù)，那么f (x)在(a,b)有最大值和最小值； lim 2sin2x=4；nxCOSx2 假設(shè) f (x) = x (x o),那么 lim f (x) =0.x 1 (x 0). x 0其中正確命題的序號(hào)是 .(請(qǐng)把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)13. 那么 a= , b=.14. 函數(shù) f(x)在(0, + R)滿足 f' (x)>0 , f(0)>0 ,貝U Lim 2f(3)n *()】n =.n 4f(3)n 5f()n15. lim n2=n 1 2 n216. lim n 2n=.n 2n2 3三.解答題17. 求以下函數(shù)極限limx 8Hx 3 3 x匚limx a0).18.數(shù)列an的首