高三數(shù)學(xué)對稱問題

1、07-03 對稱問題點(diǎn)一點(diǎn)明確目標(biāo)理解中心對稱與軸對稱的意義，會(huì)用坐標(biāo)來表示對稱現(xiàn)象，并依此解決簡單的對稱問題.做一做熱身適應(yīng)1. 點(diǎn)M (a, b)與N關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)N關(guān)于y軸對稱，點(diǎn) Q與點(diǎn)P關(guān)于直線x+y=0對稱，那么點(diǎn) Q的坐標(biāo)為 .解析：N (a，- b), P (- a, b),那么 Q (b, a).答案：(b, a)2. 點(diǎn)A (4, 5)關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)為B ( 2, 7),那么I的方程為 .解析：對稱軸是以兩對稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中垂線答案：3x y+3=03. 設(shè)直線x+4y 5=0的傾斜角為 0 ,那么它關(guān)于直線y 3=0對稱的直線的傾斜角是解析：數(shù)形結(jié)合.答案

2、：n 04. (2004年浙江，理4)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是A.y2=8 4xB.y2=4x 8C.y2=16 4xD .y2=4x16解析：設(shè)曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線為 C,在曲線C上任取一點(diǎn)P (x , y),那么P (x , y)關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為Q (4 x, y).因?yàn)镼 (4 x , y)在曲線y2=4x上,所以 y2=4 (4 x),即 y2=16 4x.答案：C5. 直線li： x+ my+5=0和直線l2： x+ny+p=0,貝U li、I2關(guān)于y軸對稱的充要條件是5 pA. =B.p= 5m n1 1C.m= n 且 p= 5D.=

3、且 p= 5mn解析：直線l1關(guān)于y軸對稱的直線方程為( x) +my+5=0 ,即x my 5=0 ,與l2比擬， m= n 且 p= 5.反之亦驗(yàn)證成立 .答案：C理一理一一疑難要點(diǎn)1. 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的對稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題.設(shè)P (X0 , y0),對稱中心為 A (a , b),那么P關(guān)于A的對稱點(diǎn)為P'( 2a X0 , 2b y。).2. 點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的“垂直平分線.利用“垂直 “平分這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對頂點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P (X0 ,

4、 y。)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P'( x' , y'),那么有廣yyxXoyyoI2從中解出Xo、yo, k= 1,可求出X Xo=k+b,2特殊地，點(diǎn)P (Xo, yo)關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為P'( 2a xo, yo);點(diǎn)P (xo, yo)關(guān)于 直線y=b的對稱點(diǎn)為P'( xo, 2b yo).3. 曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線的中心或軸對稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的中心對稱或軸對稱(這里既可選特殊點(diǎn)，也可選任意點(diǎn)實(shí)施轉(zhuǎn)化)一般結(jié)論如下：(1) 曲線f (x, y) =o關(guān)于點(diǎn)A (a, b)的對稱曲線的方程是f (2a x, 2b y) =o.

5、(2) 曲線f(x, y) =o關(guān)于直線y= kx+b的對稱曲線的求法：設(shè)曲線f (x, y) =o上任意一點(diǎn)為P (xo, yo), P點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P'( y, x),那么由(2)知，P與P'的坐標(biāo)滿足-k= 1,XXoxoyoy ,X。 x=k +b,k 2 2代入曲線f(x,y)=o,應(yīng)有f (xo,yo)=o.利用坐標(biāo)代換法就可求出曲線f(x,y) =o關(guān)于直線y=kx+b的對稱曲線方程4兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的常見結(jié)論：(1 )點(diǎn)(x, y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(x, y);(2) 點(diǎn)(x, y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(一x, y);(3) 點(diǎn)

6、(x, y)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為(一 x, y);(4) 點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線x y=o的對稱點(diǎn)為(y, x);(5) 點(diǎn)(x, y)關(guān)于直線x+y=o的對稱點(diǎn)為(一y, x)撥一撥思路方法【例1】 求直線a： 2x+y 4=o關(guān)于直線1: 3x+4y 仁o對稱的直線b的方程剖析：由平面幾何知識可知假設(shè)直線a、b關(guān)于直線I對稱，它們具有以下幾何性質(zhì)：(1)假設(shè)a、b相交，那么I是a、b交角的平分線；(2)假設(shè)點(diǎn)A在直線a上，那么A關(guān)于直線I的對稱 點(diǎn)B 一定在直線 b上，這時(shí)AB丄I，并且AB的中點(diǎn)D在I上；(3) a以I為軸旋轉(zhuǎn)180°, 定與b重合.使用這些性質(zhì)，可以找出直線b的

7、方程解此題的方法很多，總的來說有兩類：一類是找出確定直線方程的兩個(gè)條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程；另一類是 直接由軌跡求方程解：由X+y 4=o，解得a與I的交點(diǎn)E ( 3, 2), E點(diǎn)也在b上.(3x+4y 1=o,方法一：設(shè)直線b的斜率為k,又知直線a的斜率為一2，直線I的斜率為一-那么-14 (2)3k ( 4)33(4)(2)1 k(-)4解得k= 一 .11代入點(diǎn)斜式得直線b的方程為y ( 2) = - (x-3), 11即 2x+11y+16=0.方法二：在直線a: 2x+y 4=0上找一點(diǎn)A 2, 0,設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo) 為xo，yo,o yo21=

8、0 ,匸 2 xo3 X +4 X2由Vyo o = 4xo 234 8 解得 B ( - , 8 ).5 5由兩點(diǎn)式得直線b的方程為82(-)35即 2x+11y+16=o.方法三：設(shè)直線y ( 2) x 34 ,5b上的動(dòng)點(diǎn)P (x , y)關(guān)于1: 3x+4y仁0的對稱點(diǎn)Q (xo , yo),那么有3 X +4 X 1 1=o ,2 2y yo4=.X Xo3解得 “24y6, yo=24x 7y 8.2525Q (xo , yo)在直線 a： 2x+y 4=o 上,那么 2 X 7x 24y6 +24x 7y 8 4=o ,2525化簡得2x+11y+16=o是所求直線b的方程.方法

9、四：設(shè)直線b上的動(dòng)點(diǎn)P(x ,y),直線a上的點(diǎn)Q(xo ,4 2xo),且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線I : 3x+4y仁o對稱，那么有H3x 4y 1|_|3x°4(4 2x。)1 |,55Wy (4 2xo) = 4 x xo3 .消去 xo ,得 2x+11y+16=o 或 2x+y 4=o 舍.評述：此題表達(dá)了求直線方程的兩種不同的途徑，方法一與方法二，除了點(diǎn)E外，分別找出確定直線位置的另一個(gè)條件：斜率或另一個(gè)點(diǎn)，然后用點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式求出方程，方法 三與方法四是利用直線上動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)，直接由軌跡求方程，在使用這種方法時(shí)，要注意 區(qū)分動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)及參數(shù)，此題綜合性較強(qiáng)，只有對坐標(biāo)法有較深

10、刻的理解，同時(shí)有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力才能較好地完成此題【例2】 光線從點(diǎn)A (- 3, 4)發(fā)出，經(jīng)過x軸反射，再經(jīng)過 y軸反射，光線經(jīng)過點(diǎn) B (-2，6),求射入y軸后的反射線的方程剖析：由物理中光學(xué)知識知，入射線和反射線關(guān)于法線對稱解： A (-3, 4)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)Ai (- 3,- 4)在經(jīng)x軸反射的光線上， 同樣Ai (- 3,- 4)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn) A (3, - 4)在經(jīng)過射入y軸的反射線上，.,64k a,b = = - 2.故所求直線方程為 y 6=- 2 (x+2),即 2x+y- 2=0.評述：注意知識間的相互聯(lián)系及學(xué)科間的相互滲透【例3】 點(diǎn)M (3, 5),在直

11、線I: x 2y+2=0和y軸上各找一點(diǎn)P和0,使厶MPQ 的周長最小.剖析：如以下圖，作點(diǎn) M關(guān)于直線I的對稱點(diǎn)Mi，再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M2,連結(jié) MMi、MM2,連線MMi、MM2與I及y軸交于P與Q兩點(diǎn)，由軸對稱及平面幾何知識，可知 這樣得到的 MPQ的周長最小.解：由點(diǎn)M (3, 5)及直線 M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)M2 ( 3,據(jù)Mi及M2兩點(diǎn)可得到直線Mi ( 5, 1).同樣容易求得點(diǎn)5) MiM2 的方程為 x+2y- 7=0.令x=0,得到MiM2與y軸的交點(diǎn)Q ( 0, - ) 2x+2y- 7=059解方程組/ 2y ' 0，得交點(diǎn)P (衛(wèi),).Lx-2y+2=0

12、,245 97故點(diǎn)P ( 5 , - )、Q (0,-)即為所求.242評述：恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R對解題能起到事半功倍的效果深化拓展恰當(dāng)?shù)乩闷矫鎺缀蔚闹R解題.不妨再試試這個(gè)小題：點(diǎn) A (i , 3)、B (5, 2),在x軸上找一點(diǎn)P,使得|PA|+|PB| 最小，那么最小值為 , P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .答案：di(匕,0)5【例4】直線I經(jīng)過點(diǎn)(i, i),假設(shè)拋物線y2=x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線I對稱，求直線I斜 率的取值范圍.解法一:設(shè)直線I的方程為y-(x- i),弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A (xi,yi)、B(x2,y2),代入拋物線方程并作差得(yi + y2)(yi y2) =xi X

13、2.kAB=K空x1x2yi + y2= k.注意到AB的中點(diǎn)在直線l:y 1=k (x 1) 上,. xi+x2=1 .2 2 彳 2y1 +y2 =X1 + X2 = 1 .k由y12+y22色江，得2解法二：設(shè)拋物線上關(guān)于直線1-2 k2> -k 2l: y 1=k(k 2)(k2 2k 2) <02k(x 1)對稱的兩點(diǎn)為(2<k<0.y12, y1 )、(y22，y2).2y1y2y ky22 仁k2yi2y221)l y1+y2 = k, k21匚 y1y2=+ -2 k.y1、y2是方程y2+12k211屮ky+ +=0的兩根.2k2k2 11由 A =k

14、2 4 (+) >02k2(k 2)(k2 2k 2) <0k2<k<0.1. 兩直線y= x和x=1關(guān)于直線l對稱，直線l的方程是3I解析：I上的點(diǎn)為到兩直線y=工3 x與x=1距離相等的點(diǎn)的集合，即 |x理3吐二| x 1 | ,3 J1 (血)2化簡得 x+ , 3 y 2=0 或 3x . 3 y 2=0.答案：x+ ,3y 2=0 或 3x ,3y 2=02. 直線2x y 4=0上有一點(diǎn) P,它與兩定點(diǎn) A ( 4, 1 )、B ( 3, 4)的距離之差最大，那么P點(diǎn)的坐標(biāo)是.解析：易知 A (4, 1)、B ( 3, 4)在直線I: 2x y 4=0的兩側(cè)

15、 作A關(guān)于直線l的對稱 點(diǎn)A1 (0, 1),當(dāng)A1、B、P共線時(shí)距離之差最大.答案：(5, 6)3. (2004年全國卷H, 4)圓C與圓(x 1) 2+/=1關(guān)于直線y= x對稱，那么圓C的 方程為A. (x+1) 2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+ (y+1) 2=1D.x2+ (y- 1) 2=1解析：由M (x, y)關(guān)于y= x的對稱點(diǎn)為(一y， x), 即得 x2+( y+1 ) 2=i.答案：C4. 與直線x+2y仁0關(guān)于點(diǎn)(1, 1)對稱的直線方程為A.2x y 5=0B.x+2y 3=0C.x+2y+3=0D.2x y仁0解析：將x+2y仁0中的x、y分別代以2 x,

16、 2 丫，得(2 x) +2 ( 2 y)仁0, 即 x+2y+3=0.應(yīng)選 C.答案：C5. ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A ( 1, 4),Z B、/ C的平分線所在直線的方程分別為h :y+仁0, |2： x+y+仁0,求邊BC所在直線的方程.解：設(shè)點(diǎn)A ( 1, 4)關(guān)于直線y+仁0的對稱點(diǎn)為 A'(X1,y1),那么x1= 1,y1=2 X (1) ( 4) =2，即 A'( 1, 2).在直線BC上，再設(shè)點(diǎn)A ( 1， 4)關(guān)于I2： x+y+仁0的對稱點(diǎn)為A"( x2, y2),那么有衿2X24x( 1) = 1,1x21 y242 + 2 +1=0.2 2解得*X

17、2=3 ,鹽=汨，即x+2y-3=0為y2=0,即A( 3, 0)也在直線BC上，由直線方程的兩點(diǎn)式得邊BC所在直線的方程.6.求函數(shù)y=x29 + '. x2 8x 41的最小值.解：因?yàn)?y=、.(x 0)2(0 3)2 + ._(x 4)2(05)2 ,所以函數(shù)y是x軸上的點(diǎn)P (x, 0)與兩定點(diǎn)A (0, 3)、B ( 4, 3)距離之和 y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值.由平面幾何知識可知，假設(shè)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A '( 0, 3),那么|PA|+|PB|的最小值等于|A' B|,即.(4 0)2(5 3)2 =4 .5.所以 ymin=4 

18、9;、5 .17.假設(shè)拋物線y=2x2 上的兩點(diǎn) A ( X1, y1)、B (x2, y2)關(guān)于直線y=x+m對稱且X1X2=, 求m的值.解：設(shè)直線AB的方程為y= x+b，代入y=2x2得2x2+x b=0,1 b 1Xi + X2= , X1X2=.2 2 2 b=1，即 AB 的方程為 y= x+1. 設(shè)AB的中點(diǎn)為M (xo, yo),貝yxo=x1x2，代入 yo= xo+1,4515得yo=.又M (，一)在y=x+m上,44 48.(文)直線y=2x是厶ABC中/C的平分線所在的直線，假設(shè) A、B坐標(biāo)分別為A ( 4, 2)、 B ( 3, 1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并判斷厶ABC

19、的形狀.解：由題意，點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對稱點(diǎn)A'在BC所在直線上，設(shè)A'點(diǎn)坐標(biāo)為(xi, yi), 那么Xi、yi滿足yi 24xi1，即 xi= 2yi.2Xi 4-,即 2xi yi i0=0.2*2 2解兩式組成的方程組，得xi=4 ,yi= 2. BC所在直線方程為七牛說即 3x+y i0=0.x+y io=o，得 y=2x,寸 1所求C點(diǎn)坐標(biāo)為(2 , 4).由題意 |AB|2=50 , |AC|2=40 , |BC|2=i0 , ABC為直角三角形.(理)假設(shè)拋物線y=ax2 i上總存在關(guān)于直線 x+y=0對稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 解：設(shè)A ( xi , yi)、B (x2 , y2)是拋物線上關(guān)于直線設(shè)為y=x+b.解方