《流體力學》2014.01

1、Fluid Mechanics流體力學流體力學柳柳 波波機電工程學院液壓研究所周立強 流體力學是研究流體運動規(guī)律及其應用的科學，是力學的一個重要分支。流體力學研究的對象液體和氣體。固體有一定的體積和一定的形狀；液體有一定的體積而無一定的形狀；氣體既無一定的體積也無一定的形狀。固體、液體和氣體的宏觀表象差異：機電工程學院液壓研究所周立強 第一階段（16世紀以前）：流體力學形成的萌芽階段 第二階段（16世紀文藝復興以后-18世紀中葉）流體力學成為一門獨立學科的基礎階段 第三階段（18世紀中葉-19世紀末）流體力學沿著兩個方向發(fā)展歐拉、伯努利 第四階段（19世紀末以來）流體力學飛躍發(fā)展第一階段（16

2、世紀以前）：流體力學形成的萌芽階段 公元前2286年公元前2278年大禹治水疏壅導滯（洪水歸于河）（傳說） 公元584年公元610年隋朝南北大運河、船閘應用；埃及、巴比倫、羅馬、希臘、印度等地水利、造船、航海產業(yè)發(fā)展 系統研究古希臘哲學家阿基米德論浮體（公元前250年）奠定了流體靜力學的基礎第二階段（16世紀文藝復興以后-18世紀中葉）流體力學成為一門獨立學科的基礎階段 1586年斯蒂芬水靜力學原理 1612年伽利略物體沉浮的基本原理 1650年帕斯卡“帕斯卡原理” 1686年牛頓牛頓內摩擦定律 1738年伯努利理想流體的運動方程即伯努利方程 1775年歐拉理想流體的運動方程即歐拉運動微分方程

3、第三階段（18世紀中葉-19世紀末）流體力學沿著兩個方向發(fā)展歐拉（理論）、伯努利（實驗）工程技術快速發(fā)展，提出很多經驗公式1769年謝才謝才公式（計算流速、流量）1895年曼寧曼寧公式（計算謝才系數）1732年比托比托管（測流速）1797年文丘里文丘里管（測流量）理論1823年納維，1845年斯托克斯分別提出粘性流體運動方程組（N-S方程）第四階段（19世紀末以來）流體力學飛躍發(fā)展理論分析與試驗研究相結合量綱分析和相似性原理起重要作用 1877-1878年 Lord Raleigh在其聲理論中闡述了“因次方法”1883年雷諾雷諾實驗（判斷流態(tài)）1903年普朗特邊界層概念（繞流運動） 1911年

4、，俄國人A.Federmann和Raibouchinsky分別發(fā)現了量綱分析的基本定理 1914年，美國人E.Buckingham引入了術語“-定理” 1933-1934年尼古拉茲尼古拉茲實驗（確定阻力系數）流體力學與相關的鄰近學科相互滲透，形成很多新分支和交叉學科機電工程學院液壓研究所周立強1.1 理論研究方法 力學模型物理基本定律求解數學方程分析和揭示本質和規(guī)律 實驗方法相似理論實驗建模實驗（量綱分析與相似理論） 數值方法計算機數值方法是現代分析手段中發(fā)展最快的方法之一。（研究生學習階段） 理論分析方法、實驗方法、數值方法相互配合，互為補充剛體：有形狀、有體積液體：無形狀、有體積氣體：既無

5、形狀、也無體積 假設流體是由一個接一個、連續(xù)充滿空間的具有確定質量的流體微團（或流體質點）組成的。微團之間無孔洞，在運動過程中相鄰微團之間不能超越也不能落后，微團變形過程中相鄰微團永遠連接在一起。（連續(xù)性）其目的是在流體力學研究中，利用連續(xù)函數的概念和場論的方法。連續(xù)介質流體微元具有流體宏觀特性的最小體積的流體團理想流體不考慮粘性的流體不可壓縮性=c0limmmm Ff根據作用方式的不同，可將力分為質量力和表面力。1.3.1質量力：如：重力、慣性力、電磁力單位質量力000limlimlimxxmyymzzmfmfmfmFFF注意：單位質量力具有加速度量綱力作用在所研究的流體質量中心，與質量成正

6、比mxyzffffijk式中 ：流體微元體的質量； ：作用在該微元體上的質量力；mmF()mmxyzddmdmfffFfijk單位質量流體所受的質量力稱為單位質量力，記作重力zGg V 00 xyzfffg 00 xyzGGGg V 單位質量重力x圖圖1-1 作用在流體表面的作用在流體表面的質量力與表面力質量力與表面力zyVng VOnPPPVaAP表面力慣性力aFa V xxyyzzfafafa xxyyzzFVaFVaFVa 單位質量慣性力0limAPA 1.3.2.表面力：應力切線方向：切向應力剪切力內法線方向：法向應力壓強0limnAPpA 0limAPA PAPnPt剪切力：流體相對

7、運動時，因粘性而產生的內摩擦力外界對所研究流體表面的作用力。與所作用的表面積大小成正比zyxVng VOnPPPVaA1.3.3.應力場：圖1-2 一點處的應力PAnPPMA PB n 圖1-3 一點處的應力關系（四面體）O nnnp dAxxp dAyyp dAzzp dAzxyA B C MxpO zy-xxpxpC B 正面正面負面負面M（b）（a）對于圖1-2，在外法線為n的面上的點M的的應力為：0limnnAPpA 該應力可分解為如圖1-3所示的分力：xpypzp正面：xpypzp負面：yypp xxpp zzpp 根據牛頓第三定律：x、y、z方向上的面積投影關系：cos,cos,c

8、os,xnxnynynznzndAdAn xn dAdAdAn yn dAdAdAn zn dA（1-7）則最終作用在四面體四個微元面積上的總外表面力分別為：yyp dAxxp dAzzp dAnnp dA作用在四面體上的外力還有質量力（包括慣性力）根據達朗伯原理：0nxyznxyzfdmp dAp dAp dAp dA 其中13ndmdAh 四面體ABC面的高（1-9）當四面體趨向于點M時，0h ，則（1-9）式可變?yōu)閤yznxyzpn pn pn p （1-11）nxxxxyyxzzxnyyxyyyyzzynzxxzyyzzzzpn pn pn ppn pn pn ppn pn pn p應

9、力在三個方向上的投影形式為（1-12）應力所在平面法線法向應力的方向 xxxyxzyxyyyzzxzyzzppppppppp xxxyxzyxyyyzzxzyzzppp將（1-12）改為矩陣形式（1-13）（1-14） 0 00 00 0 xxyyzzppp由（1-14）（1-15）靜止流體不顯示粘性，理想流體模型無粘性。根據靜止流體和理想流體的性質可知， =xxyyzzpppp 流體靜力學中的壓強1.4.1易流動性 任何微小的剪切力都可以使流體連續(xù)變形的性質稱為流體的易流動性。與固體相比，流體微團的易流動性，使其不能用位移和變形量本身來量度，而必須用速度和變形速度來量度。1.4.2 慣性連續(xù)

10、介質范圍分子效應范圍mVmV振蕩范圍OVVMVm微元體圖1-4 一點處密度的定義limVVmV 0limVmV 點密度對于均質流體mV對于可壓縮流體，當壓強、速度或空間發(fā)生變化時，應采用上式。（1-17）（1-18）（1-19）1.4.3重力特征GmgVV均質流體的重度，又稱均質流體容重非均質流體任意一點的重度00limlimVVGmgVV mVg（1-23）（1-20）（1-21）fluid elementxydyxFux靜止板恒定速度ux xvyy 二板的面積均為A圖1-5 Planar Couette（庫愛特粘度計）（庫愛特粘度計）1.4.4 粘性 Viscosity 理想流體模型流體具

11、有抵抗其微團之間相對運動（剪切變形）的性質稱為粘性。粘性與溫度、壓力、速度梯度有關。xy v速度梯度速度梯度(velocity gradient) or 剪切速率剪切速率(shear rate)shear stressshear rateFAv1687年， Isaac Newton 首先提出了流體粘度的模型。盡管Newton 定義的粘度是理想的（牛頓流體）。 但對于諸如低分子液體、稀薄的氣體，在許多條件下仍然適用；然而對于諸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和膠體懸浮液不能用Newton定律進行描述。這樣的流體被稱為 非牛頓流體（non-Newtonian）.1.4.5 粘性系數- -與剪切應力

12、和速度梯度相關聯與剪切應力和速度梯度相關聯對于二維平面 Couette流, Newton 定義的粘度可以由下式給出xyxddyv（1-27）式式1-27表達剪切應力與表達剪切應力與 和速度梯度的關系和速度梯度的關系 絕對粘度（absolute viscosity） 與溫度、壓力有關聯的系數與溫度、壓力有關聯的系數 因此對于牛頓流體（Newtonian fluid ） = 。注意：是 Newtonian-model 參數, 其與溫度和壓力有關； 而是一個更一般的材料特性，可以隨剪切率做非線性變化。h與與m概概念不相念不相同同xxddtvdyxdtvxddtd1.4.6 速度梯度的物理意義xddy

13、角變形速度（剪切變形速度）xddtdtgddyxdddydt流體與固體在摩擦規(guī)律上完全不同固體： 與正壓力成正比，與速度無關流體：與xddy成正比Oxddy0塑性流體脹塑性流體牛頓流體假塑性流體圖1-7 牛頓流體與非牛頓流體絕對粘度與密度有關，將它與密度比較得出運動粘度，相對粘度。 1.4.7 運動粘度 kinematic viscosity （1-32）與溫度有關單位與溫度和壓力有關；單位2msPa s 例1-1：汽缸直徑D=120mm，活塞直徑d=119.6mm，活塞長度L=140mm，活塞往復運動的速度為1m/s，工作時的潤滑油的=0.1Pas。求：作用在活塞上的粘性力。解：xdFAdy

14、20.11960.140.053Ad Lm30.0530.1 5 1026.5FN 3-1-01-05 10(-)/ 2(0.12-0.1196)/ 2xxdsdyD dxdFAdy因屬于牛頓流體26.5 126.5xNFW 消耗功率例1-2：旋轉圓筒粘度計，外筒固定，內筒轉速n=10r/min。內外筒間充入實驗液體。內筒r1=19.3mm，外筒 r2=20mm，內筒高h=70mm，間隙d=0.2mm，轉軸上扭距M=0.0045Nm。求該實驗液體的粘度。解：260n且111121rMFrArrrxdFAdy因屬于牛頓流體1）對于外圓表面，有12Arh21rrr孔軸旋轉2311111212126

15、0215nrnhrMrhrrrrr231100.070.01930.00473 150.0007MN m2）對于端面（圓盤旋轉）OBdzydr uu r uu z圓盤縫隙中的回轉運動durdzdurdz 2dAdr22rdFdAdr431221022drMr dr總力矩12MMM20.00124M計算得0.00450.004730.001240.00450.753770.004370.00124Pa s1.4.8壓縮（膨脹）性 不可壓縮流體模型壓縮系數在一定溫度下，密度的變化率與壓強的變化成正比pddp流體的壓縮性和熱脹性0dmdVVddV因質量守恒ddV V pddV Vdpdp 虎克定律虎

16、克定律Hookes law（1-47）（1-46）體積彈性模量1pdpdpEVddV E 的單位2N m當壓強一定，溫度發(fā)生變化時TddV VdTdT 熱膨脹系數不可壓縮流體模型 在一般溫度和壓強情況下，流體的可壓縮性很小，我們一般認為不可壓縮。例如：20C水，在100MPa壓強作用下，其體積減少約5%，壓縮系數為5x10-10m2/N，各種礦物液壓油的平均壓縮系數為6x10-10m2/N，所以，在液壓系統設計中，往往認為液壓油不可壓縮。 注意：若對液壓系統進行動力學仿真時，往往需要考慮。1.4.9 理想氣體狀態(tài)方程pRTR氣體常數空氣R=8.31/0.029=287J/kgK 等溫過程：壓縮

17、系數 等壓過程：膨脹系數 絕熱過程：壓縮系數 低速（標準狀態(tài)，v 68m/s）氣流可按不可壓縮流體處理1Tddp pdpdpp 1pdV VdT TdTdTT1ddppdpdpp 由液壓泵等裝置吸入油液時帶入的空氣可以迅速溶入液體，在壓力降低到一定程度時產生氣泡， - dissolving （溶解） coefficient at normal pressure At normal pressure Va=Vf .21afpVVpAt high pressure, the volume of the dissolved air is much more than the volume of th

18、e liquid爬行、振動、噪聲轉換動作遲緩降低了熱傳導加速油液老化氣蝕00201famixturelflaVVKKVpKVpKl: 液體可壓縮性Vf: 液體體積Va0: 正常狀態(tài)下氣體體積p0: 標準壓力p: 實際壓力本小節(jié)總結：本小節(jié)總結：要求掌握：粘性的概念及其特性（與溫度、壓強的關系）；牛頓內摩擦定律及其計算；了解可壓縮性與熱膨脹性；不可壓縮流體注意：運動粘度反映流體的流動性，動力粘度反映運動的剪切應力。運動要素：表征流體運動狀態(tài)的物理量 場的概念：如果在全部空間或部分空間的每一點、都對應某個物理量的一個確定的值，就說在這個空間里確定了該物理量的一個場，如果這個物理量是數量，就稱這個場

19、為數量場。若是矢量，就稱這個場為矢量場。場的描述方法：拉格朗日（ Lagrange）法和歐拉（Euler）法場又可分為： 穩(wěn)定場 時變場（不穩(wěn)定場）1.5.1 拉格朗日拉格朗日法（隨體法或跟蹤法）基本思想：跟蹤每個流體微團的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化規(guī)律。()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，時刻，微團坐標為（a，b，c）；則t 時刻位移流體質點的位置坐標變?yōu)椋何锢砀拍钋逦?，但處理問題十分困難0t（1-53）()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，1.流體質點的位置坐標：2.速度：()()

20、()()()()x abctuu abctty abctvv abcttz abctww abctt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，3.流體質點的加速度222222()()()()()()()()()xxyyyyu abctx abctaaabctttv abcty abctaaabctttw abctz abctaaabcttt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，流體質點的運動方程1.5.2 歐拉法（Euler法）Euler 描述法 ： 在流體所占據的空間中，對每一個固定點，研究流體質點經過該點時其力學量的變化情況，整個流體的運動可認為

21、是空間各點流動參量變化情況的綜合。 用空間點位置坐標 ( x, y, z )來表示某一確定點，稱(x, y, z)為 Euler 坐標或空間坐標。通常稱f ( x, y, z, t )為Euler 變量。 若以f 表示流體的某一個物理量，其Euler 描述的數學表達式是： (),fF xyztFtr， ， ，（1-56） 在任意 t 時刻，空間任意一點 ( x, y, z ) 的V、 p、T、將是 （x, y, z, t ）的函數，即 ()()()()VV xyztpp xyztTT xyztxyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，（1-57）若x、y、z為常量，上式表示在空間某一特定點上，

22、 V、 p、 T、隨時間 的變化情況；若 t 恒定，則上式表示空間各個點在某一個特定時刻有關力學量的 數值分布。V, , p, , 等有關力學量都是空間點x、y、z 坐標的函數 速度場、壓力場、密度場等 流體運動的問題轉化為研究有關矢量場和數量場問題 按場內函數空間位置 x、 y、 z是否變化， 分為 均勻場和非均勻場 。按場內函數與 t 的關系，分為定常場（穩(wěn)定場）和非定常場（不穩(wěn)定場）。1.5.3 Lagrange法與法與Euler法的關系設表達式 f =（a、b、c、d、t）表示流體質點在 t 時刻的物理量。如果設想流體某一質點（a、b、c、d ）恰好在 t 時刻運動到空間點 （x, y

23、, z）上，則應有()()()xx abcdtyy abcdtzz abcdt， ， ， ， ， ， ， ， ， ，()()()()aa xyztbb xyztcc xyztdd xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，()fabctfa xyztb xyztc xyzttF xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，LagrangeEuler為了與教材一致(),fF xyztFtr， ， ，設Euler表達式：()xyzt， ， ，及()()()xyzx abctutdy abctfudttz abctutr， ， ， ， ， ， ，常微分方程的解為：當0tt時，abcr， ，11

24、0220330()()()cc abctccabctccabct， ， ， ， ， ， ，,t),c,cz(cz,t),c,cy(cy,t),c,cx(cx321321321()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，將此式代入 f =F (x，y，z，t )，即得到 Lagrange 描述。 例1-3 已知Lagrange描述： ttxaeybe，求速度與加速度的Euler描述。解：速度與加速度的Lagrange描述為：ttxyyttxxydxdyuaeubedtdtduduaaeabedtdt ，因已知ttxaeybe，可得ttaxebye，并將此式代入

25、上式，得Euler描述xyxyuxuyaxay ，例1-4 已知Euler描述： xyuxuy ，初始條件為，0txayb時，求速度與加速度的Lagrange 描述。解：12xyttdxdyuxuydtdtxc eyc e ，0txayb又因時，得-ttttxyyttxxyxaeybeuxaeuybeduduaaeabedtdt，Lagrange 描述1.5.4 加速度場AOrr+drdrBMAMxzyOM（x，y，z）u（x，y，z，t）MM（x+dx，y+dy，z+dz）u（x+dx，y+dy，z+dz，t+dt）dt圖1-16 Lagrange法與Euler法圖1-17 流場內空間點()

26、xyztuu， ， ，速度場中某點M位置()xdxydyzdztdtxyztddtdtuuua， ， ，以u為中心，將u 按泰勒（Taylor）級數展開()xdxydyzdztdtxyztdxdydzdtxyztuuuuuu， ， ，Taylor級數展開請參閱高等數學有關章節(jié)由上，則有xyzduuudtdttxyzuuuuuuu()xdxydyzdztdtxyztdtdxdydzdtx dty dtz dtt dtuuuuuu， ， ，a在直角坐標上的投影：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyz

27、討論：在歐拉描述中，著眼點是空間點（不是質點），物理量被表示為空間點的函數；因此，要描述質點物理量隨時間的變化，沒有Lagrange直接。要求一質點物理量隨時間的變化，必須跟著質點看物理量變化，這時作為質點空間位置的坐標（x,y,z）也就是時間t的函數了（注意，在歐拉描述中，x,y,z本是自變量，但討論到質點運動，作為質點空間位置的x,y,z時，它就變?yōu)闀r間t的函數）。這樣，求歐拉的物理量F跟隨質點的時間變化率隨體導數（有時稱質點導數）時，就有： xyzdx ty tz ttdtdxdydztxdtydtzdtuuutxyztFFFFFFFFFFuF，由上式看出，隨體導數是兩項之和，第一項，是

28、物理量F場的時間變化率（x, y, z不變），稱局部導數，第二項，是物理量F隨質點位置變化引起的（u u方向上F的變化），稱對流導數（或位變導數）。 xyz ijk漢密爾頓（漢密爾頓（W. R. Hamilton）Nabla nbl例1-5：已知速度場解：22423xyxyxyxyzuu，試問 （1）點（1，1，2）的加速度是多少 ；（；（2）流動是幾元流 ? （3）流動是恒定流還是非恒定流 ? （4）是均勻）是均勻流還是非均勻流動。流還是非均勻流動。xxxxxxxyzyyyyyyxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxxxxxyyyyyxyduuuauudtx

29、yduuuauudtxy22222222424242333423xyxyxyxyxyaxyxyxyzxyxyzxyzaxyxyxyzxy22224283242332xyaxyxyxxyxyzxaxyxyxyzy代入點（1，1，2）得421813122175421 3312213xyaa 三元流；不隨時間變化，穩(wěn)定流（恒定流）；隨空間變化，非均勻流。例1- 6：流場的速度分布為：22z65375xyxyxtyxyzt uuu，求流體在點（2，1，4 ）和時間t =3 時的速度、加速度。 解：代入點 （2，1，4） 和時間t =3，得速度值為 2222z656 2 1 5 2 34233 1375

30、7 2 15 4 346xyxyxtyxyzt uuuxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz因 2222223 5x6xy5xt6y5t3y6x7xy5zt0 5x18xy60 xyt25xt 065036750 =18xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzxduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxyxtyyxyztyduuaudtt 2222 5657314755 525zzzyzuuuuuxyzzxyxtyyxyxyzttzzt 代入點（2、1、4）

31、與t=3的值，得加速度的值856 18880 xxyyzzduadtduadtduadt1.6.1跡線 ：跡線：流體質點在不同時刻的運動位置的連線。跡線的概念直接與 Lagrange 描述聯系。 對于 Euler描述求跡線較為復雜。 ()()()xyzdxx abctudttddyy abctfudtdttdzz abctudttr， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdtuabctdydtuabctdzdtuz abct， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdydzuabctuabctuz abdtct， ， ， ， ， ， ，流線方程Euler描述是某一確定時間，某物理

32、特性的分布。1.6.2 流線 ：流線：描述流場中各點流動方向的曲線，線上任一點的切線方向與 該點在該時刻的速度矢量方向一致。0d ru000()()()xyzdxdydzuabctuabctuabct， ， ， ， ， ， ，流線的性質 ： （1）過一點只能有一條流線；（2）流線不能轉折。 流線就是液體或氣體流動時軌跡，常用于研究液體或氣體環(huán)繞固體面流動的狀況流線（streamline） 風洞棒球風洞1.6.3 流面、流管與流束C對于場中的任意一條曲線C（非矢量線），在其上的每一個點處，也皆有且僅有一條矢量線通過，這些矢量線的全體，就構成一張通過曲線C的曲面，稱之為矢量面。當C為一封閉曲線時，

33、通過C的矢量面，就構成了一個管形曲面，稱之為矢量管。對于流體分別稱之為流面和流管。C流面流管流束 ：流管內的流線組成一束。 流體朝一個方向流動即流道的軸線方向流動，這樣可以 把空間近似看成一個流管。在數學上變成一維問題，用斷面上平均物理量來代替斷面上的物理量的實際分布。流管的兩個重要特性：（1）流體不能穿越流管 ；（2）當封閉曲線的面積A很小時，流管斷面可認為物理量均勻分布。管狀流動： 流道上與流線族成正交的面。其面積用 A 來表示，則斷面上的平均速度定義為過流斷面：AudAA其中，AQudA流量端面上一點的速度平均速度例1-7 已知：xuxt，yuyt 0zu ，。 求t=0時，經過點M（-

34、1，-1）的流線和跡線。dxdyxtyt解：流線微分方程為：xtytc當t=0時，x=-1，y=-11c 經過點M（-1，-1）的流線為1xy dxx tdt 求跡線dyy tdt ，1211ttxcetyc et 當t=0 時，x=-1，y=-1120cc11xtyt 消去t2xy例1-8已知流體質點運動軌跡是 x=at +1, y = bt1，求流線族。 解：11xatybt，a、b 表達式，為11xyabtt，流體質點的運動速度xydxdyua ubdtdt，11xyxyuaubtt ，將a、b代入上式由流線方程，可得11dxdyxy流線族11xc y 1.7 速度分解定理速度分解定理剛

35、體運動：平移運動旋轉運動流體微團：平移運動旋轉運動變形運動角變形運動線變形運動ududy平移繞定軸旋轉變形（線性變形與轉角變形）剪切流動：圖1-28 方形流體微團ADCBMxuyudydx22xxyyudxuxudxux22xxyyudyuyudyuy22xxyyudyuyudyuy22xxyyudxuxudxux具有速度梯度流體微團的平移運動 平移運動速度 xyzuuu， ，流體微團的線變形運動 A、C點之間在x方向上的速度差：xCxAxuuudxx線變形速度:xxxudx dtuxdx dtxADCBMxuyudydx22xxyyu dxuxudxux22xxyyu dyuyudyuy22

36、xxyyu dyuyudyuy22xxyyu dxuxudxuxdt時間內拉伸長度單位長度、單位時間線性變形速度xxyyzzuxuyuzyxzuuudivxyzu單位體積膨脹率：同理可得：流體隨空間的變化0div u表示無源或不可壓縮流體0div u表示被壓縮，或有泄漏、蓄能器蓄能等0div u表示被拉伸、膨脹；流體有補充，即有泵、蓄能器釋放能量等流體微團的線變形運動contd. 流體微團的旋轉運動 B、C點速度22xBxxyCyyudyuuyudxuuxB、C點相對于M點的旋轉角速度： 22xxudyuydyyB點C點22yyudxuxdxxdy/2規(guī)定：逆時針旋轉為正 MBFCBFCyxdx/2速度增量與x軸相反速度增量與y軸相同 MF 相對于 M點的旋轉角速度為BM和CM 這兩條邊旋轉角速度的平均值 12yxzuuxy同理可推至空間坐標121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy1122xyzxyzuuu ijkuxyzijk或右手定則若0有勢無旋渦線方程：xyzdxdydz渦量（即旋度）：等于2倍的。其值越大，渦旋強度越大。其值越大，渦旋強度越大。rotuuyzxxzyyzzu