第2章控制系統(tǒng)的數學模型

1、第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制工程是一門研究“控制論”在工程中應用的科學。 控制器被控對象輸入量r輸出量y擾動量 n檢測元件偏差e反饋量b數學模型數學模型生物系統(tǒng)工程系統(tǒng)經濟系統(tǒng)社會系統(tǒng)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型 建立控制系統(tǒng)的數學模型，并在此基礎上對控制系統(tǒng)建立控制系統(tǒng)的數學模型，并在此基礎上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合，這是控制工程的基本方法。進行分析、綜合，這是控制工程的基本方法。數學模型是描述物理系統(tǒng)的數學表達式。建立數學模型的基本方法：1.機理分析法機理分析法 ：通過分析系統(tǒng)的內部運動規(guī)律，求解系統(tǒng)輸入量與輸出量之

2、間的數學關系。2.系統(tǒng)辨識法系統(tǒng)辨識法 ：利用實驗數據建立系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的數學關系。第二章 控制系統(tǒng)的數學模型第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數2-5 信號流圖及梅遜公式信號流圖及梅遜公式2-2 拉氏變換及反變換拉氏變換及反變換2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程2-4 框圖及其簡化框圖及其簡化第二章 控制系統(tǒng)的數學模型第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程 微分方程是根據系統(tǒng)的動力學特性列寫出來的反映其動態(tài)特性的基本方程，這

3、些方程通常需要用微分式表達，所以稱為微分方程。連續(xù)系統(tǒng)工程物理系統(tǒng)離散系統(tǒng)傳遞函數狀態(tài)空間表達式差分方程脈沖傳遞函數微分方程第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型v 一、機械系統(tǒng)的微分方程 2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程 牛頓第二定律：一物體的加速度，與其所受的合外力成正比，與其質量成反比，而且加速度與合外力同方向(作用在物體上的合外力與該物體的慣性力構成平衡力系)。用公式可表示為0iFxm 0iFxm iF式中 作用在物體上的合外力； 物體的加速度； 物體的質量； 物體的慣性力。iFx mxm 0iFxm (2-1)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1

4、 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程0iFxm 0iFxm iF 如圖2-1a所示的機械平移系統(tǒng)，可應用牛頓第二定律，得出微分方程式(2-2)(dddd22tFkxtxftxm (2-2) 圖2-1b為回轉運動的機械系統(tǒng)，相應的運動微分方程為22ddddJfkTtt (2-3)圖圖2-1 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)a)平移系統(tǒng)平移系統(tǒng)b)回轉系統(tǒng)回轉系統(tǒng)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-1 機械系統(tǒng)加速度計工作原理如圖2-2所示，它用于測量某一運動物體(如車輛、飛機)的加速度。測量時，加速度計的框架固定在待測的運動體上，當運動體作加速運動時，該框架

5、隨之作同樣的加速運動。0ddd)(d22kytyftxymmatxmkytyftym2222dddddd圖圖2-2a 加速度計加速度計第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-2 設有如圖2-3a所示的齒輪傳動鏈，由電動機M輸入的扭矩為 ， 為輸出端負載， 為負載扭矩。圖中所示的為各齒輪齒數， 、 、 及 、 、 分別為各軸及相應齒輪的轉動慣量和轉角。mTLLTiz1J2J123圖圖2-3 齒輪傳動鏈齒輪傳動鏈a)原始輪系原始輪系 b)等效輪系等效輪系第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程m1

6、 11 1122 22 2343 33 3LTJfTTJfTTJfT(2-4)根據式(2-3)可得如下動力學方程組 式中 1f2f3f 傳動中各軸及齒輪的粘性阻尼系數； 1T1zmT齒輪對的反轉矩； 2T3T4TLT3z2T對 的反轉矩； 1z1T對 的反轉矩； 4z3T對 的反轉矩； 4T輸出端負載對的反轉矩，即負載轉矩。 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由齒輪傳動的基本關系可知 1122TzzT 1212zz3344TzzT 143212433zzzzzz于是由式(2-4)可得LmTfJzzfJzzfJT333343222221111

7、1 LTzzzzfzzzzfzzfJzzzzJzzJ4321132432122211132432122211 令22311eq123224zzzJJJJzz z稱為等效轉動慣量；eqJ令22311eq123224zzzffffzz z稱為等效阻尼系數； eqf令LTzzzzT4321Leq稱為等效輸出轉矩。 LeqT第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程將上式改為 meq1eq1LeqTJfT則圖2-3a所示的傳動裝置可簡化為圖2-3b所示的等效齒輪傳動 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型v 二、電氣系統(tǒng)的微分方程2-1 控制系

8、統(tǒng)的微分方程及線性化方程0iFxm 0iFxm iF 電氣系統(tǒng)的微分方程根據歐姆定律、基爾霍夫定律、電磁感應定律等基本物理規(guī)律列寫。例2-3 無源電路網絡 圖圖2-4 無緣網絡無緣網絡 如圖2-4所示的系統(tǒng)中， 為輸入電壓， 為輸出電壓。)(itu)(otu根據基爾霍夫定律和歐姆定律，有 )()()(d)(1)()()()()()(2o21121oi21tiRtutiRttiCtiRtututititi)82()72()62()52( 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程由式(2-6)得 1o21( )( )( )u tuti tR(2-9)

9、由式(2-7)得 ttiCRtid)(d)(211將式(2-9)代入，得oi1d( )d ( )( )ddu tu ti tCtt(2-10)由式(2-8)得 o2( )( )u ti tR(2-11)將式(2-9)、式(2-10)、式(2-11)代入式(2-5)，得oiooi12d( )( )( )( )d ( )ddu tu tu tu tu tCttRR即 o12i1o1i2d( )d( )( )( )ddutRRu tR CutR Cu ttRt第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-4 有源電路網絡 圖圖2-5 有緣網絡有緣網絡

10、如圖2-5所示系統(tǒng)中， 為輸入電壓， 為輸出電壓， 為運算放大器開環(huán)放大倍數。 )(otu)(itu0K設運算放大器的反相輸入端為A點。因為一般)()(A0otuKtu值很大，又，所以，A點電位0KoA0( )( )0u tutK (2-12) 一般運算放大器的輸入阻抗很高，所以 )()(21titi(2-13) 據此，可列出oid( )( )dutu tCRt 即oid( )( )du tCu tt 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程例2-5 電樞控制式直流電動機 如圖2-6所示的系統(tǒng)，其中為電動機電樞輸入電壓；為電動機輸出轉角；為電樞繞

11、組的電阻；為電樞繞組的電感；為流過電樞繞組的電流；為電動機感應電勢；為電動機轉矩；為電動機及負載折合到電動機軸上的轉動慣量；為電動機及負載折合到電動機軸上的粘性阻尼系數。圖圖2-6 有緣網絡有緣網絡 根據基爾霍夫定律，有 )(d)(d)()(maaaaitettiLtiRte(2-14) )()(aTtiKtTTK根據磁場對載流線圈的作用定律，有式中 電動機轉矩常數。(2-15) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程omed( )( )dtetKt根據電磁感應定律，有(2-16) eK式中 反電勢常數。2oo2d( )d( )( )ddttT

12、 tfJtt根據牛頓第二定律，有(2-17) 將式(2-15)代入式(2-17)，得2ooa2TTd( )d( )( )ddttJfi tKKtt(2-18) oeid( )( )dtKe tt32oooaaaaTeT i32d( )d( )d( )()()( )dddtttL JL fR JR fK KK e tttt將式(2-16)、式(2-18)代入式(2-14)，得2ooaTeT i2d( )d( )()( )ddattR JR fK KK e ttt電樞電感La通常較小，若忽略不計，系統(tǒng)微分方程可簡化為當電樞電感La，電阻Ra均較小，都忽略時，系統(tǒng)微分方程可進一步簡化為第二章第二章

13、控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程v 三、液壓系統(tǒng)的線性化微分方圖中，x為閥芯位移輸入；y為液壓缸活塞位移輸出；q L為負載流量；q1、q2分別為液壓缸左、右腔的輸入、輸出流量；pL為負載壓差；pS為供油壓力；m為負載質量；A為活塞工作面積；d為閥芯直徑。圖2-7 閥控液壓缸 圖2-8 q L = f(x, pL)曲線 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程12Lqqqs1202pppppp21sppp21Lppp2Lsppp又若閥口結構完全相同且對稱，不考慮閥和缸的泄漏，則，。于是有，因為，于是式(2-

14、19)變?yōu)?所以可以導出LsdLppdxCq(2-20) 由液壓流體力學可知1d02pqC A(2-19) 式中 dC閥口流量系數； 0ApdxA0dxA0 閥口過流面積，若為全周矩形開口，有 閥口壓力降； 油液密度。 或 ),(LLpxfq 上式稱為滑閥的靜特性方程，是一個非線性函數，如圖2-8所示。 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程設閥的額定工作點參量為 L0p0 x和 則 ),(0L0L0 xpfq(2-21) 將式(2-20)在額定工作點附近展成泰勒(Taylor)級數，有 00LL0LL0LLLL00LL(, )(, )(,)x

15、 xx xPpppf pxf pxqf pxxpxp (2-22) 0L0L),(LqxxppxxpfK0L0LLLc),(xxpppxpfK設 ，式(2-22)減去式(2-21)，并舍去高階項，得線性化流量方程 LcqLpKxKq(2-23) 不考慮泄漏時液壓缸流量連續(xù)性方程為 tyAqd)(dL(2-24) 不考慮阻尼力等時液壓缸力平衡方程為 2L2d ()dyp Amt(2-25) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程 將式(2-23)、式(2-24)和式(2-25)聯立，消去中間變量，即得系統(tǒng)線性方程 2cq2d ()d()ddK m

16、yyAKxAttv線性化的過程中，有以下幾點需要注意： 1) 線性化是相對某一額定工作點的，工作點不同，則所得的方程系數也往往不同； 2) 變量的偏差愈小，則線性化精度愈高； 3) 增量方程中可認為其初始條件為零，即廣義坐標原點平移到額定工作點處； 4) 線性化只用于沒有間斷點、折斷點的單值函數。 在機械工程中，常用到液壓傳動及其控制系統(tǒng)，由于典型的液壓元件比電氣元件更為非線性，在數學描述上更加復雜，為便于分析，往往在一定條件下，將非線性系統(tǒng)進行線性化處理。第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程v 由以上的一些例子，可總結出列寫系統(tǒng)微分方程的一

17、般步驟： 1) 將系統(tǒng)劃分環(huán)節(jié)，確定各環(huán)節(jié)的輸入及輸出信號，每個環(huán)節(jié)可考慮列寫一個方程；根據物理定律或通過實驗等方法得出的物理規(guī)律列寫各環(huán)節(jié)的原始方程式，并考慮適當簡化、線性化； 2) 將各環(huán)節(jié)方程式聯立，消去中間變量，最后得出只含輸入變量、輸出變量以及參量的系統(tǒng)方程式。 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-1 控制系統(tǒng)的微分方程及線性化方程v 四、相似系統(tǒng) 數學模型相同的物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)的數學模型中，作用相同的變量稱為相似變量。表2-1為質量-彈簧-阻尼機械平移系統(tǒng)、機械回轉系統(tǒng)、電氣系統(tǒng)和液壓系統(tǒng)的相似變量。 相似系統(tǒng)的特點是一種物理系統(tǒng)研究的結論可以推廣

18、到其它相似系統(tǒng)中去。利用相似系統(tǒng)的這一特點，可以進行模擬研究，即用一種比較容易實現的系統(tǒng)(如用電氣系統(tǒng))模擬其它較難實現的系統(tǒng)。 表2-1 相似系統(tǒng)的相似變量第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 v 一、拉氏變換及其特性 (一) 拉氏變換的定義 拉氏變換(Laplace Transform)是分析工程控制系統(tǒng)的基本數學方法之一。時間函數f(t)，當t0時，f(t)=0，t0時，f(t)（稱原函數）的拉氏變換記為Lf(t)或F(s)（稱象函數），且定義為tetfsFtfLstd)()()(0式中s= + j 若式(2-26)的積分收斂于一確定值，則函數 f(

19、t) 的拉氏變換F(s)存在，這時f(t)必須滿足(2-26) 1)在任一有限區(qū)間內，f(t)分段連續(xù)，只有有限個間斷點。2)當時間t，f(t)不超過某一指數函數，即滿足atMtfe)(式中M、a實常數。 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 例2-6 單位階躍函數的拉氏變換。0 10 0)( 1ttt單位階躍函數如右圖所示，定義為01f(t)t由拉氏變換的定義式可求得：ssetettLstst1d)( 1)( 100第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 例2-7 單位脈沖函數的拉氏變換。單位脈沖函數如右圖所示，定義為

20、0 0 0)(ttt0f(t)t1d)(tt且（t）有如下特性 )0(d)()(fttft由拉氏變換的定義式可求得：1d)()(00tststetettL第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 例2-8 單位斜坡函數的拉氏變換由拉氏變換的定義式可求得：單位脈沖函數如右圖所示，定義為0f(t)t0 0 0tttt 202000011dd)(dsestsetsesetttetLststststst例2-9 指數函數eat的拉氏變換。aseasteteeeLtastasstatat11dd0)(0)(0第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏

21、變換及反變換 例2-10 正弦函數sint和余弦函數cost的拉氏變換根據歐拉公式，有 sinjcossinjcosjjee2cosj2sinjjjjeeee則 于是可以利用上面指數函數拉氏變換的結果，得出正弦函數和余弦函數的拉氏變換。 teeettetLstttstdj2dsinsin0jj022j1j121ssssteeete ttLstttstd2dcoscos0jj0第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 拉氏變換對照表表22第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 1.線性定理 (二）拉氏變換的運算法則 2.延遲定

22、理)()()()()()(221122112211sFksFktfLktfLktfktfkL拉氏變換是一個線性變換，若有常數k1、k2，函數f1(t)、f2(t)，則 (2-28) 證明： 設f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一正實數 T 有 )(e)(sFTtfLTs()000()()ed( )ede( )ed( )ede( )stsTTTsssTsTL f tTf tTtfffF s(2-29) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 3.位移定理 4.相似定理 f(t)的拉氏變換為F(s)，對任一常數a（實數或復數）有 )()(asFtfeLat證明：

23、 )(d)(d)()(0)(0asFtetftetfetfeLtasstatat(2-30) 證明：f(t)的拉氏變換為F(s)，有任意常數a，則 )(1)(asFaatfLd1)(d)()()(00aefteatfatfLasst)(1d)(1)(asFaefaas(2-31) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 5.微分定理 設f(n)(t)表示f(t)的n階導數，n=1，2， 正整數，f(t)的拉氏變換為F(s)，則 )0()()()1(fssFtfL(2-32) 證明： uvuvvudd則 )0()()0(d)(d)()(d)()(0000)1(

24、)1(fssFftetfstsetftfetetftfLstststst可進一步推出f(t)的各階導數的拉氏變換為 )0()0()()()1(2)2(fsfsFstfL)0()0()0()0()()()1()2()1(21)(nnnnnnfsffsfssFstfL(2-33) (2-34) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 6.積分定理 證明： )0(1)(1)d)(1)(1d)(1d)(1dd)(d)()1(00000000 fssFstytfssFsttfesttfestettfttfLttsttststttf(t)的拉氏變換為F(s)，則 )0(

25、1)(d)()1(0fsssFttfLt(2-35) 依次可推導出 )0(1)0(1)(1)d)()2()1(22002fsfssFsttfLtt)0(1)0(1)(1)d)()2(1)1(20 00fsfssFsttfLnntttn)0(1nfs(2-37) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 7.初值定理 證明： 令s，對上式兩邊取極限 )0()(limd)(lim0)1(fssFtetfssts0 stes時，當0)0()(limfssFs)(lim)0()(lim0tffssFts則由微分定理 )0()(d)(0)1(fssFtetfst設f(t

26、)及其一階導數均為可拉氏變換的，則f(t)的初值為 0(0 )lim( )lim( )stff tsF s(2-38) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 8.終值定理 由微分定理 令s0，對上式兩邊取極限 )0()(d)(0)1(fssFtetfst)0()(limd)(lim00)1(0fssFtetfsststtstsststtftetftetf0)1(00)1(0)1(0d)(limdlim)(d)(lim)0()(lim)(dlim0ftftfttt)(lim)(lim0ssFtfst證明：設f(t)及其一階導數均為可拉氏變換的，則f(t)的終

27、值為 )(lim)(lim0ssFtfst(2-39) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 9.象函數的微分性質10.象函數的積分性質sssFttfLd)()(證明：0000)(d)(1d)(dd)(dd)(d)(ttfLtettfetttfsettfstetfssFstsstsssstst因為 對上式兩邊微分 0d)()(tetfsFst00)(d)(d)()(ddttfLtettftettfsFsstst證明：)(dd)(sFsttfL(2-40) (2-41) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 11.卷積定

28、理則,t令 )()()()(d)()(d)()(d)()(000tftgtgtftgftgfgtfttt則證明：的卷積。和稱作積分式中則設)()( )()(d)()(, )()(d)()()()( ; )()(00tgtftgtfgtfsGsFgtfLtgLsGtfLsFtt(2-42) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 v 二、拉氏反變換及其計算方法1. 拉氏反變換的定義(1)查表法，表22 ；(2)部分分式法。2. 拉氏反變換的計算方法已知F(s)，求時間函數f(t)的拉氏反變換，記作 ，定義為 )()(1tfsFL)()(1tfsFLj 21jj

29、d)(rrstsesF式中，r為大于F(s)的所有奇異點實部的實常數。所謂奇異點，即F(s)在該點不解析，也就是F(s)在該點及其鄰域不處處可導。 (2-43) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 用部分分式法將式(2-45)分為各簡單分式之和 ，應分三種情況進行討論： (1)A(s)=0無重根(3)A(s)=0有重根 (2)A(s)=0的根中有共軛復根 F(s)通常可表達為復數s的有理代數式； )()()(011011sAsBasasabsbsbsFnnnnmmmm(2-44) 設s1、s2、s3、sn 為分母的根，則 )()()()()()(2101

30、1nnnnnnnnssssssasBaasaasasBsF(2-45) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 (1) A(s)=0無重根時無重根時用(ss1)乘以上式兩邊，并以s=s1代入式中，得 11211)()()()(kssssssssasNssnn)()()(1212111nnssssssasNk將原式化為部分分式 nnnnsskssksskssssssasN221121)()()(2-46) 依次類推可得 )()()()()(21iiniiiniisDsNssssssasNk121( )1( )( )( )( )( )niniiiN sF sF

31、sF sF sD sss(2-47) (2-48) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 tsiiessL11因為 nitsiiisDsNsFLtf11e)()()()(2-49) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型v例2-11651)(2ssssF求的拉氏反變換。 2-2 拉氏變換及反變換 解解 )(sF32) 3)(2(1651)(212sksksssssssF1k2kttssssLsFLtfsssskssssk23113221ee23221)()(2)3()3)(2(11)2()3)(2(1的部分分式運用式(2-47)求系數、第二章第

32、二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 2. A(s)=0的根中有共軛復根的根中有共軛復根 通過下面的例子說明通過部分分式求拉氏反變換的方法。 例2-12求象函數) 1(1)(2sssssF的原函數。 1) 1(1)(2212ssksksksssssF(2-50) 23j2123j2112ssss用 ) 1(2ss乘式(2-50)的兩邊，并令 23j21s，得 2123j2123j2123j21kk第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 21212121kk23232321kk令上式兩邊實部和虛部分別相等，得，121kk121kk

33、即，11k02kks0s1) 1() 1(02ssssssk解得，為確定系數，用乘方程(2-50)兩邊，并令，得)(sF22222232121232121111)(sssssssssF的部分分式可求得第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 222223212333232121ss)(sFttsFLtftt23sine3323cose1)()(5 . 05 . 01其中，則的拉氏反變換為第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 3. A(s)=0有重根的情況有重根的情況 NNNnsskssksskssksskssssssasB

34、sF2211111211121)()()()()()()(1111)(dd)!1(1)(dd!21)(dd)(1)1()1(112213112111sssssssssssFsksssFsksssFsksssFk(2-51) 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 v例2-13求) 3()2(1)(3ssssF的拉氏反變換。 解解1331112232( )(2)(2)23kkkkkF ssssss根據式(2-51)求得 21) 3(1)2)(22311ssssssFk31222222dd1(23)1( )(2)dd(3)4(3)sssskF s sss s s

35、ss2231322221 d1 d13( )(2)2!2(3)8ddsskF s ss sss 200311( )24(2) (3)sskF s sss333311( )(3)3(2)sskF s ss s第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 )(sF33/124/128/3)2(4/1)2(2/1)(23ssssssF的部分分式為)(sF241e31e2341e31241e83e41e41)()(322322221ttttttttttsFLtf分別查表可求得的拉氏反變換為第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-2 拉氏變換及反變換 v 三、

36、用拉氏變換解常系數線性微分方程用拉氏變換解微分方程的步驟： 1) 對微分方程進行拉氏變換，將其轉換為拉氏域內的代數方程； 2) 求出特征方程的解和解對應的留數，并對化簡后的部分分式和進行拉氏反變換，從而求出微分方程的時間解。例例 解方程 其中， 2)0(, 2)0(yy解解 將方程兩邊取拉氏變換，得 ssYyssYysysYs6)(6)0()(5)0()0()(234251) 3)(2(6122)(2sssssssssYtteety32451)(6)(6)(5)(tytyty 第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數v一、傳遞函數的概念 線性定常系

37、統(tǒng)的傳遞函數(Transfer Function)：當初始條件為零時，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。 設線性定常系統(tǒng)輸入為r(t)，輸出為c(t)，描述系統(tǒng)的常微分方程的一般形式為 11101011dddd( )( )( )( )( )( )ddddnnmmnnmmnnmmac tac ta c tbr tbr tb r ttttt系統(tǒng)的傳遞函數G(s)為 110110( )( )( )( )( )mmmmnnnnb sbsbC sN sG sR sD sa sasa(2-54)當初始條件為零時，對上式兩邊進行拉氏變換，得 111010( )( )( )( )( )( )nnmmnn

38、mma s C sasC sa C sb s R sbsR sb R s(2-53)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數1.描述系統(tǒng)本身的固有特性，與輸入量/輸出量無關；2.不同的物理系統(tǒng)，若其動態(tài)特性相同，可用同一傳遞函數描述。 傳遞函數分母多項式中 s 的最高冪數代表了系統(tǒng)的階數，如 s的最高冪數為n，則該系統(tǒng)為 n 階系統(tǒng)。 傳遞函數的特性：第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型對于傳遞函數 01110111)(asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm 對分子分母因式分解可以得到)()()()()(2121011101

39、11nmnmnnnnmmmmpspspszszszsabasasasabsbsbsbsG 其中， 為傳遞函數的 零點， 為傳遞函數的極點?？梢妭鬟f函數 有m個零點，n個極點和一個實常數倍數 。這些零點和極點中當然可以有重零點和重極點。mzzz , , ,21)(sGnppp , , ,21)(sGnmab / 零點和極點是控制理論中重要的概念，它們在控制系統(tǒng)的分析與設計中有著重要的作用。v 二、傳遞函數的零點和極點2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數v三、基本環(huán)節(jié)(又稱典型環(huán)節(jié))的傳遞函數 幾點重要說明：根據

40、元件的功能來研究元件，如測量、放大、執(zhí)行元件等，主要用于研究系統(tǒng)的結構、組成、控制原理2. 按照運動方程式將元件或系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)，主要用于建立系統(tǒng)的數學模型，研究系統(tǒng)的特性一個系統(tǒng)可看作由一些基本環(huán)節(jié)組成，能組成獨立的運動方程式的部分便稱為環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)可以是一個元件，也可以是一個元件的一部分或由幾個元件組成，而方程的系數僅與該環(huán)節(jié)元件的參數有關，與其它環(huán)節(jié)無關，有時稱為“單向元件”環(huán)節(jié)。第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數1、比例環(huán)節(jié)（又稱放大環(huán)節(jié)） p1p0F1111112011)()()()()()()()()(AsPsFsGAsPsFAt

41、ptFApAtptF 輸出量與輸入量成正比的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)。即 經拉氏變換后 故比例環(huán)節(jié)的傳遞函數為 如一個理想的電子放大器的放大系數或增益、齒輪傳動的傳動比均為比例環(huán)節(jié)。 ( )( )c tKr t( )( )C sKR s( )( )( )C sG sKR s(2-55)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數2、慣性環(huán)節(jié)（又稱非周期環(huán)節(jié)）ui(t) R uo(t) i(t)C11)()()(RCssUsUsGio 在這類環(huán)節(jié)中，因含有儲能元件，故對突變形式的輸入信號，不能立即輸送出去。其微分方程為 對上式進行拉氏變換，求得慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數

42、為 式中K放大系數； T時間常數。 1)(TsKsG( )( )( )Tc tc tKr t1)(TsKsG第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數3、微分環(huán)節(jié) xQ1Q2sAsXsQsGtxAtQ11)()()()()(輸出正比于輸入的微分的環(huán)節(jié)，稱微分環(huán)節(jié)，即 其傳遞函數為 微分時間常數 ( )( )c tr t( )( )( )C sG ssR s第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數4、積分環(huán)節(jié) qq2xAssQsXsGttqAtx1)()()(d)(1)(輸出正比于輸入的積分的環(huán)節(jié)稱積分環(huán)節(jié)

43、，即 其傳遞函數為 T 積分時間常數 1( )( )dc tr ttT( )1( )( )C sG sR sTs第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數5、振蕩環(huán)節(jié)在這類環(huán)節(jié)含有兩種儲能元件，在信號傳遞過程中，因能量的的轉換而使其輸出帶有振蕩的性質，其微分方程為 對上式進行拉氏變換，求得振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數為式中n無阻尼固有頻率 阻尼比 ( )( )( )( )mx tfx tkx tF t222222( )1111( )( )221nnnnnX sG sF skkmsfskssssmkf2mkn第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-

44、3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數6、一階微分環(huán)節(jié) 7、二階微分環(huán)節(jié) 描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式 其傳遞函數為 ( )( )( )c tr tr t( )( )1( )C sG ssR s描述該環(huán)節(jié)輸出、輸入間的微分方程具有如下形式 其傳遞函數為 2( )( )2( )( )c tr tr tr t2 2( )( )21( )C sG sssR s第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-3 傳遞函數及基本環(huán)節(jié)的傳遞函數8、延時環(huán)節(jié) X(t)X(t-)該環(huán)節(jié)的輸出滯后輸入時間后不失真地復現輸入，其數學描述式為 其傳遞函數為( )()c tr t( )( )e( )s

45、C sG sR s-第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-4 方框圖及其簡化 框圖(Block Diagram)是系統(tǒng)中各個元件功能和信號流向的圖解表示，又稱為方塊圖。 系統(tǒng)運動規(guī)律系統(tǒng)的線性化微分方程求解微分方程系統(tǒng)的傳遞函數系統(tǒng)方塊圖求解拉氏反變換求解拉氏反變換第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-4 方框圖及其簡化v 一、方框圖單元、比較點和引出點引出點: 引出點表示信號引出和測量的位置，同一位置引出的幾個信號，在大小和性質上完全一樣。 方塊圖單元G(s)輸入R(s)輸出X(s)比較點:比較點代表兩個或兩個以上的輸入信號進行相加或 相減的元件，或稱比較器。

46、箭頭上的“+”或“”表示 信號相加或相減，相加減的量應具有相同的量綱。 輸入R(s)輸出E(s) = R(s) - B(s)輸入B(s)C(s)C(s)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-4 方框圖及其簡化v 二、系統(tǒng)構成方式及運算法則 系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有三種基本連接方式，串聯、并聯和反饋連接，方塊圖運算法則是求取方塊圖不同連接方式下等效傳遞函數的方法。1、串聯連接 12( )( )( )( )( )( )( )( )( )C sC sX sG sG s GsR sX sR s 由串聯環(huán)節(jié)所構成的系統(tǒng)，當無負載效應影響時，它的總傳遞函數等于各環(huán)節(jié)傳遞函數的乘積。當系統(tǒng)由n個

47、環(huán)節(jié)串聯而成時，總傳遞函數為 niisGsG1)()(2-56)第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-4 方框圖及其簡化2、并聯連接 并聯環(huán)節(jié)所構成的總傳遞函數，等于各并聯環(huán)節(jié)傳遞函數之和/差。niisGsG1)()(C1(s)G(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s) C(s)C2(s)12( )( )( )C sC sCs1212( )( )( )( )( )( )( )( )C sCsC sG sG sG sR sR s第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型控制系統(tǒng)的數學模型2-4 方框圖及其簡化3、反饋連接 反饋，是將系統(tǒng)或某一環(huán)節(jié)的輸出量，全部或部分地通過反饋回路回輸到輸入端，又重新輸入到系統(tǒng)中去。 即輸出對輸入有影響。反饋與輸入相加的稱為“正反饋”，與輸入相減的稱為“負反饋”。 R(s)E(s)B(s)G(s)H(s)C(s)( )( ) ( )C sE s G s( )( )( ) ( )EsRsCs H s( )( )( )B sC s H s( )1( )1( )( )E sR sG s H s( )( )( )1( )( )C sG sR sG s H s第二章第二章 控制系統(tǒng)的數學模型