第一章 單自由度系統(tǒng)自由振動定性分析

1、第一章 單自由度系統(tǒng)自由振動定性分析方法幾何法或相平面法一、單自由度非線性振動例子 一般形式 0)(),(xfxxx 非線性阻尼力=0時，稱為非線性保守系統(tǒng)非線性恢復力1、幾何非線性 單擺的大擺動 方程）DuffingLgLg(0! 7! 5! 3sin0sin3207530 2、物理非線性 非線性彈簧f(x)x線彈簧硬彈簧軟彈簧分段線性彈簧3、因慣性引起的非線性Nranraeamgsin22RaRaRaenrr 柯氏加速度垂直于該平面利用牛頓第二定律有：0sincossinsin)cossin(22RgmgRRm 4、非線性阻尼（1）干摩擦（2）流體阻尼 （3）滯后阻尼（材料阻尼） （4）負

2、阻尼 )()(xNsignx)()(xNsignxxxgx)()(Vx二、位形空間、相空間、相平面位形空間：用 為坐標軸的N維正交坐標系。軌跡相空間： 令 原二階微分方程組變?yōu)橐浑A微分方程組 以狀態(tài)變量作為坐標軸，建立正交坐標系，稱為相空間。在單自度自治系統(tǒng)中退化為相平面。 自治系統(tǒng)在相空間的曲線稱為相軌線。iqiq), 2 , 1(NiqxqxiNiiiiniixNitxxxfx)2, 2 , 1(),(21稱為狀態(tài)變量三、單自由度保守系統(tǒng)的定性分析 0)(0)(0 xfxxfx 或化為狀態(tài)方程：) 1 ()(xfyyx狀態(tài)空間為（x,y), 于是)3()(21)()2()(2HxUydxx

3、fydyyxfdxdy1、相軌線的某些普遍性質（1）在平面上，（3）式代表等能量線，也是方程（1）的積分曲線，只有當總能量大于勢能時，速度 才有實數(shù)解，而且y關于X軸對稱。（2） （2）式?jīng)Q定了相平面上的一個方向場: f(x)=0 處有水平切線，y=0時，有豎直切線；當f(x),y同時為零時，相軌線的斜率不定，稱這一點為奇點， 奇點的速度、加速度都為零，代表了平衡點，其它各點的斜率都是確定 的，稱為正常點，所以保定系統(tǒng)的相軌線在正常點是互不相交的。Hxyyxdxdyxyxx202202021210 xy奇點是穩(wěn)定的，自由振動是周期的，稱為中心2、相軌線的局部性質根據(jù)勢能函數(shù)U(x)的各處形態(tài)，

4、討論相軌線在奇點附近的局性質（1）U(x)為單調(diào)函數(shù)(2)勢能函數(shù)有孤立的極大值 （鞍點）（3）勢能有孤立的極小值 （中心）21)(222)(22xxxUHdxTydxdtdtdxyxUHy周期T是總能量的函數(shù)（4）勢能函數(shù)有拐點 （尖點）如果已知勢能函數(shù)，還可通過U(x)對x的二階導數(shù)來確定奇點的性質3、在整個相平面上相軌線的性質四、相軌線的兩種作圖方法（1）等傾線法xmkyormykxmdxdyykxdxdykxyyxkxx,0 (2)李納爾特作圖法首先在相平面上作曲線yxxdxdyxxyyxxxx)()(0)( )(yxPA的斜率與相軌線在P點的斜率相同五、耗散系統(tǒng)相平面上的相軌線（1）奇點的分布與對應保守系統(tǒng)的奇點分布完全相同，但奇點的類型可 能不同。（2）相軌線必穿過對應保守系統(tǒng)的相軌線，且從高能量向低能量線前進。（3）耗散系統(tǒng)沒有封閉的相軌跡，所以不存在周期運動