-數(shù)字信號(hào)除處理課程設(shè)計(jì)-DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用-（word）可編輯

1、課程設(shè)計(jì)課程名稱 數(shù)字信號(hào)處理 系 別： 計(jì)算機(jī)科學(xué)系 專業(yè)班級(jí)： 通信一班 題 目： DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用 目 錄1、設(shè)計(jì)題目······································

2、3;····32、設(shè)計(jì)目的···········································33、設(shè)計(jì)原理&#

3、183;··········································34、實(shí)現(xiàn)方法······&

4、#183;····································35、設(shè)計(jì)內(nèi)容及結(jié)果···········

5、83;·························66、改良建議·······················&#

6、183;··················127、思考題及解答·····························

7、3;········158、設(shè)計(jì)體會(huì)········································&#

8、183;·159、參考文獻(xiàn)··········································16.設(shè)計(jì)題目 DFT在信號(hào)頻譜分析中的應(yīng)用.設(shè)計(jì)目的 掌握

9、離散傅里葉變換的有關(guān)性質(zhì)，利用Matlab實(shí)現(xiàn)DFT變換。了解DFT應(yīng)用，用DFT對(duì)序列進(jìn)行頻譜分析，了解DFT算法存在的問題及改良方法。學(xué)習(xí)并掌握FFT的應(yīng)用。.設(shè)計(jì)原理所謂信號(hào)的頻譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，使其應(yīng)用受到限制，而DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，成為分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。 工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到的連續(xù)信號(hào)Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)也是連續(xù)函數(shù)。數(shù)字計(jì)算機(jī)難于處理，因而我們采用DFT來對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行逼近，進(jìn)而分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。.實(shí)現(xiàn)方法 離散傅里葉變換是有限長(zhǎng)序

10、列的傅里葉變換，它相當(dāng)于把信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行等頻率間隔采樣，并且有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)本質(zhì)是一樣的?？焖俑道锶~變換FFT并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而開展起來的：1把長(zhǎng)度為N的序列的DFT逐次分解成長(zhǎng)度較短的序列的DFT來計(jì)算。2利用WN(nk)的周期性和對(duì)稱性，在DFT運(yùn)算中適當(dāng)?shù)姆诸悾蕴岣哌\(yùn)算速度。對(duì)稱性，;周期性，r為任意整數(shù) 離散傅里葉變換的推導(dǎo)：離散傅里葉級(jí)數(shù)定義為 1-1將上式兩端乘以并對(duì)n在0N-1求和可得 因?yàn)?所以 這樣用k代替m得1-2令那么1-2成為DFS 1-31-1成為IDFS 1-4

11、式1-3、1-4式構(gòu)成周期序列傅里葉級(jí)數(shù)變換關(guān)系。其中都是周期為N的周期序列，DFS·表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS·表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。習(xí)慣上，對(duì)于長(zhǎng)為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間稱為主值區(qū)，把稱為的主值序列，同樣也稱為的主值序列。由于，對(duì)于周期序列僅有N個(gè)獨(dú)立樣值，對(duì)于任何一個(gè)周期進(jìn)行研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究與是等價(jià)的，因此在主值區(qū)計(jì)算DFS和DFT是相等的，所以DFT計(jì)算公式形式與DFS根本相同。其關(guān)系為 所以離散傅里葉正變換 0kN-1離散傅里葉變換DFT定義：設(shè)有限長(zhǎng)序列x (n) 長(zhǎng)為N0nN-1，其離散傅里葉變換是一個(gè)長(zhǎng)為N的頻率有

12、限長(zhǎng)序列0kN-1，其正變換為 0kN-1 離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把有限長(zhǎng)序列當(dāng)做周期序列的主值序列進(jìn)行DFS變換，x(n)、X(k)的長(zhǎng)度均為N，都是N個(gè)獨(dú)立值，因此二者具有的信息量是相等的。x(n)可以唯一確定X(k),X(k)可以唯一確定x(n)。雖然離散傅里葉變換是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列之間的變化，但它們是利用DFS關(guān)系推導(dǎo)出來的，因而隱含著周期性。構(gòu)造離散傅里葉變換的Matlab實(shí)現(xiàn)程序如下： functionXk=dft(xn,N) n=0:1:N-1; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.nk; Xk=xn*WNnk快速傅里葉變換F

13、FT并不是與DFT不同的另外一種變換，而是為了減少DFT計(jì)算次數(shù)的一種快速有效的算法 共軛對(duì)稱性：設(shè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度為N，以N為周期的周期延拓列為 周期序列的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量分別為 (1-5) (1-6)同樣可以證明，它們滿足 1-7 1-8 那么有限長(zhǎng)序列的圓周共軛對(duì)稱分量和圓周共軛反對(duì)稱分量分別定義為： 1-9 1-10由于滿足 故 1-11顯然，長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列可以分解為圓周共軛對(duì)稱分量和圓周共軛反對(duì)稱分量之和，和的長(zhǎng)度皆為N。利用有限長(zhǎng)序列與周期序列的共軛對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量的關(guān)系式1-9和式1-10，以及式1-11可以推導(dǎo)出DFT的一系列的對(duì)稱性質(zhì)（1） DFT 式中

14、表示的共軛復(fù)序列。證明：DFT 又因?yàn)?所以DFT（2） 復(fù)序列實(shí)部的DFT等于DFT的圓周共軛對(duì)稱局部，即 DFT證明：DFTDFT=DFT+DFT=利用DFT的對(duì)稱性可求得的DFT:設(shè) 那么DFT因?yàn)?所以DFTDFT=.設(shè)計(jì)內(nèi)容及結(jié)果1. 用MATLAB語言編寫計(jì)算序列x(n)的N點(diǎn)DFT的m函數(shù)文件。并與MATLAB中的內(nèi)部函數(shù)文件作比擬。 functionXk=dft(xn,N) n=0:1:N-1; k=n; WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k; WNnk=WN.nk; Xk=xn*WNnkfunction varargout = fft(varargin

15、)if nargout = 0 builtin('fft', varargin:);else varargout1:nargout = builtin('fft', varargin:);end運(yùn)算量估計(jì)：對(duì)于N=點(diǎn)序列進(jìn)行時(shí)間抽選奇偶分解FFT計(jì)算，需分M級(jí)，每級(jí)計(jì)算N/2個(gè)蝶。每一級(jí)需N/2次復(fù)乘、N次復(fù)加，因此總共需要進(jìn)行：復(fù)乘： 復(fù)加：直接計(jì)算N點(diǎn)的DFT，需要次復(fù)乘、N(N-1)次復(fù)加。N值越大，時(shí)間抽選奇偶分解FFT算法越優(yōu)越。例如當(dāng)N=2048點(diǎn)時(shí)，時(shí)間抽選奇偶分解FFT算法比直接計(jì)算DFT速度快300多倍可以用一下Matlab程序比擬DFT和FF

16、T的運(yùn)算時(shí)間N=2048;M=11;x=1:M,zeros(1,N-M);t=cputime;y1=fft(x,N);Time_fft=cputime-tt1=cputime;y2=dft(x,N);Time_dft=cputime-t1t2=cputime;運(yùn)行結(jié)果：Time_fft =Time_dft =由此可見FFT算法比直接計(jì)算DFT速度快得多2. 對(duì)離散確定信號(hào) 作如下譜分析：截取使成為有限長(zhǎng)序列N()，(長(zhǎng)度N自己選)寫程序計(jì)算出的N點(diǎn)DFT ,畫出時(shí)域序列圖xnn和相應(yīng)的幅頻圖。解：1求x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的X(ejw)、X(k)。MATLAB程序如下：N=10;n=0:1

17、:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis(0,10,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis(0,1,0,10);su

18、bplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率單位：pi');axis(0,1,0,10);x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-1所示。 圖1-1 x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)這兩個(gè)頻率分量。2將x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)，求N=100點(diǎn)的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=10;n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.

19、52*pi*n);N1=100;n1=0:N1-1;x1=xn(1:10) zeros(1,90);subplot(3,1,1)stem(n1,x1,'.k');title('時(shí)域序列圖x1');xlabel('n');axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1);title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis(0,1,0,10);su

20、bplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率單位：pi');axis(0,1,0,10);x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。圖1-2 x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)這兩個(gè)頻率分量。這說明，補(bǔ)零僅僅是提高了計(jì)算分辨率，得到的是高密度頻譜，而得不到高分辨率譜。3求x(n)的前100點(diǎn)數(shù)據(jù)，求N=100點(diǎn)的X

21、(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=100;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title('幅頻特性曲線X(ejw)');x

22、label('w');axis(0,1,0,50);subplot(3,1,3);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率單位：pi');axis(0,1,0,50);100點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-3所示圖1-3 100點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)這兩個(gè)頻率分量。這說明通過增加數(shù)據(jù)的記錄長(zhǎng)度Tp來提高物理分辨率可以得到分辨率譜。.改良及建議由圖1-1、圖

23、1-2、圖1-3可以看出。當(dāng)取0<=n<=9時(shí)，從相應(yīng)的圖中幾乎無法看出有關(guān)信號(hào)頻譜的信號(hào)；將x(n)補(bǔ)90個(gè)零點(diǎn)后作N=100點(diǎn)的DFT，從相應(yīng)的Xk圖中可以看出，這時(shí)的譜線相當(dāng)密，故稱為高密度譜線圖，但是從中很難看出信號(hào)的頻譜局部；對(duì)x(n)加長(zhǎng)取樣數(shù)據(jù)，得到長(zhǎng)度為N=100的序列，此時(shí)相應(yīng)的X(k)圖中可以清晰地看到信號(hào)的頻譜成分，這稱為高分辨頻譜。為了得到更高的分辨率，增加N點(diǎn)的取值進(jìn)行改良取x(n)的前128點(diǎn)數(shù)據(jù)，求N=128點(diǎn)的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=128;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*

24、n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis(0,1,0,70);subplot(3,1,3);k1=0:1:63;w1=2*pi/128

25、*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:64),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率單位：pi');axis(0,1,0,70);128點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-4所示 圖1-4 128點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k) 128點(diǎn)x(n)的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-4所示。這兩個(gè)頻率分量，但還呈現(xiàn)頻譜泄露。分辨率提高了，但仍出現(xiàn)了頻譜泄露現(xiàn)象，故要求N取值為周期序列的整數(shù)倍。取x(n)的前150點(diǎn)數(shù)據(jù)，求N=150點(diǎn)的X(ejw)、X(k

26、)。N=150;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis(0,100,-2.5,2.5);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw);title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axi

27、s(0,1,0,80);subplot(3,1,3);k1=0:1:74;w1=2*pi/150*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:75),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率單位：pi');axis(0,1,0,80);15點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-5所示 圖1-5 150點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k) 150點(diǎn)x(n)的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-4所示。這兩個(gè)頻率分量，到達(dá)了很好的效果。.思考題及解答(1)比照設(shè)計(jì)內(nèi)容2中(1

28、)(2) (3)的圖，說明補(bǔ)零DFT的作用。 由圖1-1、1-2、1-3可知DFT是有限長(zhǎng)序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當(dāng)于透過一個(gè)柵欄去觀察原來信號(hào)的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的局部就是未被采樣到的局部，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。如下列圖由于柵欄效應(yīng)總是存在的，因而可能會(huì)使信號(hào)頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋二無法得到反映。此時(shí)，通常在有限長(zhǎng)序列的尾部增補(bǔ)假設(shè)干個(gè)零值，介意改變?cè)蛄械拈L(zhǎng)度。這樣加長(zhǎng)的序列作DFT時(shí)，由于點(diǎn)數(shù)增加就相當(dāng)于調(diào)整了原來柵欄的間隙即間隔頻率，可以使得原來的不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。但要注意，由于柵欄效應(yīng)，使得被分析的頻譜變得較為稀疏，為此，在采樣樣本序列x(n)后補(bǔ)零，在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不變的情況下，可以改變頻譜的頻率取樣密度，得到高密度頻譜。(2)解釋設(shè)計(jì)內(nèi)容3中圖和圖有什么區(qū)別？補(bǔ)零DFT能否提高信號(hào)的頻譜分辨率，說明提高頻譜密度、頻譜分辨率的措施各是什么？ 圖1-2在圖1