復(fù)變函數(shù)課程自學(xué)指導(dǎo)書 - 華北電力大學(xué)

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換課程自學(xué)輔導(dǎo)資料二八年四月復(fù)變函數(shù)與積分變換課程自學(xué)進(jìn)度表教材：復(fù)變函數(shù)與積分變換 教材編者：徐大申等 出版社：中國電力出版社出版時間： 2005年8月周次學(xué)習(xí)內(nèi)容習(xí)題作業(yè)測驗(yàn)作業(yè)學(xué)時自學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、基本要求一第一章§12習(xí)題1.1:：2,4,5習(xí)題1.2：1自測練習(xí)一：1，2，6，78復(fù)變函數(shù)的重點(diǎn)是：解析函數(shù)的概念、CR條件、單復(fù)閉路的柯西定理、柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式、泰勒級數(shù)、洛朗級數(shù)、孤立基點(diǎn)及其留數(shù)計算、保角映射的概念、分式線性映射及所構(gòu)成的映射。難點(diǎn)是：復(fù)閉路柯西定理、高階導(dǎo)數(shù)公式、洛朗級數(shù)、保角映射。復(fù)變函數(shù)是以復(fù)數(shù)代替實(shí)數(shù)與實(shí)微積分平行建立微積分

2、。其定義、公式、結(jié)論與實(shí)微積分一致，但往往存在條件不一樣。學(xué)習(xí)時要注意與實(shí)微積分聯(lián)系、對比。積分變換的重點(diǎn)是：付氏積分、付氏變換及其性質(zhì)、卷積定理、積分變換的應(yīng)用。難點(diǎn)是：廣義付氏變換的概念、拉氏變換、付氏變換性質(zhì)的應(yīng)用。積分變換是一種數(shù)學(xué)工具、理論推導(dǎo)可要求低一些，著重像與原像的對應(yīng)關(guān)系、性質(zhì)及運(yùn)用。二第一章§35習(xí)題1.3：1，2習(xí)題1.4：1，2習(xí)題1.5：1，4自測練習(xí)一：8總習(xí)題一：1（3），6，98三第二章§12習(xí)題2.1：2，3習(xí)題2.2：1，2（1）（2）（3）總習(xí)題二：1自測練習(xí)二：1，2，38四第二章§3習(xí)題2.3：1，2，4，5總習(xí)題二：3，

3、4自測練習(xí)二：48五第三章§12習(xí)題3.1：1，2，3習(xí)題3.2：1，3總習(xí)題三：1自測練習(xí)三：1，28六第三章§34習(xí)題3.3：1，2習(xí)題3.4：1，2，3總習(xí)題三：3，5自測練習(xí)三：3，4，5，68七第四章§12習(xí)題4.1：4，5習(xí)題4.2：3，4總習(xí)題四：1，3自測練習(xí)四：18八第四章§3習(xí)題4.3：總習(xí)題四：4，5自測練習(xí)四：4，58九第五章§12習(xí)題5.1：1習(xí)題5.2：1，2（1）（2），3（1）（2）總習(xí)題五：1，3（1）（3）（5），4自測練習(xí)四：1，2，3（1）（2）8十第五章§3習(xí)題5.3：1（1）（4），2（1）

4、（3）總習(xí)題五：5（1）（2），6（1）（4）自測練習(xí)五：3（3）（4）（5）8十一第六章§13習(xí)題6.1：1，3習(xí)題6.2：1，2習(xí)題6.3：1，4（1）（2），5總習(xí)題六：4，5自測練習(xí)六：1，210十二第六章§4習(xí)題6.4：1（3）總習(xí)題六：7（1）（2）10十三第七章§7.1 習(xí)題7.1： 1，2（1）（2），3（1）總習(xí)題七：17十四第七章§7.2習(xí)題7.3： 1，2，3，4，5自測練習(xí)七：2總習(xí)題七：27十五第七章§7.3習(xí)題7.3： 1，2，3，4，5自測練習(xí)七：17十六第七章§7.4習(xí)題7.4：2總習(xí)題七：3自測練習(xí)七

5、：37十七第八章§8.1習(xí)題8.1： 1，3總習(xí)題八：1自測練習(xí)八：17十八第八章§8.2習(xí)題8.2： 1，2，3，4，5總習(xí)題八：2，3自測練習(xí)八：2，37十九第八章§8.38.4習(xí)題8.3： 1（1）（3）（5）（7）（9）習(xí)題8.4：1（1）（3），2（1）總習(xí)題八：4，5自測練習(xí)八：47二十第八章§8.5習(xí)題8.5： 1（1）（3），2總習(xí)題八：6自測練習(xí)八：5，68注：期中（第10周左右）將前半部分測驗(yàn)作業(yè)寄給班主任，期末面授時將后半部分測驗(yàn)作業(yè)直接交給任課教師?？偝煽冎校鳂I(yè)占15分。參考教材：1 復(fù)變函數(shù)（第四版），西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研

6、室編，北京，高等教育出版社，19962 復(fù)變函數(shù)與積分變換（第二版），華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系編，北京，高等教育出版社，2003復(fù)變函數(shù)與積分變換課程自學(xué)指導(dǎo)書第一章 復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系（一） 本章的核心復(fù)數(shù)及運(yùn)算，區(qū)域，復(fù)變函數(shù)及映射理解復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)、極限及連續(xù)的概念；掌握復(fù)數(shù)運(yùn)算及幾何表示法；了解區(qū)域及有關(guān)定義。（二） 本章重點(diǎn)復(fù)數(shù)及運(yùn)算，區(qū)域，復(fù)變函數(shù)及映射（三） 本章前后聯(lián)系本章介紹了復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及其表示和復(fù)變函數(shù)的概念及其極限、連續(xù)兩部分內(nèi)容。是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念復(fù)數(shù)及運(yùn)算，區(qū)域，復(fù)變函數(shù)及映射

7、 （二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1. 復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算及其表示方法是學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)，通過學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)，做到熟練掌握，靈活應(yīng)用。學(xué)習(xí)時要注意下邊幾點(diǎn)：（1） 正確理解輔角的多值性，見（1-5）式；（2） 熟悉兩個復(fù)數(shù)乘積和商的輔角公式，見（2-3）和（2-4）式；（3） 由于復(fù)數(shù)可以用平面上的點(diǎn)與向量表示，因此能用復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）表示一些平面圖形，解決有關(guān)的幾何問題，見例1.3及相關(guān)習(xí)題；（4） 了解無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和擴(kuò)充復(fù)平面的概念，它們是為了用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)而引入。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮大這個復(fù)數(shù)相對應(yīng)。這里的無窮大是指模為正無窮大（輔角無意義）的唯一的一個復(fù)數(shù)；2. 復(fù)變函數(shù)及其極限、連續(xù)

8、等概念是高等數(shù)學(xué)中相應(yīng)概念的推廣，它們有相似之處，又有不同之點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中要善于比較，深刻理解。（1） 平面曲線（特別是簡單閉曲線、光滑或按段光滑曲線）和平面區(qū)域（包括 單連通域與多連通域）是復(fù)變函數(shù)理論的幾何基礎(chǔ)，要求熟悉這些概念，會用復(fù)數(shù)表達(dá)式表示一些常見平面曲線與區(qū)域，或者根據(jù)給定的表達(dá)式畫出它所表示的平面曲線或區(qū)域；（2） 認(rèn)真體會復(fù)變函數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)的定義的異同；復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限定義形式上相似，但實(shí)質(zhì)卻有很大差異，注意進(jìn)行比較；復(fù)變函數(shù)有極限的等價條件是其實(shí)部和虛部同時極限存在；復(fù)變函數(shù)連續(xù)等價于其實(shí)部和虛部同時連續(xù)。從而將研究復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)等問題轉(zhuǎn)化

9、為研究兩個二元實(shí)變函數(shù)的相應(yīng)問題。三、典型例題分析例1求復(fù)數(shù)的三角表示式與指數(shù)表示式。解：由于因此下邊的例子表明，可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）確定它所表示的平面圖形。例2試證：平面上以原點(diǎn)為心，R為半徑的圓周的方程為。證：解析幾何中此圓的方程為：令，將代入，由公式（1-1-2）化簡得例3 化簡解 由公式（1-2-4），可用三角形式或指數(shù)形式化簡。我們采用指數(shù)形式。 由于 所以例4 計算解 由于從而例5 計算解 因?yàn)?，故即；同理可得；四、思考題、習(xí)題及習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題1。 求下列復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、共軛復(fù)數(shù)、模與輔角。（1） （2） （3） （4）2 一個復(fù)數(shù)乘以，它的模和輔

10、角一樣何變化？3如果多項(xiàng)式的系數(shù)是實(shí)數(shù)，證明：4。 試求下列各式的與（都是實(shí)數(shù)）。（1）（2）（3）。（二） 習(xí)題解答（只解答難題）1（1） （2）（3）（4）2模不變，輔角減少。4（1）(2)（3）其中：若，取同號；若，取異號。第二章 解析函數(shù)一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系 （一） 本章的核心 理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及解析的概念；掌握并會用函數(shù)解析的充要條件；熟悉初等函數(shù)的定義、主要性質(zhì)及求導(dǎo)公式。（二） 本章重點(diǎn)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)、解析的概念，函數(shù)解析的充要條件，解析函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的定義及性質(zhì) （三） 本章前后聯(lián)系解析函數(shù)是本課程討論的中心，是復(fù)變函數(shù)研究的主要對象，它在理論和實(shí)際問題中有著

11、廣泛的應(yīng)用本章先引入復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念，然后討論解析函數(shù)，介紹解析函數(shù)的一個充分必要條件，它是用函數(shù)的實(shí)部和虛部所具有的微分性質(zhì)來表達(dá)的，接著介紹幾個初等函數(shù)，這些初等函數(shù)是最常用的函數(shù)，因而特別重要二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)、解析的概念，函數(shù)解析的充要條件，解析函數(shù)的性質(zhì)，初等函數(shù)的定義及性質(zhì) （二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的主要研究對象。本章的重點(diǎn)是正確理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)等基本概念，掌握判斷復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與解析的方法，熟悉復(fù)變量初等函數(shù)的定義和主要性質(zhì)特別要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)變初等函數(shù)的哪些性質(zhì)不再成立，以及顯現(xiàn)

12、出哪些在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)所沒有的性質(zhì).本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)如下：解析函數(shù)具有很好的性質(zhì)。條件是判斷函數(shù)可微和解析的主要條件，函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，等價于函數(shù)函數(shù)在內(nèi)解析；但在一點(diǎn)可微，卻不等于在解析2要清楚地認(rèn)識復(fù)變量初等函數(shù)其實(shí)是相應(yīng)的實(shí)變量初等函數(shù)在復(fù)平面上的推廣，其關(guān)鍵所在是推廣后的函數(shù)所必須具備的解析性。如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)在復(fù)平面上解析；根式函數(shù)及對數(shù)函數(shù)在單值分支內(nèi)連續(xù)且解析等。要注意每一個復(fù)變初等函數(shù)的基本特征，如周期性及一些運(yùn)算法則對函數(shù)及的多值性，單值分支的取法，特別是主值如何作為普通單值函數(shù)來運(yùn)用等問題，要有清楚的認(rèn)識三、典型例題分析例1討論下列函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性(1) (2

13、) (3) 解 (1) 因?yàn)?且,可見C-R方程不滿足,所以在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo),從而也處處不解析. (2) ,所以且 ,可見C-R方程只在點(diǎn)(0,0)成立.由定理2.1知該函數(shù)在處可導(dǎo),且有,對于其他的點(diǎn),這個函數(shù)不可導(dǎo),所以這個函數(shù)在處不解析.從而在復(fù)平面上處處不解析.(3)因?yàn)?且,從而C-R方程滿足,并且由于上面四個一階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),所以在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),故也處處解析.從而有例2求解 因?yàn)?，所以例3 計算的值.解 根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義算出 = = =四、思考題、習(xí)題及習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題1 下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何處不可導(dǎo)？何處解析？何處不解析？1） 2） 3) 2.出下列方程的全

14、部解1） 2） 3）3.求下列各式的值 1） 2） 3） 4）（二） 習(xí)題解答（只解答難題）（）可導(dǎo)；不可導(dǎo)，復(fù)平面上處處不解析； （）上可導(dǎo)，其余點(diǎn)均不可導(dǎo)，復(fù)平面上處處不解析； （）復(fù)平面上處處解析（）； （） （）3（）（） （）（）第三章 復(fù)變函數(shù)積分一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系 （一） 本章的核心 理解復(fù)變函數(shù)的積分的概念；掌握柯西基本定理、復(fù)合閉路定理、閉路變形原理、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系；熟悉柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式（二） 本章重點(diǎn)積分的定義及性質(zhì)，柯西基本定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式，調(diào)和函數(shù)。 （三） 本章前后聯(lián)系本章首先介紹復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)以及計算公式，

15、然后重點(diǎn)討論解析函數(shù)的柯西古薩基本定理、柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式。這些定理和公式深刻地描述了解析函數(shù)所具有的獨(dú)特而優(yōu)美的性質(zhì)，譬如解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)的重要結(jié)論，也為解析函數(shù)的積分提供了新的簡便方法。最后，應(yīng)用解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)討論解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念積分的定義及性質(zhì)，柯西基本定理，柯西積分公式，高階導(dǎo)數(shù)公式，調(diào)和函數(shù) （二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一復(fù)變函數(shù)的積分是定積分在復(fù)數(shù)域中的自然推廣，兩者的定義在形式上是相似的，只是把定積分的被積函數(shù)從換成，積分區(qū)間換成平面上一條起點(diǎn)為，終點(diǎn)為的光滑曲線，即所以

16、，復(fù)變函數(shù)的積分實(shí)際上是復(fù)平面上的線積分當(dāng)是分段光華曲線且在上連續(xù)時，上述積分一定存在若設(shè)，則這樣，復(fù)變函數(shù)積分的計算就化為二元實(shí)函數(shù)曲線積分的計算但通常我們并不直接利用上述計算公式，而是利用所謂參數(shù)方程來計算積分值，即其中的參數(shù)方程為復(fù)積分有許多與微積分學(xué)中曲線積分相似的性質(zhì)：（.1.7），（3.1.8），（3.1.9）諸式，其中積分模的估值性質(zhì)證明中常用，應(yīng)當(dāng)記住二柯西古薩基本定理柯西古薩基本定理：若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則沿內(nèi)任一封閉曲線的積分為零，即 理的兩種等價形式（）54若是一條簡單閉曲線，為的邊界，在閉區(qū)域上解析，則；（）在單連通域內(nèi)解析在內(nèi)的積分與路徑無關(guān) 基本定理的推廣（）

17、設(shè)為一簡單閉曲線，其內(nèi)部為，在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則，（）復(fù)合閉路定理：設(shè)函數(shù)在多連通區(qū)域內(nèi)解析，是內(nèi)一條簡單閉曲線，是在的內(nèi)部互不包含也互不相交的簡單閉曲線，又因條曲線所圍成的區(qū)域全含于，則；，其中稱為復(fù)合閉路.由復(fù)合閉路定理結(jié)論，不難得到下述閉路變形原理：在區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線的內(nèi)做連續(xù)變形而改變積分的值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過不解析的點(diǎn)三柯西積分公式 與高階導(dǎo)數(shù)公式是兩個十分重要的公式前者表明解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分來表示；后者則說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)兩者均表明了解析函數(shù)的特性及與實(shí)變元函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別在計算行如沿包含點(diǎn)的某一閉曲線

18、上的積分時，上述公式也是主要工具之一四復(fù)變函數(shù)的不定積分復(fù)變函數(shù)的不定積分定義與一元函數(shù)不定積分定義形式一樣，但實(shí)質(zhì)不同若函數(shù)在單連通域內(nèi)解析，是在內(nèi)的一個原函數(shù)，則，其中為內(nèi)兩點(diǎn)這與定積分的牛頓萊布尼茲公式類似，用它可以計算解析函數(shù)沿非閉路的積分問題五解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且滿足拉普拉斯方程的二元實(shí)函數(shù)稱為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)將滿足柯西黎曼方程：的兩個調(diào)和函數(shù)中的稱為的共軛調(diào)和函數(shù)任何在區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)，其實(shí)部與虛部都是內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且虛部是實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù)或，求解析函數(shù)時，可使用不定積分法，曲線積分法，利用柯西黎曼條件法等多種方法三、典型例題分析例1 計算與，其

19、中（圖3.3）為1） 從原點(diǎn)到的直線段；2） 從原點(diǎn)沿拋物線到的弧段；3） 從原點(diǎn)到的直線段與從到的直線段所接成的折線解：1）的方程為2）：3）例2計算積分，其中為：。解：被積函數(shù)在內(nèi)部有兩個奇點(diǎn)0和1，今作兩圓周（或其他圍線）與，分別只包含0與1，使，與一起滿足定理2的條件，于是由（3.2.3）式得而 (3.2.5) (3.2.6)所以 觀察（3.2.5）與（3.2.6）兩式，你能發(fā)現(xiàn)什么共同的規(guī)律嗎？例4 計算積分值，其中圓周取正向解：函數(shù)的奇點(diǎn)在圓周的內(nèi)部，其它兩個奇點(diǎn)都在左半平面內(nèi)，從而在該圓周的外部，函數(shù)在閉圓域上解析，由定理得例3知在右半平面是調(diào)和函數(shù)，求在該半平面的解析函數(shù)，使解

20、：求偏導(dǎo)數(shù)得，方法在該半平面取，由（）式得方法由柯西黎曼方程,積分兩邊對求導(dǎo)，并與上面所得比較，有于是得，即，同樣得故得由條件，得，故解析函數(shù)表示成的函數(shù)可有多種方法譬如注意到如果，令則，即與的對應(yīng)規(guī)律相同，此法甚簡便如本例，令，可推得四、思考題、習(xí)題及習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題 計算從到積分的值，其中為：（） 線段（） 左半平面中以原點(diǎn)為中心單位半圓 求下列各函數(shù)沿以原點(diǎn)為中心的正向單位圓周的積分值：（）；（）；（）；（） 沿指定路徑，計算以下積分：（）；（） 計算閉路積分，其中， 計算下列積分（）；（）；（）； （） 設(shè)，求的值使為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)（二） 習(xí)題54解答（只解答難題

21、）1(1) ; (2) 22（1）0 ； （2） 0 ； （3） ； （4）3（1） ； （2）45（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；6 ； 第四章 級    數(shù)一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系 （一） 本章的核心 理解冪級數(shù)、洛朗級數(shù)的概念；掌握冪級數(shù)、洛朗級數(shù)的主要性質(zhì)、級數(shù)收斂的判別方法及必要條件；會將一個復(fù)變函數(shù)展開成冪級數(shù)或洛朗級數(shù)。（二） 本章重點(diǎn)級數(shù)的概念，冪級數(shù)，收斂圓與收斂半徑，洛朗級數(shù)，函數(shù)的級數(shù)展開 （三） 本章前后聯(lián)系本章首先介紹復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的概念及其判斷法，以及冪級數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)然后討論解析函數(shù)的泰勒級數(shù)和洛朗級

22、數(shù)展開定理及其展開式的求法，它們是研究解析函數(shù)性質(zhì)和計算積分的重要工具二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念級數(shù)的概念，冪級數(shù)，收斂圓與收斂半徑，洛朗級數(shù)，函數(shù)的級數(shù)展開 （二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一 洛朗級數(shù)：如果函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，那么在此圓環(huán)域內(nèi)函數(shù)可以唯一的展開成的雙邊冪級數(shù)：，其中，稱為函數(shù)在的洛朗系數(shù)，雙邊級數(shù)稱為函數(shù)的洛朗級數(shù)。 需要注意的是：求函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)時，我們往往不用公式直接來求（因?yàn)閺?fù)積分計算比較繁瑣），而是利用間接展開法，即從幾個已知的初等函數(shù)的級數(shù)展開式出發(fā)，利用變量替換、冪級數(shù)的四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)與求積分運(yùn)算得來的。另外，當(dāng)

23、函數(shù)在內(nèi)解析時，圓環(huán)域退化為圓，有高階導(dǎo)數(shù)公式，洛朗系數(shù)就是泰勒系數(shù)，此時的洛朗級數(shù)就是泰勒級數(shù)?？梢娞├占墧?shù)是洛朗級數(shù)的特殊情況，而洛朗級數(shù)是泰勒級數(shù)的推廣。三、典型例題分析例 以=1為中心，將函數(shù)展開成洛朗級數(shù) 解：除=1外，=2也是f(z)的奇點(diǎn)，故f(z)在圓環(huán)域及內(nèi)均解析。由于展開中心=1，故所求級數(shù)的項(xiàng)應(yīng)是（z-1）的正冪和負(fù)冪。先把f(z)用部分分式表示等式右端第一項(xiàng)正是所求級數(shù)的一項(xiàng)，因而只需要把在各圓環(huán)域內(nèi)展開成z-1的雙邊冪級數(shù)即可。（1） 在內(nèi)； 于是 （2） 在內(nèi)， 故 由此例可見，同一函數(shù)的羅朗級數(shù)，即使中心相同，在不同的圓環(huán)域內(nèi)，展開式也是不同的。四、思考題、習(xí)題及

24、習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題1.函數(shù)能否在圓環(huán)域（）內(nèi)展開成洛朗級數(shù)？為什么？ 2.試說明函數(shù)在以點(diǎn)=i為中心的哪些圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù)，這些展開式有什么共同的形式? 3.將函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)： （1）； （2）. 4.把下列各函數(shù)在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)： （1） （2） （3），在以i為中心的圓環(huán)域內(nèi)。（二） 習(xí)題解答（只解答難題）1.不能。因?yàn)橐缘狞c(diǎn)(k=)為奇點(diǎn)，且當(dāng)時，所以在任何圓環(huán)域（）內(nèi)都有的奇點(diǎn)。在內(nèi)不解析，從而不能在這樣的去心領(lǐng)域內(nèi)把展開成洛朗級數(shù)。 2.圓環(huán)域有，；這些展開式中各項(xiàng)都是的整數(shù)次冪。 3. (1) ; (2) 4. (1) (2) ;

25、 （3）， ；第五章 留    數(shù)一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系（一） 本章的核心 理解復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的概念；掌握留數(shù)定理，并會應(yīng)用它們計算復(fù)變函數(shù)的積分；會計算孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，會用留數(shù)求一些定積分。（二） 本章重點(diǎn)孤立奇點(diǎn)及分類，留數(shù)定義及計算規(guī)則，留數(shù)定理，留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用。 （三） 本章前后聯(lián)系在這一章中，我們將以上一章介紹的洛朗級數(shù)為工具討論解析函數(shù)的在有限遠(yuǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處孤立奇點(diǎn)的分類及性質(zhì)。本章的中心問題是留數(shù)定理，它是留數(shù)理論的基礎(chǔ)。前面討論的柯西古薩基本定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的特殊情形。應(yīng)用留數(shù)定理可以把沿閉曲線的積分

26、轉(zhuǎn)化為計算在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。應(yīng)用留數(shù)定理還可以計算一些定積分和廣義積分，其中有些積分在定積分中計算非常復(fù)雜甚至計算不出來。利用留數(shù)理論可以在分類后作統(tǒng)一處理。所以留數(shù)定理不僅在理論上而且在應(yīng)用上都有十分重要的意義。二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念孤立奇點(diǎn)及分類，留數(shù)定義及計算規(guī)則，留數(shù)定理，留數(shù)在定積分計算中的應(yīng)用。 （二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、 基本概念1） 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的分類：a)有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)： 可去奇點(diǎn)存在。 孤立奇點(diǎn) 極點(diǎn) ； 本性奇點(diǎn)不存在也不等于無窮大。b)無窮遠(yuǎn)的孤立奇點(diǎn)如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析，那末稱為函數(shù) 的孤立奇點(diǎn)。

27、 作變換，這個變換把擴(kuò)充平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)映射成擴(kuò)充平面上的點(diǎn)，規(guī)定：如果是的可去奇點(diǎn)、級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那末就稱點(diǎn)是函數(shù) 的可去奇點(diǎn)、級極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。2）解析函數(shù)零點(diǎn)與奇點(diǎn)的關(guān)系a)不恒等于零的解析函數(shù) 如果能表示成的形式，則稱為的級零點(diǎn)。（在處解析）為的級零點(diǎn)的充要條件是：。b)若為的級零點(diǎn)，則為的級極點(diǎn)。此結(jié)論為我們判斷極點(diǎn)的級數(shù)提供比較方便的判別辦法。要求的極點(diǎn)，只需求出的零點(diǎn)。3） 留數(shù)a) 留數(shù)定義（有限遠(yuǎn)點(diǎn)） 稱為函數(shù)在處的留數(shù)。記為，即b)留數(shù)定義（無窮遠(yuǎn)點(diǎn)）設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析，為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任一條正向簡單閉曲線，那末積分稱為函數(shù)在點(diǎn)的留數(shù)，記作 二、 主要定理及規(guī)則1）

28、 計算留數(shù)的規(guī)則：規(guī)則I 如果是的一級極點(diǎn)，那末 規(guī)則 如果是的級極點(diǎn)，那末 規(guī)則 設(shè)函數(shù)在都解析。如果且，那末是的一級極點(diǎn)，并且有 規(guī)則 。 2）主要定理定理一（留數(shù)定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)除有限個孤立奇點(diǎn)外，處處解析。是內(nèi)包含諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，那末 定理二 如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點(diǎn)，那末在所有各奇點(diǎn)（包括點(diǎn)）處的留數(shù)的總和必等于零。即三、留數(shù)的應(yīng)用（1） 復(fù)變函數(shù)沿閉路的積分：主要利用留數(shù)定理。（2） 三種不同類型的定積分：a)；b) ；c) ，其中是被積函數(shù)在上半平面上的奇點(diǎn)。在計算后兩種定積分時，注意對被積函數(shù)的要求。三、典型例題分析例1 是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，所以

29、。而是函數(shù)的本性奇點(diǎn)，其洛朗展開式為所以例2 計算解 因?yàn)?，所以是函?shù)的一級極點(diǎn)。根據(jù)規(guī)則I，有 解畢例3 計算積分 ，其中為正向圓周：。解 函數(shù)在圓周內(nèi)有兩個奇點(diǎn)，。因?yàn)樵谔幉坏扔诹?，但，所以是函?shù)的一級極點(diǎn)。由規(guī)則I，得根據(jù)留數(shù)定理得函數(shù)在處的留數(shù)也可以借助于規(guī)則求。四、思考題、習(xí)題及習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題1. 判斷對錯：1） 是函數(shù)的一級極點(diǎn)。 （ ）2） 是函數(shù)的三級極點(diǎn)。 （ ）3） 是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。 （ ）4） 是函數(shù)的一級極點(diǎn)。 （ ）5） 是函數(shù)的三級極點(diǎn)。 （ ）2. 求出下列函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定它們的類型：1） ； 2）； 3）；4）； 3. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留

30、數(shù)：1） ； 2）；4.計算下列積分，積分曲線均取正向：1） ；2） ；3） ；（二） 習(xí)題解答（只解答難題）1. 1) 對; 2)對;3)對；4）錯；5）錯。2. 1）是三級極點(diǎn)。 2） 是二級極點(diǎn)。3） 是本性奇點(diǎn)。4） 是一級極點(diǎn)。3. ；1） ；2） ；4. 1); 2); 3)0第六章 共形映射一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系 （一） 本章的核心 理解解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義、共形映射的概念；掌握并會應(yīng)用分式線性映射、冪函數(shù)構(gòu)成的映射及指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的映射；會求滿足某些條件的分式線性映射，會求兩域間的共形映射。（二） 本章重點(diǎn)共形映射基本概念，解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分式線性映射，初等

31、函數(shù)構(gòu)成的映射（三） 本章前后聯(lián)系從第二章起，我們通過導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)等概念以及它們的性質(zhì)與運(yùn)算著重討論了解析函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用。在這一章中，我們從幾何角度對解析函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用進(jìn)行討論。在第一節(jié)我們主要分析解析函數(shù)所構(gòu)成的映射的特性，引出共形映射這一重要概念。共形映射的作用是將復(fù)雜區(qū)域上的問題轉(zhuǎn)化為簡單區(qū)域上去討論；在第二、三節(jié)討論分式線性映射的性質(zhì)、決定條件及常見區(qū)域之間轉(zhuǎn)換的映射。最后討論幾個初等函數(shù)構(gòu)成的共形映射的性質(zhì)及應(yīng)用。二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念共形映射基本概念，解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分式線性映射，初等函數(shù)構(gòu)成的映射（二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法

32、指導(dǎo)一、基本概念1) 解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的輻角與模幾何意義及性質(zhì)：a)導(dǎo)數(shù)的輻角是曲線經(jīng)過映射后在處的轉(zhuǎn)動角；b)轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線的形狀與方向無關(guān)。這種性質(zhì)稱為保角性。c)是經(jīng)過映射后通過點(diǎn)的任何曲線在的伸縮率，它與曲線的形狀及方向無關(guān)。這種性質(zhì)成為伸縮率不變性。2） 共形映射的概念a)定義 設(shè)函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)有定義，且在具有保角性和伸縮率的不變性，那么稱映射在是共形的，或稱在處是共形映射。如果映射在區(qū)域內(nèi)沒一點(diǎn)都是共形的，那么稱在區(qū)域內(nèi)是共形映射。b)解析函數(shù)在其導(dǎo)數(shù)不等于零的地方是共形映射。3）分式線性映射a)分式線性映射的形式：。它可分解為b)性質(zhì)：保角性： 分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面

33、是一一對應(yīng)的，且具有保角性。保圓性： 分式線性映射將擴(kuò)充平面上的圓周映射成擴(kuò)充平面上的圓周，即具有保圓性。在分式線性映射下，如果給定的圓周或直線上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，那末它就映射成半徑為有限的圓周；如果有一個點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，那末它就映射成直線。保對稱性：設(shè)點(diǎn)是關(guān)于圓周的一對對稱點(diǎn)，那末在分式線性映射下，它們的像點(diǎn)是關(guān)于圓周的像曲線的一對對稱點(diǎn)c)唯一決定分式線性映射的條件：三組互異的對應(yīng)點(diǎn)。二、幾個常見區(qū)域之間轉(zhuǎn)換的分式線性映射1） 上半平面映射成上半平面：，其中都為實(shí)常數(shù)，且。2） 上半平面映射成單位圓內(nèi)部：為任意實(shí)數(shù)。3） 單位圓映射成單位圓：，為任意實(shí)數(shù)。三、幾個初等函數(shù)構(gòu)成的映射1

34、）冪函數(shù)：其中為自然數(shù)。在平面內(nèi)除去原點(diǎn)外，由冪函數(shù)所構(gòu)成的映射是處處共形的。在冪函數(shù)映射下:a)平面上的圓周映射成平面上的圓周；特別是單位圓周映射成單位圓周；b)射線映射成射線；但正實(shí)軸映射成正實(shí)軸；c)角形域映射成角形域.2）指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)由所構(gòu)成的映射是一個全平面上的共形映射。 指數(shù)映射將水平的帶形域變成角形區(qū)域；而對數(shù)映射將角形域映射成帶形域。如果要把帶形域映射成角形域，則用指數(shù)映射；要把角形域映射成帶形域，則用對數(shù)映射。在兩個區(qū)域之間轉(zhuǎn)換的映射時，要靈活運(yùn)用前面所學(xué)的知識。三、典型例題分析例1 求將上半平面映射成單位圓且滿足條件的分式線性映射。解 由條件知，所求的映射要將上半平面中

35、的點(diǎn)映射成單位圓周的圓心。所以由(6.3.2)式得又因?yàn)楣视杏忠驗(yàn)樗?。所求映射?解畢例2 求將單位圓映射成單位圓且滿足條件的分式線性映射。解 由條件知，所求映射要將內(nèi)的點(diǎn)映射成單位圓的圓心。所以，由(6.3.5)式，得由此得故。由于，因此，為正實(shí)數(shù)，從而，即。所以所求映射為 解畢四、思考題、習(xí)題及習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題1求把上半平面映射成單位圓域的分式線性映射，并滿足條件：1） ；2） ；3） 。2 把單位圓映射成單位圓的分式線性映射，并滿足條件：；2）。（二） 習(xí)題解答（只解答難題）1. 1）；2）；3）。2. 1）；2）。第七章 傅里葉變換一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系 （一）

36、 本章的核心理解傅里葉變換的概念；掌握變換的主要性質(zhì)及卷積定理，單位脈沖函數(shù)及其傅立葉變換，會求一些常用函數(shù)的積分變換，并會查表求象函數(shù)及原象函數(shù)。 （二） 本章重點(diǎn)傅里葉變換的概念及性質(zhì)，卷積定理單位脈沖函數(shù)及其傅立葉變換，。 （三） 本章前后聯(lián)系本書的第七、八章的基本內(nèi)容為積分變換。所謂積分變換，就是通過積分運(yùn)算，把一個函數(shù)變成另一個函數(shù)，它的變換形式一般的可以寫成： ，其中為一個確定的二元函數(shù)，稱為積分變換的核，稱為象原函數(shù)，稱為的象函數(shù)。在一定條件下，象原函數(shù)與它的象函數(shù)是通過上述積分運(yùn)算聯(lián)系的一一對應(yīng)的函數(shù)。不同的積分域及積分變換核確定出不同的積分變換類型。我們要介紹的是最常用的兩類

37、積分變換：傅立葉變換和拉普拉斯變換。另外要注意的是，積分變換中虛數(shù)單位一般記成，即 二、 本章的基本概念、難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo) （一） 本章的基本概念傅里葉變換的概念及性質(zhì)，卷積定理，單位脈沖函數(shù)及其傅立葉變換 （二） 本章難點(diǎn)及學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)傅立葉積分定理：若函數(shù) 在區(qū)間上滿足下列兩個條件：（1） 在任意有限區(qū)間上滿足狄立克萊（Dirichiet）條件；（2） 在區(qū)間上絕對可積。則在的連續(xù)點(diǎn)處有： 在的間斷點(diǎn)處，上式右端應(yīng)為。這是函數(shù)的傅立葉積分公式（簡稱傅氏積分公式）的復(fù)指數(shù)形式。它還可以稍作變形即得到傅立葉積分公式的三角函數(shù)形式：。傅立葉積分定理的重要意義在于它給出了傅氏變換的定義。二傅氏變

38、換：滿足傅氏積分定理?xiàng)l件時，的傅立葉變換式為： F f (t) = 這種積分運(yùn)算叫做取的傅立葉變換，叫做的象函數(shù)；的傅立葉逆變換式為：F 叫做的象原函數(shù)，這種積分運(yùn)算叫做取的傅立葉逆變換。這樣象函數(shù)和象原函數(shù)構(gòu)成一個傅立葉變換對，它們是一一對應(yīng)的。 傅氏變換常應(yīng)用在頻譜分析中，時間函數(shù)可看作某種振動的波形，它的傅氏變換，就是求這個時間函數(shù)的頻譜函數(shù)。一 傅氏變換的性質(zhì)：1線性性質(zhì)：設(shè)F ， 是常數(shù)(k =1,2,n)，則有F 。2位移性質(zhì) ：設(shè)F ，則有：(1) F （為實(shí)數(shù)）， （2）F , (3) F ,F 。3。微分性質(zhì)：若F ，存在且除有限個間斷點(diǎn)外連續(xù)，且時, ；則 F 即 F .象

39、函數(shù)的微分性質(zhì)： F ，若存在且除有限個間斷點(diǎn)外連續(xù),且時, ；則 F 即 F4。積分性質(zhì)：F ，若 ，（即 ）,則：F =F 。當(dāng)條件不滿足時（即時），它的傅氏變換應(yīng)包括一個脈沖函數(shù)：F 。5卷積定理：已知函數(shù) 、都滿足傅氏積分定理?xiàng)l件,且F ，F(xiàn) ，則：（1） F 即F （2）F 即F。 以上這些性質(zhì)是我們所要掌握的傅氏變換的基本性質(zhì)，在計算一些較復(fù)雜的函數(shù)的傅氏變換時，常利用傅氏變換的性質(zhì)來計算。四函數(shù)及其傅氏變換函數(shù)是工程應(yīng)用中非常有用的函數(shù)，但它不是一般意義下的函數(shù)，而是一個廣義函數(shù)。在這里我們沒有必要對廣義函數(shù)的概念作過多的深究。我們需要了解掌握的是函數(shù)的特性及其傅氏變換：(1)(

40、2)(3）函數(shù)的傅氏變換F ； F ；F ； F 。(4)通過函數(shù)及其傅氏變換，還推得一個工程上常用函數(shù)：單位階躍函數(shù)的傅氏變換：F 。三、典型例題分析例1 求函數(shù)的傅立葉變換，并推證：解證：根據(jù)（7-1-6）式F f (t) = 這便是的傅立葉變換。下面我們來求的積分表達(dá)式，根據(jù)（7-1-7）式，并利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)，可得在的連續(xù)點(diǎn)處（即及時），有 F 在間斷點(diǎn)處（即時），有總之：從而得到含參變量廣義積分的結(jié)果 并且由它可以推得 時，有 ，這是著名的狄立克萊積分公式，這個公式若直接計算證明是極其復(fù)雜的，但利用的傅立葉積分公式，它是很容易得到證明的。 例2 由 F 計算F 和F 。解：由時域上的位移性質(zhì)（7-2-2）式得 F 由頻域上的位移性質(zhì)（7-2-4）式得F 四、思考題、習(xí)題及習(xí)題解答（一） 思考題、習(xí)題1 求函數(shù)的傅氏積分。2設(shè)F ，證明傅氏變換的對稱性質(zhì)：F 即 。3求下列函數(shù)的傅氏變換，其中。(1). ;(2). ;(3) .（二） 習(xí)題解答（只解答難題）123(1). ; (2) ; (3) .第八章 拉普拉斯變換一、 本章的核心、重點(diǎn)及前后聯(lián)系 （一） 本章的核心 理解拉普拉斯變換的概念；掌握變換的主要性質(zhì)及卷積定理，并會應(yīng)用留數(shù)計算拉氏逆變換；會求一些常用函數(shù)的積分變換，并會查表求象函數(shù)及原象函數(shù)，會用拉氏