行列式按行(列)展開

1、12.3 行列式按行行列式按行(列列)展開展開 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa引例引例, 考察三階行列式考察三階行列式 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa .333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 在在 n 階行列式階行列式D中中, 把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素劃去后

2、列元素劃去后, 留下來的留下來的 n1 階行列式叫做階行列式叫做(行列式行列式D的關(guān)于的關(guān)于)元素元素aij 的的余子式余子式, 記作記作 Mij . 即即nnnjnjnjnnnijijijiiiinijijijiinijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD1121111111121111211111111121121221222211111111211 nnnjnjnnnijijiiinijijiiinjjnjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaM11211111112111111112112121222

3、21111111211 例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 記記 Aij = (1)i+j Mij, 稱稱 Aij 為元素為元素 aij 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式.,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA 引理引理: 如果一個(gè)如果一個(gè)n階行列式階行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 ai

4、j 外外都為零都為零, 那么那么, 行列式行列式 D 等于等于 aij 與它的代數(shù)余子式與它的代數(shù)余子式 Aij的乘積的乘積, 即即 D = aij Aij . 行列式的每一個(gè)元素都分別對應(yīng)著唯一的一個(gè)余行列式的每一個(gè)元素都分別對應(yīng)著唯一的一個(gè)余子式和唯一的一個(gè)代數(shù)余子式子式和唯一的一個(gè)代數(shù)余子式.nnnjnjnjnnnijijijiiiijnijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11211111111211111111112112122122221111111121100000 = aij Aij . 定理定理3: 行列式等于它的任

5、一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素與其的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和, 即即D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n);D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n).證證:nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展開法則展開法則nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 D = ai1Ai1 + a

6、i2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).由引理得由引理得:引理的結(jié)論常用如下表達(dá)式引理的結(jié)論常用如下表達(dá)式: nkkikinkikikAaAaD11( i =1, 2, , n).277010353 D解解: 按第一行展開按第一行展開, 得得27013 D.27 27005 77103 例例1: 計(jì)算行列式計(jì)算行列式如果按第二行展開如果按第二行展開, 得得2733)1)(1(22 D.27 .3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 例例2: 計(jì)算行列式計(jì)算行列式解解: D0551111115)1(33 05502

7、6115 5526)1(31 5028 .40 12rr 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(例例3: 證明范德蒙德證明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式證證: 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211xxD 12xx , )(12 jijixx所以所以, 當(dāng)當(dāng) n=2 時(shí)時(shí), (1)式成立式成立.假設(shè)對假設(shè)對 n-1 階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 對對 n 階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式, 作如下變換作如下變換, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得)()()(0)(

8、)()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 按第一列展開按第一列展開, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi x1 )提出提出, 就就有有:223223211312111)()( nnnnnnnxxxxxxxxxxxxDn1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 則根據(jù)歸納假設(shè)得證則根據(jù)歸納假設(shè)得證:0532004140013202527102135 D0532004140013202527102135 D例例4: 計(jì)算行列式計(jì)

9、算行列式解解: 53204140132021352152 66027013210 53241413252 6627210 .1080124220 推論推論: 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零, 即即ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ;a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaD 證證: 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展

10、開行展開, 得得把把 ajk 換成換成 aik (k=1, 2, , n ), 當(dāng)當(dāng) i j 時(shí)時(shí), 可得可得,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 第第 j 行行第第 i 行行相同相同同理同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j 所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì);01 jijiDDAaijnkjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .01 jijiDDAaijnkkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) .01 jijiij當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 其中其中 1. 行列式按行行列式按

11、行(列列)展開法則是把高階行列式的計(jì)展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具算化為低階行列式計(jì)算的重要工具. ijnkjkiknkkjkiDAaAa 11三、小結(jié)三、小結(jié)2.思考題思考題nnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和: A11+A12+ +A1n . 設(shè)設(shè) n 階行列式階行列式思考題解答思考題解答解解: 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成n001030100211111 ).11( !2 nkknA11+A12+ +A1n三、三、 克拉默克拉默(Cramer)法則法則

12、nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111設(shè)線性方程組設(shè)線性方程組 若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng)b1, b2, , bn不全為零不全為零, 則稱此方程組為則稱此方程組為非齊次線性方程組非齊次線性方程組; 若常數(shù)項(xiàng)若常數(shù)項(xiàng)b1, b2, , bn全為零全為零, 則稱則稱此方程組為此方程組為齊次線性方程組齊次線性方程組; 定理定理1: (克拉默克拉默(Cramer)法則法則)如果線性方程組如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零的系數(shù)行列式不等于零, 即即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD(1).,2211DDxDDxDDx

13、nn 其中其中Dj 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式D中第中第 j 列的元素用方程組右列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 n 階行列式階行列式, 即即nnnjnnjnnjjjaabaaaabaaD11111111111 那么那么, 線性方程組線性方程組(1)有解有解, 且解是唯一的且解是唯一的, 解可以表為解可以表為 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(221122222221211111212111 證明證明: 用系數(shù)行列式用系數(shù)行列式D的第的第 j 列元素的代數(shù)余子式列元素的代數(shù)余子式A1j, A

14、2j, Anj依次乘方程組依次乘方程組(1)的的n個(gè)方程個(gè)方程, 得得在把在把 n 個(gè)方程依次相加個(gè)方程依次相加, 得得,)()()(111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa 由行列式代數(shù)余子式的性質(zhì)可知由行列式代數(shù)余子式的性質(zhì)可知, 上式中上式中xj 的系的系數(shù)等于數(shù)等于D, 而而 xi (i j) 的系數(shù)均等于的系數(shù)均等于0, 等式右端為等式右端為Dj .于是于是因此因此, 當(dāng)當(dāng) D 0 時(shí)時(shí), 方程組方程組(2)有唯一解有唯一解:Dxj=Dj ( j=1, 2, , n)(2).,2211DDxDDxDDxnn 由于方程組由于方程組(2)與方程

15、組與方程組(1)等價(jià)等價(jià),故故也是方程組也是方程組(1)的唯一解的唯一解.,2211DDxDDxDDxnn 定理定理2: 如果線性方程組如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一無解或有解但不唯一, 則它的系數(shù)行列式必為零則它的系數(shù)行列式必為零. 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理3: 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 D 0, 則齊次線性方程組則齊次線性方程組(3)沒有非零解沒有非零解.(3) 定理定理4: 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組(3)有非零解有非零解, 則它的則它的系數(shù)行列式系

16、數(shù)行列式 D 必為零必為零. 在后面我們將證明在后面我們將證明: 齊次線性方程組齊次線性方程組(3)有非零解有非零解的充分必要條件為的充分必要條件為(3)的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式 D 必為零必為零.例例1: 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解:6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822

17、 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx所以所以 6523611443325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解:2311111140301253 D67 , 0 例例2: 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D, 0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67 ,316736711 DDx, 067022 DDx,216726733 DDx. 1676744 DDx所以所以例例3: 問問 取何值時(shí)取何值時(shí), 齊次方程組齊次方程組 010320421321321321xxxxxxxxx 有非零解有非零解? 111132421D)1(4)1()3(482)3()1(2 由于齊次方程組有非零解的充分必要