數(shù)理方程與特殊函數(shù)鐘爾杰格林函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)理方程與特殊數(shù)理方程與特殊(tsh)函數(shù)鐘爾杰格林函函數(shù)鐘爾杰格林函數(shù)數(shù)第一頁(yè)，共14頁(yè)。正變換正變換(binhun): defxfxi )(21)(dxexffxi )()(逆變換逆變換: 核函數(shù)核函數(shù)(hnsh):xjexk ),(1核函數(shù)核函數(shù)(hnsh):xjexk 21),(2 1 j其中其中:付里葉變換公式付里葉變換公式第1頁(yè)/共14頁(yè)第二頁(yè)，共14頁(yè)。付里葉變換的常規(guī)付里葉變換的常規(guī)(chnggu)習(xí)題分類習(xí)題分類第第I類：利用公式證明付里葉變換類：利用公式證明付里葉變換(binhun)性質(zhì)；性質(zhì)；第第II類：直接積分求象或原象；類：直接積分求象或原象；第第III類：利

2、用特殊積分求象或原象類：利用特殊積分求象或原象 cdxecx/2 一個(gè)一個(gè)(y )常用積分常用積分公式公式 c 0 dxeIcx2證證 令令 dyeIcy2 020)(2222drreddxdyeIcryxc cceccr 21221202cI/ 第2頁(yè)/共14頁(yè)第三頁(yè)，共14頁(yè)。習(xí)題習(xí)題(xt)5.1第第3題題(2) 求求 的付氏變換的付氏變換)exp()(2xxf 解解:利用利用(lyng)定義定義 dxedxeexfFxixxix)(22)( 對(duì)二次多項(xiàng)式配方對(duì)二次多項(xiàng)式配方(pi fng)2222224)2()2()2( ixiixxix所以所以 dxeexfFix22)2(4)( 4

3、422/ ee第3頁(yè)/共14頁(yè)第四頁(yè)，共14頁(yè)。例例3 3 用付氏變換用付氏變換(binhun)(binhun)求解求解0 yxy由由 得得)()( fixfF dxexffixi )()( dxexfixfiddxi )()()()()()( fffddxfxF 對(duì)方程對(duì)方程 作付里葉變換作付里葉變換, 得得0 yxy0)(2 yyyi 2211 eCy deeCyxi221112yy)1(2 第4頁(yè)/共14頁(yè)第五頁(yè)，共14頁(yè)。二維泊松問(wèn)題二維泊松問(wèn)題(wnt)基本解基本解:),(yxu 2221)(1 urrurrru 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下考慮對(duì)稱情況考慮對(duì)稱情況 有有0 u),()(

4、1yxrurrr 在半徑在半徑(bnjng)為為 r 的圓域內(nèi)對(duì)兩端積分的圓域內(nèi)對(duì)兩端積分1)(020 rdud 12 rur rru 21 ru1ln21 第5頁(yè)/共14頁(yè)第六頁(yè)，共14頁(yè)。三維泊松問(wèn)題三維泊松問(wèn)題(wnt)基本基本解解:),(zyxu ururrurrru222222sin1)(sinsin1)(1),()(122zyxrurrr 在半徑為在半徑為 r 的球域內(nèi)對(duì)兩端的球域內(nèi)對(duì)兩端(lin dun)積分積分考慮球?qū)ΨQ情況考慮球?qū)ΨQ情況 有有0 u0 u1)(sin02020 rdudd 142 rur 241rru ru141 第6頁(yè)/共14頁(yè)第七頁(yè)，共14頁(yè)。 SVzyx

5、RdxdyQdzdxPdydzdxdydzRQP)(高斯高斯(o s)公式公式RkQjPiA 記記kzjyix dSAAdxdydzV取取vuA vuvuvuA )(第一第一(dy)格林公式格林公式 dSvuvdxdydzuvdxdydzuVV取取uvA dSuvvdxdydzuudxdydzvVV第7頁(yè)/共14頁(yè)第八頁(yè)，共14頁(yè)。第二第二(d r)格林格林公式公式 dSuvvudxdydzuvvuV)()(dsuuudSuzyx)coscoscos( dsnu dsnuvnvudxdydzuvvuV)()(取取202020)()()(110zzyyxxrvMM 0 v當(dāng)當(dāng)0MM 時(shí)時(shí), 有有

6、第8頁(yè)/共14頁(yè)第九頁(yè)，共14頁(yè)。第三第三(d sn)格林公格林公式式 VMMMMMMudxdydzrdsrnunurMu000141)1(141)(0 當(dāng)當(dāng)fu 得積分得積分(jfn)表達(dá)式表達(dá)式 VMMMMMMfdxdydzrdsrnunurMu000141)1(141)(0 ( I )第9頁(yè)/共14頁(yè)第十頁(yè)，共14頁(yè)。重新考慮第二重新考慮第二(d r)格林公式格林公式0 vfu 假設(shè)假設(shè) dsnuvnvudxdydzuvvuV)()(0)( Vvfdxdydzdsnvunuv VMMMMMMfdxdydzvrdsvrnunuvrMu)41()41()41()(0000 結(jié)合結(jié)合(jih)

7、積分表達(dá)式積分表達(dá)式(I)，得，得第10頁(yè)/共14頁(yè)第十一頁(yè)，共14頁(yè)。vrMMGMM 041),(0 記記0 v如果如果在邊界上在邊界上0),(0 SMMG則有新的積分則有新的積分(jfn)表達(dá)式表達(dá)式vrMMGMM 041),(0 稱稱為格林函數(shù)為格林函數(shù) VfdxdydzMMGdsMMGnuMu),(),()(000( II )( 泊松方程狄里克雷問(wèn)題泊松方程狄里克雷問(wèn)題(wnt)的格林函數(shù)的格林函數(shù) )第11頁(yè)/共14頁(yè)第十二頁(yè)，共14頁(yè)。1.當(dāng)當(dāng)M在區(qū)域邊界上取值時(shí)在區(qū)域邊界上取值時(shí), 格林函數(shù)為零格林函數(shù)為零;2.當(dāng)當(dāng)M在區(qū)域內(nèi)變化在區(qū)域內(nèi)變化(MM0)時(shí)時(shí), 格林函數(shù)滿足拉普拉斯

8、方格林函數(shù)滿足拉普拉斯方程程;3.格林函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的和格林函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的和,第一個(gè)是基本解第一個(gè)是基本解,第二個(gè)是調(diào)和第二個(gè)是調(diào)和函數(shù)函數(shù)(對(duì)特殊區(qū)域可利用幾何對(duì)特殊區(qū)域可利用幾何(j h)方法求得方法求得).4.特殊區(qū)域的格林函數(shù)要用到泊松方程基本解特殊區(qū)域的格林函數(shù)要用到泊松方程基本解,二維基本解二維基本解和三維基本解不同：和三維基本解不同：二維二維:三維三維:r1ln21 22|yxMOr r141 222|zyxMOr 格林函數(shù)格林函數(shù)(hnsh)G(M, M0)的特點(diǎn)的特點(diǎn):第12頁(yè)/共14頁(yè)第十三頁(yè)，共14頁(yè)。思考題思考題1. 泊松方程的第一積分表達(dá)式與第二積分表達(dá)式有何區(qū)別泊松方程的第一積分表達(dá)式與第二積分表達(dá)式有何區(qū)別；2. 泊松方程的基本泊松方程的基本(jbn)解有哪些性