1.2極限存在準則與兩個重要極限,無窮小的比較ppt課件

1、二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、函數(shù)極限的夾逼準則一、函數(shù)極限的夾逼準則第五節(jié)極限存在準則兩個重要極限 第一章 一、極限存在的夾逼準則定理定理1.0(, ),xxr當時Axhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0( Xx)(x)(x)(x且（2）limlimnnnnyza關于數(shù)列的夾逼準則：設數(shù)列 滿足：111,nnnnnnxyz（1）,nnnyxzNnN當時a那么 存在且等于limnnx證明：下面僅對證明：下面僅對 時的函數(shù)極限來證明夾逼時的函數(shù)極限來證明夾逼準則。準則。0 xx對 ，因為 ，故存在 ，當 時，有 ，從而0 0lim

2、xxg xA10010 xx g xA g xA 又因為 ，故存在 ，當時，有 ，從而 0limxxh xA20020 xx h xA h xA取 ，則當 時，不等式 同時成立，并注意到12min , r 00 xx ,g xA h xA g xf xh x就得到 g xAf xAh xA 故 f xA這就證明了 0limxxf xA1sincosxxx圓扇形AOB的面積重要極限重要極限 （一）（一） 0sin01. lim1()0 xxx特點：型證證: 當當即xsin21x21xtan21)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xx

3、x顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有當20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注說明： 1) 幾個附帶的有用結論：(1), sin,xRxx 0;x其中等號成立0(2)limsin0 xx0limcos1;xx( )0sin ( )lim1( )xxx 3) 在保證 時,有 lim()0 x 4) 注意區(qū)別：sinlimxxx 1limsinxxx 0sinlimxxx 01limsinxxx 1.0.1.0.例例2. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0

4、 xxxsinlim0 xxcos1lim01.sinlim0 xxkx解解: xkxxsinlim0 xkxkkxsinlim0kxkxkxsinlim0k例例1. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3. 求求例例4. 求求.arctanlim0 xxx解解: 令令,arctanxt 那么,tantx 因而原式ttttanlim0 1lim0t1tttan例例5. 求求xxIx2sin3tanlim0 xxxxxxx232sin233tanlim023例例6. 求求.cos1lim2

5、0 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21解解: 原式原式 nnnRcossinlim2Rn證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計算中注意利用計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx例例7. 已知圓內(nèi)接正已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為2. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準則準則2 ) ( P52) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略 )ab只給出幾何解釋

6、：只給出幾何解釋：例例7. 設設, ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列nx極限存在 . 證證: 利用二項式公式利用二項式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn比較

7、可知根據(jù)準則 2 可知數(shù)列nx記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無理數(shù) , 其值為590457182818284. 2e即有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n故極限存在，例例8 8 設 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：設Axnnlim則由遞推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故axnnlim利用極限存在準則,0nx重要極限二）重要極限二）1lim( 1)xxxe證證

8、: 當當0 x時, 設, 1nxn那么xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1當x, ) 1( tx那么,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1時, 令1)該極限的特點:(1)1; 型未定式型未定式(2)括號中數(shù)1后的變量(包括符號)與冪互為倒數(shù).2)極限呈1,型但第二個特點不具備時,通常湊指數(shù)冪使(2) 成立.那么

9、說明 10(1)lim 1; ; xxxe(1 )()()1(2)lim1( ) xxex 1( )( )0(3)lim1( );xxxe 3) 重要極限2的不同形式例例1. 求下列極限求下列極限.)1 (lim. 11xxx解解: 令令,xt那么xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：利用：利用,)1 (lim)()(1)(exxx那么 原式111)1 (limexxxxxkx)1 (lim. 2解解原式kkxxkx)1(limke例例2 求求xxxxI102121lim解法一：解法一： I221021limxxx)2(21021limxxx2

10、2ee4e解法二：解法二： xxxxI102141limxxxxxx21442102141lim4e1limx.)cos(sinlim. 211xxxxI解解: I =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1.)cos1 (lim. 1sec22xxx解解: 原式原式 =2cos2lim(1 cos ).xxx2e例例3. 求下列極限求下列極限11例例4 求求nnnn)221 (lim2解解: 原式原式 =nnnn)221 (lim2nnnnnnn222222)221 (lim2e例例5 求求nnnn)11(lim2解解:

11、 原式原式 =nnnnn) 1() 1(lim22nnnnnnnn)11 ()11 (lim22nnnne212)11(lim1201eee111例例6 知知4)1(limxxcx，求常數(shù) C。解解: 原式原式 =ccxxxc1limce44ln c2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式代表相同的表達式 第一章 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,第六節(jié)引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 無窮

12、小的比較,0limCk定義：定義：,0lim假設則稱 是比 高階的無窮小,)(o,lim假設假設假設, 1lim假設,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階無窮小;則稱 是 的等價無窮小,記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 定義定義例如例如 , 當當)(o0 x時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時xcos1是關于 x 的二階無窮小,xcos1221x且機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1.

13、證明證明: 當當0 x時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 當當0 x時,32xx 是x的幾階無窮小?解解: 設其為設其為x的k階無窮小,那么kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故113026kk機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時x,sinxx,ta

14、nxx故,0 時x, )(sinxoxx)(tanxoxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2. 性質(zhì)性質(zhì)這時也稱 為 的主要部分定理定理2 . 設設,且lim存在 , 那么lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明1) 等價無窮小替換定理說明等價無窮小替換定理說明,兩個無窮小之比的極限兩個無窮小之比的極限,可由它們的等價無窮小之比的極限代替可由它們的等價無窮小之比的極限代替.,給給 型未定式的極限運算帶來方便型未定式的極限運算帶來方便.00.sintanlim30

15、xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 32210limxxxx求解解: 原式 例如，例如，2)稱定理稱定理2為等價替換定理，進行等價替換時為等價替換定理，進行等價替換時,代代換式中不能出現(xiàn)加減號換式中不能出現(xiàn)加減號,必須是整體因子的替換必須是整體因子的替換.sin(0)xxx 1(0)xexxtan(0)xxx 211 cos(0)2xxxtan(0)arcxxx sin(0)arcxxx ln(1) (0)xxx11(1)1(0)nxxxn3)牢記常見的等價無窮小牢記常見的等價無窮小.1ln(0)xaxax(1)1(0)xxx231x221x例例3. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4.求極限cot01lim.1xxxx解:cot01lim.1xxxxcot02lim 1.1xxxxcot21ln(1)0limxxxxe210limcotln(1)xxxxe2211ln(1) (0)xxxxxco