1.2多元函數的極值問題ppt課件

1、第八節(jié)：多元函數的極值第八節(jié)：多元函數的極值多元函數的極值與最值多元函數的極值與最值條件極值條件極值 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法練習題練習題一、多元函數的極值和最值一、多元函數的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 播放播放1 1、二元函數極值的定義、二元函數極值的定義極極大大值值、極極小小值值統統稱稱為為極極值值. .使使函函數數取取得得極極值值的的點點稱稱為為極極值值點點. .設函數設函數f(x,y)在點在點P0(x0,y0)的某鄰域的某鄰域U(p0)內有定義內有定義（1若對于該鄰域內任意一點若對于該鄰域內任意一點P(x,y)都有都有 ： f(x,y) f(x0

2、,y0) P0(x0,y0)稱為函數稱為函數f(x,y)的極小值點的極小值點,，f(x0,y0)稱為極小值稱為極小值（2若對于該鄰域內任意一點若對于該鄰域內任意一點P(x,y)都有都有 ： f(x,y) f(x0,y0) P0(x0,y0)稱為函數稱為函數f(x,y)的極大值點，的極大值點， f(x0,y0)稱為極大值稱為極大值2 2、多元函數取得極值的條件、多元函數取得極值的條件不不妨妨設設),(yxfz 在在點點),(00yx處處有有極極大大值值,證證當當0yy 時時 一一元元函函數數),(0yxf在在0 xx 處處有有極極大大值值, 則則： 0),(00 yxfx; 類類似似地地可可證證

3、 0),(00 yxfy.定理定理1必要條件設函數必要條件設函數f(x,y)在點在點P0(x0,y0)具有偏導數具有偏導數. 0),(0),(0000yxfyxfyx）點點顯顯然然不不是是極極值值點點，但但是是（例例如如：000)0,0(0)0,0(),( yxyxffxfyfxyyxf那么：點那么：點P0(x0,y0)為極值點為極值點仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的仿照一元函數，凡能使一階偏導數同時為零的點，稱為多元函數的駐點點，稱為多元函數的駐點.駐點駐點極值點極值點由上述定理由上述定理問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？推廣：設函數推廣：設函數

4、f(x,y,z)在點在點P0(x0,y0, z0)具有偏導數具有偏導數. 0),(0),(0),(000000000zyxfzyxfzyxfzyx那么：點那么：點P0(x0,y0, z0)為極值點為極值點令令：Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00 則則),(yxf在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值；（2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值；（3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能

5、沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論定定理理 2 2（充充分分條條件件） 設設),(00yx是是函函數數),(yxfz 的的駐駐點點 例例 1 1 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z確定的函數確定的函數),(yxfz 的極值的極值 將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導求偏導 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數數取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點點為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導導數數,解解,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB

6、,函函數數在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當當21 z時時，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當當62 z時時，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值.求求函函數數),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數數解解，得得駐駐點點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數數的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值

7、.求最值的一般方法：求最值的一般方法： 將函數在將函數在D D內的所有駐點處的函數值內的所有駐點處的函數值及在及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值為最小值. . 與一元函數相類似，我們可以利用函數的與一元函數相類似，我們可以利用函數的極值來求函數的最大值和最小值極值來求函數的最大值和最小值.3 3、多元函數的最值、多元函數的最值例例 2 2 求求二二元元函函數數)4(),(2yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x軸軸和和 y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值與與

8、最最小小值值. 解解先先求求函函數數在在D內內的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內內唯唯一一駐駐點點)1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, xyo6 yxD在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2(

9、 f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.xyo6 yxD實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價瓶進價1元，外地牌子每瓶進價元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx457 yx768 分析：每天的收益為：分析：每天

10、的收益為：)768)(2 . 1()457)(1(),(yxyyxxyxf 求最大收益即為求二元函數的最大值求最大收益即為求二元函數的最大值. .4 4、極值的應用、極值的應用6 .164 .128 . 41075),(22 yxxyyxyxf 04 .12101408 . 41010 xyfyxfyx得到駐點：得到駐點：)3 . 4 ,78. 4(P 0014)(10)(10)(2BACAPfCPfBPfAyyxyxx時，可取得最大收益時，可取得最大收益 3 . 478. 4yx所以：所以：實際問實際問題中駐題中駐點唯一點唯一，可以，可以確定該確定該駐點一駐點一定是極定是極值點！值點！二、條

11、件極值二、條件極值 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法條件極值：自變量必須滿足某種條件的極條件極值：自變量必須滿足某種條件的極值值一般模型：一般模型：0),(:),(min yxstyxfz 無條件極值：在自然定義域內求函數極無條件極值：在自然定義域內求函數極值值一般模型：一般模型：),(minyxfz 拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法 要找函數要找函數),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點，可能極值點，先構造函數先構造函數),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數，可由為某一常數，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyy

12、xx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點的坐標就是可能的極值點的坐標.拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數要找函數),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構造函數先構造函數 ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數，可由均為常數，可由 偏導數為零及條件解出偏導數為零及條件解出tzyx,，即得極值點的坐標，即得極值點的坐標.例例 7 7 將將正正數數 12分分成成三三個個正正數數zyx,之之和和 使使得得zy

13、xu23 為為最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u那那么么故故最最大大值值為為例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內內作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積最最小小，求求切切點點坐坐標標.解解設設),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點點,令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|b

14、yFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡簡為為 1202020 czzbyyaxx,該該切切平平面面在在三三個個軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0,

15、 0220220220000 cybyaxGGGzyx當當切切點點坐坐標標為為(3a，3b，3c)時時, 四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 唯一駐點唯一駐點即即30ax 30by ，30cz 練練 習習 題題的的極極值值一一、求求函函數數)4)(6(),(22yyxxyxf 最大最大，使，使的交線上求一點的交線上求一點與平面與平面二、在曲面二、在曲面|122POPzyxyxz 的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 一、多元函數的極值和最值一、多元函數的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 一、多元函數的極值和最值一、多元函數的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 一、多元函數的極值和最值一、多元函數的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數數22yxexyz 一、多元函數的極值和最值一、多元函數的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察