高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第六版)D8_4[1]

1、四、二次曲面四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 第八八章 定義定義1. 如果曲面如果曲面 S 與方程與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系有下述關(guān)系:(1) 曲面曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的圖形圖形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念故所求方

2、程為故所求方程為例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)方程方程. 特別特別, ,當(dāng)當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí)在原點(diǎn)時(shí), ,球面方程為球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為即即依題意依題意距離為距離為 R 的軌跡的軌跡表示上表示上(下下)球面球面 .定義定義2. . 一條平面曲線一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .旋轉(zhuǎn)曲線和定直線旋轉(zhuǎn)曲線和定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線母線和和旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸.: 0),(: 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線zzyfC : 0),(: 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)

3、的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線yzyfC : 0),(: 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面繞繞曲曲線線xyxfC : 0),(: 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線zzxfC 其余依此類推其余依此類推. . 0),(22 zyxf. 0),(22 zxyf. 0),(22 zyxf. 0),(22 zyxf例例3. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為的圓錐面方程的圓錐面方程. 解解: 在在yoz面上直線面上直線L 的方程為的方程為繞繞z z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)軸旋轉(zhuǎn)時(shí), ,圓錐面的方程為圓錐面的方程為兩邊平方兩邊平方定義定義3.平行定直線并沿定曲

4、線平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 l 形成形成的軌跡叫做的軌跡叫做柱面柱面. 表示表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于母線平行于 z 軸軸;準(zhǔn)線為準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線面上的拋物線.C 叫做叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做叫做母線母線.222Ryx表示表示圓柱面圓柱面. . xyzl1M一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面柱面, ,柱面柱面,平行于平行于 x 軸軸; ;平行于平行于 y 軸軸;平行于平行于 z 軸軸; ;準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線面上的曲線 l3.母線母線柱面,準(zhǔn)線準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線面上的曲線 l1.母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線面上的曲線 l2.

5、母線母線四、二次曲面橢圓錐面的形成 研究曲面的伸縮變形法研究曲面的伸縮變形法 平面圖形的伸縮變形法平面圖形的伸縮變形法.1. .橢圓錐面橢圓錐面 ,222222zaybax 22222zbyax 倍倍可可得得橢橢圓圓錐錐面面軸軸方方向向伸伸縮縮沿沿把把圓圓錐錐面面abyzayx2222 22222zbyax 2.橢球面橢球面 得旋轉(zhuǎn)橢球面得旋轉(zhuǎn)橢球面 橢球面的形成橢球面的形成 1 222222 czbyax122222czayx 3.單葉雙曲面單葉雙曲面 單葉雙曲面的形成單葉雙曲面的形成 得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面 , 1 2222軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞平面上的雙曲線平面上的雙曲線把把zcza

6、xxoz 122222czayx 4.雙葉雙曲面雙葉雙曲面 雙葉雙曲面的形成雙葉雙曲面的形成 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn), 得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面 1 2222 czaxzox平面上的雙曲線平面上的雙曲線把把122222cyzax 5.橢圓拋物面橢圓拋物面 橢圓拋物面的形成橢圓拋物面的形成 得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面, 22軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞平面上的拋物線平面上的拋物線把把zzaxzox zayx222 6.雙曲拋物面雙曲拋物面 雙曲拋物面與平面雙曲拋物面與平面x t的截痕的截痕 l 為平面為平面x t上的拋上的拋物線物線截痕截痕 當(dāng)當(dāng) t 變化時(shí)變化時(shí) l 的形狀不變的形狀不變 位置只作位

7、置只作平移平移 而而 l 的頂點(diǎn)的軌跡的頂點(diǎn)的軌跡L為平面為平面y 0上的拋物線上的拋物線 第八八章 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組例如例如, ,方程組方程組表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 C. C表示上半球面與圓柱面的交線表示上半球面與圓柱面的交線C. ?)2()2(,222222表表示示什什么么曲曲線線又又

8、如如，方方程程組組 ayaxyxaz. 2 , )0 ,2( , )2()2(222的圓周的柱面的圓周的柱面為為半徑半徑為中心為中心面上以點(diǎn)面上以點(diǎn)準(zhǔn)線是準(zhǔn)線是軸軸母線平行于母線平行于表示表示aaxOyzayax )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二二、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn), , Atax cos tay sin vtz 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)為參數(shù)，解解: :xyzo 螺旋線的重要性質(zhì)螺旋線的重要性質(zhì),:00 .:00 bbbz .2 , 2

9、bh 上升的高度上升的高度時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 上升的高度與轉(zhuǎn)上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比過的角度成正比. . .2在工程技術(shù)上叫做螺距在工程技術(shù)上叫做螺距bh 例例2. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示:解解: 將第二方程變形為將第二方程變形為故所求為故所求為三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 投影柱面與投影柱面與xOy面的交線叫做曲線面的交線叫做曲線C在在xOy面上的投影曲線面上的投影曲線, , 或簡(jiǎn)稱投影或簡(jiǎn)稱投影. . 類似地可以定義曲線類似地可以定義曲線C在其它坐標(biāo)在其它坐標(biāo)面上的投影面上的投影. . v投影柱面與投影投影柱面與投影( (曲線曲線) ) 以空間曲線以空間曲線C為準(zhǔn)線

10、、母線平行于為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線軸的柱面叫做曲線C關(guān)于關(guān)于xOy面的投影面的投影柱面柱面. .投影柱面投影柱面投影曲線投影曲線v投影投影( (曲線曲線) )的確定的確定 設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C的一般方程的一般方程為為 方程組中的兩個(gè)方程消去變量方程組中的兩個(gè)方程消去變量z后可后可得一個(gè)關(guān)于得一個(gè)關(guān)于x, y的方程的方程 H(x y)0 曲線曲線C在在xOy面上的投影曲線的方程為面上的投影曲線的方程為 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影這就是曲線這就是曲線C關(guān)于關(guān)于xOy面的投影柱面的方程面的投影柱面的方程. . 投影柱面投影柱面投影曲線投影曲線消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的

11、投影曲線方程面上的投影曲線方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程空間曲線空間曲線投影柱面投影柱面投影曲線投影曲線 例例3. 已知兩球面的方程為已知兩球面的方程為x2 + y2 + z2=1和和 x2 + (y-1)2 + (z-1)2 = 1 求它們的交線求它們的交線C在在xOy面上的投影方程面上的投影方程. . 解解： x2 y2 z2 2y 2z 1 將將x2 y2 z2 1代入得代入得 1 2y 2z 1 即即y z 1. . 將將z 1 y代入方程代入方程x2 y2 z2 1 得得 x2 y2 (1 y)2 1 即即

12、x2 2y2 2y 0. 方程方程x2 (y 1)2 (z 1)2 1化為化為 兩球面的交線兩球面的交線C在在xOy面上的投影方程為面上的投影方程為 這就是交線這就是交線C關(guān)于關(guān)于xOy面的投影柱面方程面的投影柱面方程. . 空間立體空間立體曲面曲面補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影例如例如, ,所圍的立體在所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)? :上半球面上半球面和錐面和錐面在在 xoy 面上的面上的投影曲線投影曲線二者交線二者交線所圍圓域所圍圓域:二者交線在二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域面上的投影曲線所圍之域 .在各坐標(biāo)

13、面上的投影在各坐標(biāo)面上的投影橢圓拋物面橢圓拋物面)2(222 zzyx-10-50510 x-10-50510y02040z-10-50510 x 第八八章 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組其一般方程為方程組例如例如, ,方程組方程組表示圓柱面與平面的交線表示圓柱面與平面的交線 C. C )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線

14、的參數(shù)方程二二、空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 投影柱面與投影柱面與xOy面的交線叫做曲線面的交線叫做曲線C在在xOy面上的投影曲線面上的投影曲線, , 或簡(jiǎn)稱投影或簡(jiǎn)稱投影. . 類似地可以定義曲線類似地可以定義曲線C在其它坐標(biāo)在其它坐標(biāo)面上的投影面上的投影. . v投影柱面與投影(曲線) 以空間曲線以空間曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于為準(zhǔn)線、母線平行于z z軸的柱面叫做曲線軸的柱面叫做曲線C關(guān)于關(guān)于xOy面的投面的投影柱面影柱面. .投影柱面投影柱面投影曲線投影曲線v投影(曲線)的確定 設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C的一般方程的一般方程為為 方程組中的兩個(gè)方程消去變量方

15、程組中的兩個(gè)方程消去變量z后可后可得一個(gè)關(guān)于得一個(gè)關(guān)于x, y的方程的方程 H(x y)0 曲線曲線C在在xOy面上的投影曲線的方程為面上的投影曲線的方程為 三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影這就是曲線這就是曲線C關(guān)于關(guān)于xOy面的投影柱面的方程面的投影柱面的方程. . 投影柱面投影柱面投影曲線投影曲線消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 空間曲線空間曲線三元方程組三元方程組或參數(shù)方程或參數(shù)方程 求投影曲求投影曲線線 (如如, 圓柱螺線圓柱螺線)思考與練習(xí)思考與練習(xí) P37 題題 1

16、，2，7（展示空間圖形展示空間圖形）P37 題1 (2)(1)答案答案:(3)P37 題2 (1)思考思考: :交線情況如何?交線情況如何?P37 題2(2)P37 題 7備用題備用題求曲線求曲線繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面 的交線在的交線在 xoy 平面的投影曲線方程平面的投影曲線方程. 解：解： 旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為交線為此曲線向此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為面的投影柱面方程為 此曲線在此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為 ,它與所給平面的它與所給平面的思考題思考題,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx思考題解答