第3章正交分解

1、第三章 連續(xù)信號的正交分解1 信號分解 將復雜信號分解成組成該信號的簡單的單元函將復雜信號分解成組成該信號的簡單的單元函數(shù)，先求得這些信號分量的系統(tǒng)響應，再利用數(shù)，先求得這些信號分量的系統(tǒng)響應，再利用疊加原理求得總響應。疊加原理求得總響應。 單元函數(shù)選擇 沖激函數(shù)、階躍函數(shù)沖激函數(shù)、階躍函數(shù) 正交函數(shù)集：三角函數(shù)集、指數(shù)函數(shù)集正交函數(shù)集：三角函數(shù)集、指數(shù)函數(shù)集 信號域變換 時域時域頻域頻域 時域時域復頻域復頻域從本章開始由從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域時域轉(zhuǎn)入變換域分析。分析。時域時域頻域頻域第三章 連續(xù)信號的正交分解23.2.1 矢量的正交分矢量的正交分解解oV2V1902. 矢量的正交分解矢量

2、的正交分解oVc2V2c1V1V1V2212211VcVcV222222111111coscosVVVVVVcVVVVVVc1. 正交矢量正交矢量21,ccV 第三章 連續(xù)信號的正交分解3oVc3V3c1V1V1V3V2c2V2332211VcVcVcV在三維空間中，在三維空間中， 構成完備的正交矢量集構成完備的正交矢量集321,VVV第三章 連續(xù)信號的正交分解4mlkmldttgtgmttml, 0)()(21則稱函數(shù)集則稱函數(shù)集 為在區(qū)間為在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)的正交函數(shù)集。內(nèi)的正交函數(shù)集。 于是于是信號信號 在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)可以用內(nèi)可以用n n

3、個互相正交的個互相正交的函數(shù)表示為：函數(shù)表示為： )(tfnrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(212121)()(1)()()(2ttrrttrttrrdttgtfkdttgdttgtfC求得由0 )()(12112221dttgCtfttCCCttnjjjrrr3.2.2 實信號的正交分解實信號的正交分解0)()(2121ttdttftf信號信號 在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)正交內(nèi)正交 )(),(21tftf)(),(1tgtgn第三章 連續(xù)信號的正交分解5mlkmldttgtgmttlm, 0)()(21*則稱此函數(shù)集為在區(qū)間

4、則稱此函數(shù)集為在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)的正交復變函數(shù)內(nèi)的正交復變函數(shù)集。集。 于是于是信號信號 在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)可以用內(nèi)可以用n n個互相正交的個互相正交的函數(shù)表示為：函數(shù)表示為： )(tfnrrrnnrrtgCtgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()()(212121)()(1)()()()(*ttrttrttrdttgtfkdttgtgdttgtfCrrr求得由0)()(12112221dttgCtfttCCCttnjjjrrr3.2.3 復變信號的正交分解復變信號的正交分解第三章 連續(xù)信號的正交分解6與矢量分解相似，用一正交函數(shù)集

5、中的分量去代表任意一與矢量分解相似，用一正交函數(shù)集中的分量去代表任意一個函數(shù)，這個函數(shù)集必須是一完備的正交函數(shù)集。個函數(shù)，這個函數(shù)集必須是一完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集完備的正交函數(shù)集有兩種定義：有兩種定義： A.如果用正交的函數(shù)集如果用正交的函數(shù)集 在區(qū)間在區(qū)間（t t1 1,t,t2 2）內(nèi)近似表內(nèi)近似表示示 ，若令，若令 ，則稱該函，則稱該函數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。數(shù)集為完備的正交函數(shù)集。 )(tgr)(tf)(0lim,2此時nnB.B.如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 之外，不存在之外，不存在函數(shù)函數(shù) ，滿足等式，滿足等式: : 則這個函數(shù)集稱為完備的則這個函數(shù)集稱為完備的正交

6、函數(shù)集。正交函數(shù)集。 )(,),(),(21tgtgtgn)(tx), 2 , 1( 0)()(21*nrdttgtxttr第三章 連續(xù)信號的正交分解73.3.1 三角傅里葉級數(shù)三角傅里葉級數(shù)三角函數(shù)集三角函數(shù)集 ),(,),2(,),(,),2(,1tnSintSintSintnCostCostCos，在區(qū)間在區(qū)間（t t0 0,t,t0 0+T+T）( )( )內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。 2T第三章 連續(xù)信號的正交分解8 任何周期為T的函數(shù)f(t)都可分解為無限個正弦和余弦函數(shù)的代數(shù)和，即f(t)在(t0, t0+T)區(qū)間的三角傅里三角傅里葉級數(shù)葉級數(shù)展開。1021210

7、)sincos(2sin2sinsincos2coscos2)(nnnnntnbtnaatnbtbtbtnatataatf直流分量 n次諧波分量n =1，基波分量第三章 連續(xù)信號的正交分解直流分量余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)TttTttTttndttntfTdttndttntfa111111)cos()(2)(cos)cos()(2TttTttTttndttntfTdttndttntfb111111)sin()(2)(sin)sin()(2)()(11)(211111120tfdttfTdtdttfaTttTttTtt第三章 連續(xù)信號的正交分解10基波頻率基波頻率 ， n n 次諧波頻率次諧波頻率

8、 n)()()(nnnntnCosAtnSinbtnCosa令令10)(2)(nnntnCosAatf則則nnnnnnAbAasincosnnnnnnabbaAarctan22其中其中偶函數(shù)nnnnAAaa奇函數(shù)nnnnbb可證可證:( (任一周期信號任一周期信號 可以用一直流分量和一系列諧波可以用一直流分量和一系列諧波分量之和來表示）分量之和來表示）)(tf第三章 連續(xù)信號的正交分解11第三章 連續(xù)信號的正交分解 實用中進行信號分析時，不可能無限多次諧波，而只能取有限項來近似，這不可避免地要有誤差 n愈大，即所取級數(shù)項數(shù)愈多，方均誤差愈小。 方均誤差趨于零。)(sincos2)(10ttkb

9、tkaatfnnkkkn第三章 連續(xù)信號的正交分解例3-1 將下列方波信號展開成三角級數(shù)1-1)(tfTT/2為偶數(shù)為奇數(shù)nnntdtntdtnTtdtntfTbtdtntdtnTtdtntfTadtdtTdttfTaTTTTnTTTTnTTTT04sinsin2sin)(20coscos2cos)(202)(22200220022000第三章 連續(xù)信號的正交分解14ttttf5sin513sin31sin4)(第三章 連續(xù)信號的正交分解153.3.2 指數(shù)傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù)虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集 2, 1, 0,netjn在區(qū)間在區(qū)間（t t0 0,t,t0 0+T+T）( )( )

10、內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。內(nèi)為完備的正交函數(shù)集。 2TnmdteeTdteetjnTtttjmtjnTtttjn, 0)()()()(*1111第三章 連續(xù)信號的正交分解第三章 連續(xù)信號的正交分解17a0第三章 連續(xù)信號的正交分解18njnneAA定義復數(shù)振幅定義復數(shù)振幅第三章 連續(xù)信號的正交分解193.3.3 周期函數(shù)的奇偶性及其三角傅里葉級數(shù)特點周期函數(shù)的奇偶性及其三角傅里葉級數(shù)特點 奇函數(shù) 是奇函數(shù)。 周期奇函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)：只有正弦項。 偶函數(shù) 是偶函數(shù)。 周期偶函數(shù)的三角傅里葉級數(shù)：只有余弦項（可能有直流項）。 非奇非偶函數(shù) 三角傅里葉級數(shù)：正弦項、余弦項都有，可能有直流分量。)si

11、n(tn)cos(tn)()(tftf)()(tftf0na0nb第三章 連續(xù)信號的正交分解20非奇非偶函數(shù))( tfo第三章 連續(xù)信號的正交分解21第三章 連續(xù)信號的正交分解周期函數(shù)的奇諧偶諧性判定及其傅里葉級數(shù)特點周期函數(shù)的奇諧偶諧性判定及其傅里葉級數(shù)特點 奇諧函數(shù) 傅里葉級數(shù)：只有奇次諧波。 偶諧函數(shù) 傅里葉級數(shù)：只有偶次諧波。 非奇諧非偶諧函數(shù) 傅里葉級數(shù)：偶次諧波和奇次諧波同時存在。)2()(Ttftf)2()(Ttftf第三章 連續(xù)信號的正交分解23 周期信號周期信號 f (t) 的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是_。 (A) 余弦項的奇次諧波，無直流

12、余弦項的奇次諧波，無直流 (B) 正弦項的奇次諧波，無直流正弦項的奇次諧波，無直流 (C) 余弦項的偶次諧波，直流余弦項的偶次諧波，直流 (D) 正弦項的偶次諧波，直流。正弦項的偶次諧波，直流。 例 1偶函數(shù)：只含余弦項；偶函數(shù)：只含余弦項；半周重疊：半周重疊： 只含偶次諧波和直流只含偶次諧波和直流C)(tfT2Tt01第三章 連續(xù)信號的正交分解24例 2 周期信號周期信號 f (t) 的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是_。 (A) 余弦項的奇次諧波，無直流余弦項的奇次諧波，無直流 (B) 正弦項的奇次諧波，無直流正弦項的奇次諧波，無直流 (C) 余弦項的偶次諧波

13、，直流余弦項的偶次諧波，直流 (D) 正弦項的偶次諧波，直流。正弦項的偶次諧波，直流。 )(tfT2Tt011-第三章 連續(xù)信號的正交分解25例例 3 3 習題習題3.83.8（1）已知周期信號f (t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。 f (t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只有偶次諧波；04Tt)(tf解：波形縱軸對稱；半周重疊。解：波形縱軸對稱；半周重疊。04Tt)(tf2TT4Tf(t)= f(t+T/2)f(t)= f(-t)第三章 連續(xù)信號的正交分解26習題習題3.8（2）已知周期信號f (t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信

14、號波形。 f (t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只有奇次諧波；04Tt)(tf解：波形縱軸對稱；半周鏡象重疊。解：波形縱軸對稱；半周鏡象重疊。04Tt)(tf2TT4Tf(t)= - f(t+T/2)f(t)= f(-t)第三章 連續(xù)信號的正交分解273.4 周期信號的頻譜 頻譜圖振幅頻譜振幅頻譜 相位頻譜相位頻譜1000)cos(2)(nnnaAtnAAtfnAn第三章 連續(xù)信號的正交分解28)25cos(51)23cos(31)2cos(4)5sin(51)3sin(31)sin(4)(tttttttfAn01 3 5 7=nA1A3A5A7譜線tf(t)0T2n周期方波信號第三章 連續(xù)信號

15、的正交分解29 T202T2T1tf (t)A周期性矩形脈沖nnAA 或0n第三章 連續(xù)信號的正交分解30特點：離散性、諧波性、收斂性特點：離散性、諧波性、收斂性第三章 連續(xù)信號的正交分解31周期周期T不變，脈沖寬度不變，脈沖寬度 變化變化2nA20414T 2081161208T 16T 2nA2nA第三章 連續(xù)信號的正交分解32 由大變小，由大變小，An 的第一個過零點頻率增大，的第一個過零點頻率增大，即即 ， 稱為信號的帶寬，稱為信號的帶寬， 確定了帶寬。確定了帶寬。 由大變小，頻譜的頻帶變寬，頻譜的幅度變小。由大變小，頻譜的頻帶變寬，頻譜的幅度變小。 由于由于 T 不變，譜線間隔不變，

16、即不變，譜線間隔不變，即 不變。不變。T222第三章 連續(xù)信號的正交分解3316120脈沖寬度脈沖寬度 不變不變, 周期周期T變化變化 4T8120 8T 16T41202nA2nA2nA第三章 連續(xù)信號的正交分解34 不變，An 的第一個過零點頻率不變，即 ，帶寬不變。 T 由小變大，諧波頻率成分豐富，并且頻譜的幅度變小。 T 時，譜線間隔 0 ，這時： 周期信號 非周期信號；離散頻譜 連續(xù)頻譜2第三章 連續(xù)信號的正交分解35周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點 唯一性： 一個周期信號與它的頻譜（幅度頻譜和相位頻譜）之間一個周期信號與它的頻譜（幅度頻譜和相位頻譜）之間存在一一對應的關系。存在

17、一一對應的關系。 離散性： 頻譜由不連續(xù)的線條組成，每一條線代表一個正弦量，頻譜由不連續(xù)的線條組成，每一條線代表一個正弦量，故稱為離散頻譜。故稱為離散頻譜。 諧波性： 頻譜的每條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上。頻譜的每條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上。 收斂性： 各次諧波的振幅，總的趨勢是隨著諧波次數(shù)的增高而逐各次諧波的振幅，總的趨勢是隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小。漸減小。 一般將最大的頻譜幅度形象化稱為一般將最大的頻譜幅度形象化稱為主峰高度。主峰高度。第三章 連續(xù)信號的正交分解36 頻帶寬度 理論上周期信號的諧波分量無限多。實際只考慮頻理論上周期信號的諧波分量無限多。實際只考慮頻

18、率較低的一部分分量。率較低的一部分分量。 周期信號的頻帶寬度周期信號的頻帶寬度從零頻率開始到需要考慮從零頻率開始到需要考慮的最高分量的頻率間的這一頻率范圍，簡稱的最高分量的頻率間的這一頻率范圍，簡稱帶寬帶寬。 包絡線為抽樣函數(shù)包絡線為抽樣函數(shù)的頻譜的頻帶寬度的頻譜的頻帶寬度從從零頻率零頻率開始到頻譜包絡開始到頻譜包絡線線第一次過零點的頻率第一次過零點的頻率(2/)之間的頻率范圍。之間的頻率范圍。 一般信號一般信號的頻譜的的頻帶寬度的頻譜的的頻帶寬度從從零頻率零頻率開始到頻譜振幅降為開始到頻譜振幅降為包包絡線最大值（主峰高度）的絡線最大值（主峰高度）的1/10的頻率之間的頻率范圍。的頻率之間的頻

19、率范圍。 一切脈沖信號的脈寬一切脈沖信號的脈寬（脈沖寬度脈沖寬度 ）與頻寬成反比；與頻寬成反比；時間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。時間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。第三章 連續(xù)信號的正交分解37 離散頻譜與連續(xù)頻譜 時域時域中中連續(xù)的周期函數(shù)連續(xù)的周期函數(shù)，它的頻譜在，它的頻譜在頻域頻域中是中是離離散的非周期函數(shù)。散的非周期函數(shù)。 當周期增大，頻譜也相應地漸趨密集，頻譜的當周期增大，頻譜也相應地漸趨密集，頻譜的幅度也相應的漸趨減小。當幅度也相應的漸趨減小。當 T （周期函數(shù)（周期函數(shù)變成非周期函數(shù)）時，頻譜線無限密集，頻譜幅變成非周期函數(shù)）時，頻譜線無限密集，頻譜幅度無限趨

20、小。這時，度無限趨小。這時，離散頻譜就變成連續(xù)頻譜離散頻譜就變成連續(xù)頻譜。即，即，時域時域中中連續(xù)的非周期函數(shù)連續(xù)的非周期函數(shù)，它的頻譜在，它的頻譜在頻域頻域中是中是連續(xù)的非周期函數(shù)。連續(xù)的非周期函數(shù)。第三章 連續(xù)信號的正交分解383.5 3.5 傅里葉變換與非周期信號的頻譜傅里葉變換與非周期信號的頻譜 頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù) ，簡稱頻譜函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)傅里葉正變換式傅里葉正變換式第三章 連續(xù)信號的正交分解39tjnnneAtf21)(ntjnneTATtf21)(dTndT22,時，tjejFdtf)(2)(dejFtj)(21傅里葉反變換式傅里葉反變換式第三章 連續(xù)信號的正交分解40非周

21、期信號的傅里葉變換dtetfjFtj )()( dejFtftj)(21)()()( jFtf一般來說，傅里葉變換存在的一般來說，傅里葉變換存在的充分條件充分條件為為 f(t) 應滿足絕應滿足絕對可積，對可積， 即要求即要求 dttf)(第三章 連續(xù)信號的正交分解41與周期信號的傅里葉級數(shù)類似，與周期信號的傅里葉級數(shù)類似， 一般為復函數(shù)一般為復函數(shù))( jF)()()( jejFjF )( jF )(稱為稱為幅頻幅頻特性；特性；稱為稱為相頻相頻特性。特性。頻率特性頻率特性第三章 連續(xù)信號的正交分解423.6 3.6 常用信號的傅里葉變換常用信號的傅里葉變換 0第三章 連續(xù)信號的正交分解430第

22、三章 連續(xù)信號的正交分解44第三章 連續(xù)信號的正交分解45jt1)()(=第三章 連續(xù)信號的正交分解46p.115dtetfjFtj)()()(2222jjtjeejAdtAe)2(22SaASinA第三章 連續(xù)信號的正交分解473.7 3.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 )(2ctjce)(21)()(2coscctjtjccceet)()(2sincctjtjcjjeetcc第三章 連續(xù)信號的正交分解48一般周期信號一般周期信號ntjnneAtf21)(222,)(2TTtjnnTdtetfTAnntjnnnntjnnnAeFAeAFtfFjF)(2121)()(第三章 連續(xù)

23、信號的正交分解例3-5 求均勻沖激序列的傅里葉變換。nTnTtt)()(22002222)(2)(2TTjjTTtjnnTeTdtetTdtetTA)()(2)()(nnnnTnAjF第三章 連續(xù)信號的正交分解1. 線性特性線性特性 )()()()(22112211jFajFatfatfa),()(),()(2211jFtfjFtf且設a1, a2為常數(shù)，則有 若 3.8 3.8 傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換的基本性質(zhì) 第三章 連續(xù)信號的正交分解512.2.延時特性延時特性 )()(11jFtf若含義：信號在時域中延時對應在頻域中移相。0)()()(101tjejFttftf則第三章 連續(xù)信

24、號的正交分解52)(tG)(tG第三章 連續(xù)信號的正交分解533.3.移頻特性移頻特性 )()(jFtf若)()(ctjjjFetfc則表明：信號在時域中與因子 相乘，等效于頻域中頻率的轉(zhuǎn)移 tjce)()(21)()(21cos)(cctjtjcjjFjjFetfetfttfcc推論：第三章 連續(xù)信號的正交分解54第三章 連續(xù)信號的正交分解55例第三章 連續(xù)信號的正交分解564.4.尺度變換特性尺度變換特性 若 )()(jFtf則 )(1)(ajFaatf含義：在時域內(nèi),信號 沿時間軸壓縮至原來的 ,對應于頻域中，它的頻譜函數(shù)展寬 倍。即信號的脈寬與頻寬成反比。 )(tfa1a第三章 連續(xù)信

25、號的正交分解57第三章 連續(xù)信號的正交分解58)()(jFtf推論 例：求 的傅里葉變換 tttsgn解： tsgn第三章 連續(xù)信號的正交分解59例jjejFejFjFtftftf)()()()1()1()(3.21 (4)jejFjFjFtftftf)()()()1()()(或第三章 連續(xù)信號的正交分解60255)2(21)()()52()5()(jjejFejFjFtftftf3.21 (6)25)2(21)2(21)()25(2()2()(jejFjFjFtftftf或第三章 連續(xù)信號的正交分解615.5.奇偶特性奇偶特性 如果 是t的實函數(shù)，且設 )(tf)()()()()()(jXR

26、ejFjFtfj 則有 (1) )()(, )()()()(),()(jFjFXXRR(2) )()(, 0)(),()()()(, 0)(),()(jXjFRtftfRjFXtftf則如則如偶偶偶偶奇奇奇奇實偶實偶實偶實偶實奇實奇虛奇虛奇第三章 連續(xù)信號的正交分解623.13第三章 連續(xù)信號的正交分解636.6.對稱性質(zhì)對稱性質(zhì) )()(jFtf若)(2)(fjtF則)()()(Rtftf是偶函數(shù)，若)(2)(ftR則推論第三章 連續(xù)信號的正交分解641)( t)(21)(2)()()(fjtFjFtf213例例1例例2)sgn(2)sgn(22jt第三章 連續(xù)信號的正交分解65)()(tG

27、tf)2()(SajF)2()(tSajtF)(2)(2)(2GGf例例3)(2)2(GtSa)(2)2(GtSa第三章 連續(xù)信號的正交分解66 7 7、時域微分特性、時域微分特性 )()(jFtf若)()(jFjdttdf則)()()(jFjdttfdnnn含義：含義：信號對時間取導數(shù)，相當于在頻域中用因子信號對時間取導數(shù)，相當于在頻域中用因子 去乘它的頻譜函數(shù)去乘它的頻譜函數(shù)。 第三章 連續(xù)信號的正交分解678 8、時域積分特性、時域積分特性 )()(jFtf若)()0()(1)(FjFjdft則推論：推論：)()()(jFtfdttdg若則第三章 連續(xù)信號的正交分解68求導求導求導第三章

28、 連續(xù)信號的正交分解69第三章 連續(xù)信號的正交分解709 9、頻域的微分與積分性質(zhì)、頻域的微分與積分性質(zhì) 若若 )()(jFtf則則 djdFtjtf)()(djFttfjtf)()()()0(第三章 連續(xù)信號的正交分解7110.10.卷積定理卷積定理 1 1時域卷積定理時域卷積定理 )()()()(2121jFjFtftf2 2頻域卷積定理頻域卷積定理 )()(21)()(2121jFjFtftf第三章 連續(xù)信號的正交分解723.19第三章 連續(xù)信號的正交分解733.9 3.9 帕賽瓦爾定理與能量頻譜帕賽瓦爾定理與能量頻譜 （一）（一） 信號的能量信號的能量W W和平均功率和平均功率P P 1.1.