矩陣對角化問題

1、第五章矩陣對角化問題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對 階矩陣 ，nA1. 方陣對角化的概念尋找相似變換矩陣 ，使P)(1為對角陣APP這就稱為把方陣 對角化.A說明如果能找到可逆矩陣 ，使 ，則 可對角化；P APP1A如果找不到這樣可逆矩陣 ，則 不可對角化.PA目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 定理的引入定理的引入設(shè)有可逆矩陣 ，使 為對角陣. APP1P APP1 PAP ),(),(2121nnppppppA),(),(2121nnppppppA n 21P 下面回答 能否由 確定.A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(),(2221121nnpppApApAp jjjpAp ).,

2、 2 , 1(nj 這表明 的第 個(gè)列向量 是 的對應(yīng)于特征值 的特征向量，AjPj jp因而 由 和 確定，PA 也就是由 確定.A由于特征向量不是惟一的，所以矩陣 也不是惟一確定的.P目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反過來，是依次與之對應(yīng)的特征向量，則設(shè)矩陣 的 個(gè)特征值為 ，n ,21Annppp,21), 2 , 1(njpApjjj ),(),(2221121nnpppApApAp PAP ),(),(2121nnppppppA),(21npppP 當(dāng) 可逆，即 線性無關(guān)時(shí)，有Pnppp,21 APP1這表明方陣 能否對角化完全可用 的特征值和特征向量來刻畫.AA目錄 上頁 下頁 返回

3、 結(jié)束 由定理證明可知,如果矩陣A相似于對角矩陣, 設(shè) nAPP 211則矩陣P的列是A的線性無關(guān)的特征向量,對角矩陣的對角元素是P中列向量對應(yīng)的矩陣A的特征值. 若 則 的主對角元素即為 的特征值，,A A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 方陣可對角化的充要條件方陣可對角化的充要條件定理4 階矩陣 與對角陣相似(即 能對角化)nAA的充要條件是 有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量.An推論 若 階矩陣 的 個(gè)特征值互不相等，則 與對角陣相似.(逆命題不一定成立）nnAA說明當(dāng) 的特征方程有重根時(shí)，不一定有 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化；An但是，有重根時(shí)，也有可能能對角化. 所以特征值互

4、不相等只是 與對角陣相似的充分條件.A目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 下述定理可將關(guān)于可對角化條件更精細(xì)地刻畫出來.定理: 設(shè)t ,21是n階方陣A的全部不同的特征值,其重?cái)?shù)分別為,21tnnn則A可以對角化的充分必要條件為對應(yīng)i 有in個(gè)線性無關(guān)的特征向量.注注: 對應(yīng)于i 的所有線性無關(guān)特征向量的基是0)( xAEi 的基礎(chǔ)解系.個(gè)向量,故n階方陣A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)對A的每一個(gè)in重特征根,i 0)( xAEi 的基礎(chǔ)解系恰有in當(dāng)且僅當(dāng).)(iinnAEr 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 判斷下列實(shí)矩陣能否化為對角陣？122(1) 224242A 212(2) 533102A 解: 7

5、22 0 122(1)224242AE 得1232,7 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得基礎(chǔ)解系12221 ,0 .01pp 當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為122 20AE X 1222244244AE 122000000 12322xxx 當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為 70AE X37 8227254245AE 1102011000 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得基礎(chǔ)解系3122p 132312xxxx 123, ppp線性無關(guān)即A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對角化。目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 212(2)533102AE 310 212 533102A 得基礎(chǔ)解系11 ,1 所以 不能化

6、為對角矩陣.A1231. 當(dāng) 時(shí)，齊次線性方程組為 0AE X1231 312523101AE 101011000 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 設(shè),00111100 xA問 為何值時(shí)，矩陣能對角化？x解解: 析：此例是定理的應(yīng)用.定理表明： 階矩陣 可對角化nA有 個(gè)線性無關(guān)特征向量.An由此可推得另一個(gè)充要條件：對 的每個(gè)不同的特征值 ， 的重?cái)?shù)Ai i =對應(yīng)于 的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)i ).(EARni 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 011110 xEA 11)1()1()1(2 所以的特征值為 1(二重)， .1 對應(yīng)于單根 ，可求得線性無關(guān)的特征向量1個(gè)；1 對應(yīng)于二重特征

7、值 1，若 能對角化，則A, 2)(3 EAR123)( EAR目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10101101xEAr 000100101x要使 ，則1)( EAR, 01 x即. 1 x說明解答此題的關(guān)鍵是將 取值條件“ 可對角化”轉(zhuǎn)化為“二重特征值 1 應(yīng)滿足 ”，從而求得.xA123)( EAR矩陣 能否對角化，取決于它的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，而與 的秩， 的行列式都無關(guān).AAA目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四四.矩陣對角化的實(shí)現(xiàn)的步驟矩陣對角化的實(shí)現(xiàn)的步驟:若矩陣若矩陣A可以對角化可以對角化,(1)求出A的所有特征值,21t 其重?cái)?shù)分別為,21tnnn(2)對每一個(gè) , 求出 的基礎(chǔ)解系 ,i 0)( xAEi niiii ,21從而得對應(yīng) 的 個(gè)線性無關(guān)的特征向量i in., 2 , 1,21tiniiii其中(3)用(2)中求得的特征向量形成矩陣),(21222211121121ntnntttP 則有 tnttnndiagAPP ,2122111目錄 上頁 下頁