第三節(jié) 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 4.3 4.3 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)本節(jié)要點(diǎn)：本節(jié)要點(diǎn)： 兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān) 系數(shù)系數(shù) 矩矩一、兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、兩個(gè)隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) P1031 1、定義、定義（一）協(xié)方差（一）協(xié)方差 隨機(jī)變量隨機(jī)變量(X,Y)的數(shù)學(xué)期望和方差，從不同的數(shù)學(xué)期望和方差，從不同方面刻劃了各自的特征。對(duì)于二維隨機(jī)變量，方面刻劃了各自的特征。對(duì)于二維隨機(jī)變量，在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)就是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)設(shè)設(shè)(X,

2、Y) 是二維是二維R.V,若若 Cov(X,Y)=EX -E(X)Y -E(Y) ()() EXE XYE Y 存存在在, ,X與與Y 的協(xié)方差的協(xié)方差. 即即 則稱它為則稱它為特殊地特殊地2、協(xié)方差的性質(zhì)、協(xié)方差的性質(zhì) COV(X,X)=DX若若X1,X2, ,Xn兩兩獨(dú)立，上式化為兩兩獨(dú)立，上式化為D(X+Y)= D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y)4 4）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系和的方差與協(xié)方差的關(guān)系),(2)()(11jininijiiiXXCovXDXD niniiiXDXD11)()(D(aX+bY)=),(222YXabCOVDYbDXa D(X-Y)= D

3、(X)+D(Y) - 2Cov(X,Y)計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)若若 X與與Y獨(dú)立獨(dú)立，則則Cov (X,Y)= 0 若若 Cov(X,Y) 0 ，則則X與與Y不不獨(dú)立，即它們之獨(dú)立，即它們之間存在一定的關(guān)系。間存在一定的關(guān)系。(,)0Cov X Y XY與與 獨(dú)獨(dú)立立。 例例1、設(shè)、設(shè)(X,Y)的的p.d.f 為：為： 其它,01,1),(22yxyxf(,)Cov X Y求求。(,)()() ( )Cov X YE XYE X E Y ()(,)E Xxfx y dxdy dxxx 21112( )0E Y 同同理理：

4、()(,)E XYxy fx y dxdy (,)()()( )Cov X YE XYE X E Y 所所以以21x 21x dyydxxxx 1111221 11dx0 0 dyxx 2211x-110y122 yx解：解：001x 2002數(shù)三（數(shù)三（3） 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X和和Y的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為 Y -1 0 1 0 0.07 0.18 0.151 0.08 0.32 0.20 X則則X2和和Y2的協(xié)方差的協(xié)方差cov(X2，Y2)=-0.02解：解： cov(X2，Y2)= EX2Y2 EX2EY2EX2Y2 =10.08+ 10.2=0.28EX2= 10.6=0

5、.6 EY2= 10.15+ 10.35 =0.5cov(X2，Y2)=0.28-0.3=-0.02為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)(,)XYCOV X YDXDY （二）相關(guān)系數(shù)（二）相關(guān)系數(shù) 1、定義、定義,(,)00 ()X YCOV X YEXYEXEYD XYDXDY 注：注：XY 是一個(gè)無(wú)量綱的量；是一個(gè)無(wú)量綱的量；稱稱X,Y不相關(guān)不相關(guān),此時(shí)此時(shí)COV(X,Y)=0。0XY 若若若若X,Y不相關(guān)，則：不相關(guān)，則：EXY =EX EY 22()D aXbYa DXb DY2、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),1) 1X Y ,2) 1X Y 存在常數(shù)存在常數(shù)a,b使使PY

6、=a+bX=13）若）若X，Y獨(dú)立，則獨(dú)立，則X,Y不相關(guān)。不相關(guān)。例例7 設(shè)設(shè)X服從服從(-1/2, 1/2)內(nèi)的均勻分布內(nèi)的均勻分布,而而Y=cos X,求求 (X,Y) 其它其它, 02121 1)(xxfX解：解：E(X)=0，21sin2cosx )(cosxf )(cos)(2121 dxdxxXEYEX即即X和和Y不相關(guān)不相關(guān) .但但Y與與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系， 即即X和和Y不獨(dú)立不獨(dú)立 .Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0，1212()(cos) Xcosxf ( ) cos 0XE XYE XXx dxXx dx 因而因而 = 0 ，記，記，是二個(gè)隨機(jī)變量

7、，已知是二個(gè)隨機(jī)變量，已知，、設(shè)、設(shè)例例1cov418 YXDYDXYXYXYX 22 ，試求：試求：， 解：解： YXDD2 YXDYDX，cov44 14441 YXDD 2 YXDYDX，cov44 14414 YXYX 22covcov， YYYXXYXX，cov2covcov4cov2 DYYXDX2cov52 ，421512 5 所以，所以， DD，cov 26135 4135 二、二維正態(tài)分布的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)二、二維正態(tài)分布的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)221122, ,EXDXEYDY2212(,)Cov X Yr 221212,X YNr設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量()，()， 221

8、212Nr 二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的充充分分必必要要條條件件是是 ：0 r定理定理3.53.5三、原點(diǎn)矩和中心矩三、原點(diǎn)矩和中心矩定義：設(shè)定義：設(shè)X是隨機(jī)變量，是隨機(jī)變量，k為正整數(shù)，若為正整數(shù)，若E(X k)存在，則稱它為存在，則稱它為X的的k階原點(diǎn)矩，記為階原點(diǎn)矩，記為akak = E(X k) k=1,2, 特殊地特殊地a1 = E(X) 1()kkiiiEXxp ( )kkEXx f x dx 定義：定義： 若若EX -E (X)k存在，則稱它為存在，則稱它為X的的k階中心矩，記為階中心矩，記為bkbk = EX -E (X)k k=1,2, 特殊地特殊地b1 = EX -E (X) 1(-E) ()kkiiiE XXxEXp (-E)()( )kkE XXxEXf x dx 定義：定義： 若若EX -E (X)k Y -E (Y)l k,l=1,2, 存在，則稱它為存在，則稱它為X和和Y的的k+l階混合中心矩階混合中心矩.11 klklijijijEXYx y p ( , )yklklEX Yx y f x y dxd 定義：對(duì)二維隨機(jī)變量定義：對(duì)二維隨機(jī)