高考理科統(tǒng)計(jì)與概率?？碱}型及訓(xùn)練

1、高考統(tǒng)計(jì)與概率知識點(diǎn)、題型及練習(xí)1 隨機(jī)變量1. 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件： 試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行； 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個； 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。它就 被稱為一個隨機(jī)試驗(yàn).2. 離散型隨機(jī)變量：如果對于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。若是一個隨機(jī)變量，a，b是常數(shù).則也是一個隨機(jī)變量。一般地，若是隨機(jī)變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機(jī)變量.也就是說，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為：取每一

2、個值的概率，則表稱為隨機(jī)變量的概率分布，簡稱的分布列.P 性質(zhì)：； .3. 二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：(其中)。 于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作B（n，p），其中n，p為參數(shù)。. 二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用：二項(xiàng)分布，實(shí)際是對n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布。當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求

3、其分布列。4. 幾何分布：“”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時事件A發(fā)生記為，事件A不發(fā)生記為，那么根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：，于是得到隨機(jī)變量的概率分布列.123kPqqp我們稱服從幾何分布，并記，其中5. 超幾何分布：對一般情形，一批產(chǎn)品共件，其中有件不合格品，隨機(jī)取出的件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)的分布如下表所示：其中網(wǎng)高考資源網(wǎng)一般地，若一個隨機(jī)變量的分布列為，其中，則稱服從超幾何分布，記為，并將，記為 超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取n件(1na+b)，則次品數(shù)的分布列為. 超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系:設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b

4、件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數(shù)服從超幾何分布。若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個可能結(jié)果，等可能：含個結(jié)果，故，即.(我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法)可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，因此二項(xiàng)分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.1. 已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球的2分,取出一個黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機(jī)會均等)3個球,記隨機(jī)變量X為取出3球所得分?jǐn)?shù)之和.(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).2. 一

5、盒零件中有9個正品和3個次品，每次取一個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布。3. 一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得正品時所需次數(shù)的概率分別布.(1) 每次取出的產(chǎn)品不再放回去；(2) 每次取出的產(chǎn)品仍放回去；(3) 每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中.二、數(shù)學(xué)期望與方差.1. 期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P01Pqp則稱為的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2. 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望： 當(dāng)時，即常數(shù)的數(shù)學(xué)

6、期望就是這個常數(shù)本身.當(dāng)時，即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的期望等于的期望與這個常數(shù)的和.當(dāng)時，即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積. 單點(diǎn)分布：其分布列為：. 兩點(diǎn)分布：，其分布列為：（p + q = 1） 二項(xiàng)分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率） 幾何分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3.方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量的分布列為時，則稱為的方差. 顯然，故為的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小，穩(wěn)定性越高，波動越小.4. 方差的性質(zhì). 隨機(jī)變量的方差.（a、b均為常數(shù)）01Pqp 單點(diǎn)分布： 其分布列為 兩點(diǎn)

7、分布： 其分布列為：（p + q = 1） 二項(xiàng)分布： 幾何分布： 5. 期望與方差的關(guān)系. 如果和都存在，則 設(shè)和是互相獨(dú)立的兩個隨機(jī)變量，則 期望與方差的轉(zhuǎn)化： （因?yàn)闉橐怀?shù)）.三、正態(tài)分布1. 正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機(jī)變量的概率密度為：. （為常數(shù)，且），稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達(dá)式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布的期望與方差：若，則的期望與方差分別為：.正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線對稱.當(dāng)時曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)時，曲線上升；當(dāng)時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左

8、、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3. “3”原則:假設(shè)檢驗(yàn)是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)可歸結(jié)為如下三步：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，統(tǒng)計(jì)假設(shè)里的變量服從正態(tài)分布.確定一次試驗(yàn)中的取值是否落入范圍.做出判斷：如果，接受統(tǒng)計(jì)假設(shè). 如果，由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計(jì)假設(shè).“3”原則的應(yīng)用：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則 落在內(nèi)的概率為99.7 亦即落在之外的概率為0.3，此為小概率事件，如果此事件發(fā)生了，就說明此種產(chǎn)品不合格（即不服從正態(tài)分布）.四、解答離散型隨機(jī)變量的分布

9、列及相關(guān)問題的一般思路(1) 明確隨機(jī)變量可能取哪些值；(2) 結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值；(3) 根據(jù)分布列和期望、方差公式求解五、?？碱}型題型一與超幾何分布有關(guān)的離散型隨機(jī)變量的分布列與期望1. 為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運(yùn)動員5名，其中種子選手3名從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽(1) 設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2) 設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望2. 一盒中

10、裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3，從盒中任取3張卡片.（1）求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率;（2）表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列（注：若三個數(shù)滿足，則稱為這三個數(shù)的中位數(shù)）.題型二與互斥、獨(dú)立事件有關(guān)的離散型隨機(jī)變量的分布列與期望1. 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1) 求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2) 記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)

11、2. 一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項(xiàng)，其中有且只有一個是正確的評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個選項(xiàng)，答對得5分，不答或答錯得零分”某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項(xiàng)是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項(xiàng)是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜請求出該考生：(1) 得60分的概率；(2) 所得分?jǐn)?shù)的分布列和均值3. 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立（1）求甲在局以內(nèi)（含局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，

12、求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）4. 某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別是和. 現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B. 設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立. （1）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；（2）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲得利潤100萬元. 求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望. 題型三 與統(tǒng)計(jì)交匯的離散型隨機(jī)變量的分布列與期望1. 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立(1) 求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不

13、低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2) 用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)2. 如圖，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖(1) 求直方圖中x的值；(2) 若將頻率視為概率，從這個城市隨機(jī)抽取3位居民(看做有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和均值。針對練習(xí)1. 端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個(1) 求三種粽子各取到1個的概率；(2) 設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求

14、X的分布列與數(shù)學(xué)期望2. 為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：()顧客所獲的獎勵額為60元的概率；()顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適

15、的設(shè)計(jì)，并說明理由3. 某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì)(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率(2)某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望4. 某市目前提出，要提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，努力實(shí)現(xiàn)“幸福全市”的共建共享現(xiàn)隨機(jī)抽取50位市民，對他們的幸福指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布表：幸福級別非常幸福幸福不知道不幸福幸福指數(shù)(分

16、)9060300人數(shù)(個)192173(1)求這50位市民幸福指數(shù)的數(shù)學(xué)期望(即平均值)；(2)以這50人為樣本的幸福指數(shù)來估計(jì)全市市民的總體幸福指數(shù)，若從全市市民(人數(shù)很多)任選3人，記表示抽到幸福級別為“非常幸福或幸?！笔忻竦娜藬?shù)求的分布列；(3)從這50位市民中，先隨機(jī)選一個人，記他的幸福指數(shù)為m，然后再隨機(jī)選另一個人，記他的幸福指數(shù)為n，求n<m60的概率P.5. 已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件

17、產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)6. 乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為，在D上的概率為.假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響求：(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；

18、(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望7. 廠家在產(chǎn)品出廠前,需對產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批產(chǎn)品.（1）若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8，從中任意取出4件進(jìn)行檢驗(yàn),求至少有1件是合格的概率；（2）若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中,其中有3件不合格，按合同規(guī)定該商家從中任取2件。都進(jìn)行檢驗(yàn)，只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒收，求出該商家檢驗(yàn)出不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及期望，并求出該商家拒收這批產(chǎn)品的概率。8. 某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、,且各輪問題能否正確回答互不影響.（1）求該選手被淘汰的概率;（2）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.9. 某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為3