高中數(shù)學(xué)【W(wǎng)ord版題庫】3.2-用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值

1、3.2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值一、填空題1. 假設(shè)f(x) = x解析 由題意，得y3x2+ 2x + m>0解集為R,所以 = 4 12mc0,解得m>g. 1答案 3，+4 .函數(shù)f (x) = x3 3x2+ 1在x = 取得極小值.解析 由 f'(x) = 0,得 x= 0 或 xf '(x) >0得 xv0 或 x>2, 由f'(x) v0得Ovxv 2,所以f (x)在x = 2處取得極小值.答案2 x3225. 函數(shù)f(x) = 3 (4m- 1)x + (15m 2m 7)x + 2在實數(shù)集R上是增函數(shù)， 那么實數(shù)m的取值范圍

2、是.解析 f'(x) = x2 2(4m 1)x + 15卅2m 7,依題意，知f'(x)在R上恒大于 或等于 0,所以= 4(m 6m+ 8) <0 得 2< me4.答案2,4+ 3ax2 + 3(a+ 2)x+ 1有極大值和極小值，那么a的取值范圍是解析f'(x) = 3x2+ 6ax+ 3(a + 2)，由題意知f'(x) = 0有兩個不等的實根，由 = (6 a) 4x 3x 3( a + 2) > 0，即卩 a a 2> 0,解得 a>2 或 av 1.答案(, 1) U (2 ,+*)2. 函數(shù)f(x) = In x

3、+ 2x，假設(shè)f(x2 + 2) vf(3x)，那么實數(shù)x的取值范圍是1解析 由 f(x) = In x+ 2x，得 f '(x) = - + 2xln 2 >0，x (0，+)，x所以 f (x)在(0，+x)上單調(diào)遞增，又 f (x2+ 2) v f (3 x)，得 0v x2+ 2v 3x， 所以 x (1,2).答案(1,2)3. 假設(shè)函數(shù)y = x3+ x2 + m>+ 1是R上的單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是2n nn6. 函數(shù) f (X) = x COS x , x 2 , 2，那么滿足 f(Xo) > f 的 Xo 的取nn解析f (x)是偶函數(shù)，且

4、由f'(x) = 2x+ sin x>0 0< x，知f (x)在0,空nnnn上單調(diào)遞增，所以由f (xo)> f-3，得f(|xo|)> f-3，從而§ V|Xo|, 解得于< XoV-?；?qū) xw牙答案7. 函數(shù)f (X) = X3+ ax2 + 3x 9,f (X)在x= 3時取得極值，那么a=.解析/ f '(x) = 3x + 2ax + 3，又f(x)在x = 3時取得極值， f' ( 3) = 30 6a = 0,那么 a = 5.答案58. 函數(shù)f(x)的定義域為(一2,2)，導(dǎo)函數(shù)為f'(x) = x

5、2 + 2cos x且f(0)=0,那么滿足f(1 + x) + f(x2 x) > 0的實數(shù)x的集合是.解析 因為當(dāng)x ( 2,2)時，f '(x) >0且為偶函數(shù)，所以f(x)是奇函數(shù)且在(2,2)上單調(diào)增，于是由 f(1 + x) > f (x2 x) = f (x x2),得2v x x2v 1 + x v 2,解得1 v x v 1.答案(一1,1)9. 假設(shè) a>0, b>0,且函數(shù) f (x) = 4x3 ax2 2bx+ 2 在 x = 1 處有極值，那么 ab的最大值為.解析由題意，x= 1是f'(X)= 12x2 2ax 2b的

6、一個零點，所以12 2a 2b=0, 即卩 a+ b = 6(a>0, b>0)，因此 abwa+ b 229,當(dāng)且僅當(dāng)a= b = 3時等號成立.答案 910. 設(shè)a R,假設(shè)函數(shù)y eax + 3x, x R有大于零的極值點，那么a的取值范圍是.133解析 由y'= a, + 3= 0,得x=-|n -,所以一->0, av0,又因為有正根,aaaav 0,所以必有3得av 3.Ov v 1,a答案(s, 3)11. 函數(shù)f(x) = x3 3ax15. 函數(shù)f (x) = x3+ ax2+ bx+ c在x = 3與x= 1時都取得極值. + 3xf(x)在區(qū)間(

7、2,3)中至少有一個極值點，那么 a的取值范圍是.解析 f '(x) = 3x2 6ax+ 3= 3( x a)2+ 1 a2.當(dāng)1 a2>0時，f '(x) >0, f(x)為增函數(shù)，故f (x)無極值點；當(dāng) 1 a v 0 時，f (x) = 0 有兩個根 X1 = a=：； a 1, X2 = a+匕.一 a 1.由題意，知2 v a ； a 1 v 3,或 2va+，:a2 1v3,55無解，的解為4< av 3,55因此a的取值范圍為4, § .答案4, i12. 函數(shù)f(x)的定義域為(a, b)，導(dǎo)函數(shù)f '(x)在(a, b)

8、內(nèi)的圖象如下列圖，貝U函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)有極小值點的個數(shù)為 .解析f '(x)圖象與x軸的交點從左至右第1個與第4個是極大值點，第2個是 極小值點，x = 0不是極值點.答案1個13. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f=1, f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y = f'(x)的圖象如下列圖，b+ 1假設(shè)兩個正數(shù)a, b滿足f(2a+ b) v 1,那么不的取值 范圍是.解析 當(dāng)x 0 ,+s)時，f '(x) > 0,所以f (x)在區(qū)間0 ,+s)上單調(diào)遞增,Ov 2a+ bv 4,于是由f(2a+ b) v f，得它表示的平面區(qū)域如下列圖(不包a

9、>0, b>0,括邊界),1所以kPA<b+ 1a+ 1v kpB=5.1答案1, 5二、解答題14. 函數(shù)f(x) = x2 (1)求a, b的值以及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 假設(shè)對x 1,2，不等式f (x) v c2恒成立，求c的取值范圍.解析 (1) f'(x) = 3x2+ 2ax+ b.+ ax2 + bx(a, b R)的圖象過點P(1,2),且在點P處的切 線斜率為8.(1) 求a, b的值；(2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；解析(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點P(1,2)，得f(1) = 2,所以a+ b= 1.因為函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8,所以

10、f' (1) = 8,又 f'(X)= 3x + 2ax+ b,所以 2a+ b= 5.解由組成的方程組，可得 a= 4, b= 3.2 1 由(1)得 f'(x) = 3x + 8x 3,令 f '(x) >0,可得 xv 3 或 x>-;1令f '(X) v 0,可得一3vxv3，故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一X, 3)與1 13，+，減區(qū)間為一3, 3.亠 2由題意可知f '(X)= 0的兩根為Xi= 3和X2= 1 ,2 22即 3X 一3 + 2a -3 + b二 °，23X1 + 2a x 1 + b = 0.

11、1 2 解得 a= 2, bf'(x) = 3x x 2.2 當(dāng) f '(X)> 0 時，解得 XV 3 或 X > 1.2 當(dāng) f'(X)V0 時，解得一3<XV 1.、 2 、 2 故函數(shù)f(X)的遞增區(qū)間是 一X, 3與(1 ,+x)，遞減區(qū)間是 一3, 1 .2 由 知，函數(shù)f(X)在1,2上的極大值為f 3，端點X = 2的函數(shù)值f(2),2 而 f 3 Vf(2)，故只需 f(2) Vc2即可因為 f(2) = 2 + c,所以 2+ cv c2.解得cV 1或c>2,故c的取值范圍為(x, 1) U (2 , +)116曲線f(X)

12、 = ln(2 X) + ax在點(0 , f(0)處的切線斜率為2，(1)求f(x)的極值； 設(shè)g(x) = f (X) + kx，假設(shè)g(x)在(X, 1)上是增函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.1 解析(1)f(x)的定義域是(一x, 2), f '(x) = x2 + a.111x1由題知 f' (0) = 2+ a = 2，所以 a = 1,所以 f '(x) = X2 + 1 = x 2.令 f '(x) = 0,得 x= 1.當(dāng)X變化時，f '(X), f(x)的變化情況如下表所示X(X, 1)1(1,2)f'(x)+0一f(x)1所以f(

13、x)在x= 1處取得極大值1，無極小值.1 g(x)二ln(2 -X) + (k + 1)x, g'(x)二廠 + 仆+ 1),1由題知g'(x)?0在(, 1)上恒成立，即k> x- 1在(, 1)上恒成立, 2 x1 1因為xv 1,所以2 x> 1,所以O(shè)v2 xv 1,所以一1 v2x 1< 0,所以k?0.故實數(shù)k的取值范圍是0 ,+).17. 函數(shù) f (x) = x3 ax 1.(1) 假設(shè)f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2) 是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減？假設(shè)存在，求出a的取值范 圍；假設(shè)不存在，請說明

14、理由.解析(1) f'(X)= 3x2 a,故3x2 a?0在R上恒成立， a< 0.f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞減，那么3x2 aW0在(一1,1)上恒成立，即a>3x2在(一1,1)上恒成立， a> 3.18. 函數(shù) f(x) = (a+ 1)ln x + ax2 + 1.(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2) 設(shè) av 1,如果對任意 X1, X2 (0,+x), |f(x" f(X2)| >4“一x?|，求 實數(shù)a的取值范圍.a+ 12ax2 + a+ 1解析(1)f(x)的定義域為(0,+x), f '(x) = + 2ax =

15、x .入入當(dāng)a?0時，f '(x) >0,故f(x)在(0 ,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a< 1時，f'(x) v0,故f(x)在(0,+x)上單調(diào)遞減;當(dāng)一1 v av 0 時,令 f '(x) = 0,解得 x =a+ 12a .所以當(dāng)x 0,a+ 1 +x2a，+a+ 1時，f '(x) >0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x2a時，f'(x) v 0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 不妨設(shè)X1 >X2,而av 1,由(1)知f(x)在(0,+x)上單調(diào)遞減，從而對于 任意的Xi, X2 (0,+x), |f(Xi) f(X2)| > 4|Xi X2|成立