高中數(shù)學(xué)--解三角形

1、解三角形解三角形般地，三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。1.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a bsin Asin Bc2Rsin C a 2Rsi nA， b 2Rsi nB， c 2Rsi nC sin A，sin B 2R，sin C 2Rc2Rabcabc=2Rsin Asin Bsin Csin Asin B sin C a : b : csin A:sin B :sin C2.三角形的面積公式1正弦定理：S abc -absinC23.余弦定理：1a222b c 2bccosA ， cos Ab22bc2 2 . 2 a c h2b2

2、a2 c2 2ac cos B，cosB -2ac2 , 2 2b2 a2 2ba cosC，cosCabc2ab4.射影定理利用向量數(shù)量積的幾何意義即投影的知識證明：1abcosCccosB2ba cosCccosA3ca cosBbcos A5.利用余弦定理判斷三角形解的個數(shù)三角形兩邊以與一邊的對角，假設(shè)A角以與a邊、b邊，那么由余弦定理得2 2 2 2 2 2abc 2bc cos A即c 2b cos A c b a0，得到一個關(guān)于 C的一元二次方程，通過求解即可得到三角形解的個數(shù)1當(dāng) 0時，C的解就有2個不同的解，因此三角形便有兩個。2當(dāng) 0時，C的解就有2個一樣的解，因此三角形便有

3、一個。3當(dāng) 0時，C的解就有無實(shí)數(shù)解，因此不存在這樣的三角形。6.利用余弦定理判斷三角形的形狀三角形的三邊或者兩邊一角，可以判斷三角形的形狀。銳角、鈍角、直角，等腰、非等腰2 2 2銳角、鈍角、直角三角形的判定，判定方法：由cos A C 得，2bcCD 當(dāng) b22 c2 a0時，cos A0,A02,ABC為銳角三角形當(dāng)b22 c2 a0時，cos A0,A,2ABC為直角三角形當(dāng)b22 c2 a0時，cos A0,AJ,ABC為鈍角三角形2解三角形中需要注意：1一般情況下我們在解三角形中采用的方法是“邊化角、角化邊，也就是說我們一般要將所求的式子化成全部都是角的形式或者邊的形式，利于我們采

4、用正弦定理和余弦定理以與三角函數(shù)的知識解題。2正確選用正弦定理和余弦定理：我們一般遇到一次形式的式子以與帶有比例的式子可 以考慮使用正弦定理；如果遇到二次的式子或者通過邊來求角的問題一般采用的是余弦定 理。3我們還需要注意一點(diǎn)的是余弦定理可以利用邊來求角，但是正弦定理只可以得到角的 正弦的比值，而不可以得到角的比值甚至具體的值。4其次，我們在解題中還需要考慮一些根本的知識，例如“大角對大邊，小角對小邊"5解題中利用ABC中A B C，以與由此推得的一些根本關(guān)系式進(jìn)展三角變換的運(yùn)算，如：sin (A B) si nC,cos(A B) cosC, ta n(A B) tanC7.三角形

5、面積定理.S - absinC -bcsin2 2 2注意：在銳角三角形中，任意兩角之和大于2例題講解1：在厶 ABC中,假設(shè) a : b : c 1:3:5,求 2sinA sinB 的值.si nC解析：由條件asin A1si nA!s inCcsi nC55同理可得sin B3 sin C .52.2sin A sin B _13si nCsi nC55si nCsin C2. 14假設(shè) ABC勺面積為 J3 , BG=2, C=60，那么邊AB的長度等于 【解析】由于 ABC勺面積為.3 , BC=2,C=60，所以32 AC蘭3 ,所以 ac=2, ABC2【答案】2為正三角形，所

6、以AB=2.3. 17在 ABC中，角A, B, C對邊的邊長分別是a,b,I假設(shè) ABC的面積等于、3，求a, b ；n假設(shè)sin B 2sin A，求 ABC的面積.解：I由余弦定理得,2 2a b ab 4,又因?yàn)?ABC的面積等于3 ,所以 1 absin C . 3 ,2得aba2聯(lián)立方程組abb2 ab4,n由正弦定理,條件化為b 2aa2聯(lián)立方程組b 2a,b2ab4'解得a2.334.33所以 ABC的面積S1 absin C22.3312分4.全國 n 17在 ABC 中，cos A_513cosBI求n設(shè)解：I由 cosBsin C的值;BC 5 ,求厶ABC的面積

7、.丄5由 cos A,得 sin A13341213 ,得sin B 所以sin C55sin(A B)sin AcosB cos As in B1665n由正弦定理得 AC BC sinBsin A5 45 5 1312 313所以 ABC的面積S1BC AC si nC 5213T16655. 17設(shè)厶ABC勺角A,B, C的對邊分別為a, b, c.b2、3bc，求:IA的大小;n 2sin BcosCsin( BC的值.解：I 由余弦定理,2c 2bccosA,故 cosA2 2 2b c a2bc3bc2bc所以An ) 2sin BcosCsin(B C)2sin BcosCsin

8、 BcosC(sinBcosC cosBsinC) cosBs in Csin (B sin(sin AC)A)16. 16本小題總分值10分設(shè)厶ABC的角A B、C所對的邊分別為a,b,c , . a 1,b2,cosCI 求厶ABC的周長;(n )求 cos(A C.)解析:12 2 2154asinC158/ ac,C ,故A為銳角.1 sin2 A1 J5)2- cos(AC) cosAcosC si nAsi nC7 1 _J5 _J5 118 48416解三角形練習(xí)題一、選擇題1. 在厶 ABC中, b二爲(wèi),c=3, B=30,那么 a 等于A . 3 B . 12 3 C . 3

9、 或 23 D . 22. ABC 的周長為 9 ,且 si nA: si n B : si nC 3:2:4 ,那么 cosC 的值為 A 11C.22A.B.D -44333.A ABC中, a= 4, b= 43 , / A= 30°，那么/B等于A. 30° B. 30° 或 150°C. 60° D. 60° 或 120°4.在厶ABC中，假設(shè)sin Asin B，那么A與B的大小關(guān)系為A. A B B.ABC.A > BD.A、B的大小關(guān)系不能確定5.A ABC中, AB= 6,Z A= 30°,

10、/ B= 120°,那么 ABC勺面積為A. 9B. 18C 9、3D. 18 326、在厶ABC中，ab2 c2 be,那么角A為A. B.367、在厶ABC中，假設(shè) aeosA2 2C.D.或333beosB，那么 ABC的形狀是A.等腰三角形B.直角三角形8.在銳角三角形 ABC中，有A. cosA>sinB 且 cosB>sinAB . cosA<sinB 且 cosB<sinAC.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形D.cosA<s inB且 cosB>sinAC.cosA>s inB且 cosB<sinA9、在厶 ABC中,

11、2sin AcosB sinC,那么 ABC -定是D.正三角形A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形10. ABC的三邊長 a 3,b5,c6，那么 ABC的面積為A.14 B. 2 14C. .15D. 2 15"、 ABC的面積為-，且b 2,c3，那么/ A等于 2A. 30°B. 30° 或 150° C. 60°D. 60° 或 120°12、銳角三角形的邊長分別為2、3、x，那么x的取值圍是D. 、13x5A. 1 x 5 B .、5 x 13 C . 0 x 、5、填空題13、在厶 ABC 中，假設(shè)/

12、 A: / B: / C=1:2:3,那么 a : b：C14、在厶 ABC中, a 3.3,c2,B150。，那么 b =15、在厶 ABC中，A= 60°, B= 45°, a b 12，那么 a=; b=16. 在厶ABC中，si nA : si nB : sin C=3 : 5 : 7,那么此三角形的最大角的度數(shù)等于.三、解答題17. 在厶ABC中, a-b=4,a+c=2b，且最大角為120°,求厶ABC的三邊長.18.在 ABC 中,A、B為銳角，角Asin A5,sin B10510I求A B的值；II假設(shè)a b21，求a、b、c的值。B、C所對的邊分別為a、b、c，且119. 16)設(shè)厶ABC的角A、B C所對的邊分別為 a, b,c，. a 1,b 2,cosC丄4(I )求厶A