高中數(shù)學(xué)雙曲線拋物線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、雙曲線平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(2a4c。求雙曲線的離心率5e的取值范圍。解：直線I的方程為1,級(jí) bx+ay-ab=0。a b由點(diǎn)到直線的距離公式，且a 1,得到點(diǎn)1，0到直線I的距離憑，同理得到點(diǎn)-1，0到直線I的距離d2b(a1)a2 b2，s d1 d22ab2ab由s 5c，得詈 5c，即5aE2c2 。于是得 5, e2 1 2e2，即 4e4 25e2 25 0。5解不等式，得545。由于e 1 0,所以e的取值范圍是2 21例 3】設(shè)F1、F2分別是雙曲線7古i的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)雙曲線上存在點(diǎn)A，使F1AF290，且丨AFi | =3 | AF2 |,求雙

2、曲線的離心率。解：F1AF2 90：2AF12AF24c又 I AF1 | =3 | AF2 | ,二 AF1 AF2 2 AF2 2a 即 AF2 a,- AF12 AF229 AF2 2 AF210 AF2 2 10a2 4c2,102題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系方法思路：1、研究雙曲線與直線的位置關(guān)系，一般通過把直線方程與雙曲線方程組成方程Ax By C 0組，即 ,對(duì)解的個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，但必須注意直線與雙曲線有一個(gè)公共b x a y a b點(diǎn)和相切不是等價(jià)的。2、直線與雙曲線相交所截得的弦長：【例4】如圖，兩定點(diǎn)F1 . 2,0, F2V,0,滿足條件PF2 PF12的點(diǎn)P的軌跡是曲線E

3、,直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，如果AB使 OA OB mOC，求1曲線E的方程；2直線AB的方程；3m的值和 ABC的面積S。解：由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1( j2,0), F2C，2,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,且 c 、. 2 , a=1，易知 b , c2 a21。故直線E的方程為x2 y21(x0),設(shè) A(Xi,y) Bgg),y=kx-1由題意建立方程組y消去2 2 dx -y =1y,得(1 k2)x22kx 20。又直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A、B,有XiX-|X2k20,(2k)28(1 k2)0,2k 0 解得1 k2亠0.1 k1。又AB 1 k2 ?X

4、X2.廠k2?心 x2)2 4x,x22k2(1 k2)(2 k2)(1k2)2依題意得2 (1 k2)(2 k2)(1k2)26-、3，整理后得 28k455k2250 , k27 或 k2故直線AB的方程為3設(shè) C(xc，yc),由OAOB mOC，得(X1, yj(X2, y2)(mxc,myj ,二(xc,yc)(my1亠)(m 0)。 m又 X-|x22kk2 1y1 y2 k(x1 X2) 22k2k2 12/1點(diǎn) ce5,8)。m m將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線E的方程，的駕卑 1 ,m m得m 4，但當(dāng)m 4時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意。m 4，C點(diǎn)的坐標(biāo)為、一 5, 2，A

5、_ A_ ABC 的面積 S -63-3 。2 3一、拋物線高考動(dòng)向：拋物線是高考每年必考之點(diǎn)，選擇題、填空題、解答題皆有，要求對(duì)拋物線定義、性質(zhì)、直線與其關(guān)系做到了如指掌，在高考中才能做到應(yīng)用自如。一 知識(shí)歸納方程2y 2 px( p o)2y 2px(p 0)x2 2py(p0)2x2py(p 0)圖形J1dLyyVOl)/f /xy1O/FIOFOxl頂點(diǎn)0, 0對(duì)稱 軸x軸y軸焦占八 、八、Ff，0F知| F吋F0,自離心率e=1準(zhǔn)線l：x fl：x子l：y 2l：y 1二典例講解題型一拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程方法思路：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，因開口方向不同必要時(shí)要進(jìn)行分類討論，

6、標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2 mx或x2 mym 0?！纠?】根據(jù)以下條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。1拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線 I6x2 9y2144的左頂點(diǎn)；2經(jīng)過點(diǎn) A 2, 3；3焦點(diǎn)在直線 x-2y-4=0 上;4拋物線焦點(diǎn)在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點(diǎn) A,| AF | =5.2 2解：1雙曲線方程可化為 1，左頂點(diǎn)是-3, 0916由題意設(shè)拋物線方程為 y2 2px(p 0)且 P 3, p=6.方程為y212x2解法一：經(jīng)過點(diǎn) A 2, 3的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：y2 = 2px 或 x2 = 2py.9點(diǎn)A 2, 3坐標(biāo)代入，即 9= 4p,得2p=2一 24點(diǎn) A2, 3坐標(biāo)代入

7、x = 2py,即 4= 6p,得 2p= 一394所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y = x或x = y3解法二：由于 A 2, -3丨在第四象限且對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為y2 mx或x2ny ,94代入 A 點(diǎn)坐標(biāo)求得 m= , n=-,23所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2= -x或x2= 4y233令 x=0 得 y= 2,令 y=0 得 x=4 ,直線x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為0, -2，4, 0。焦點(diǎn)為0, -2，4, 0。拋物線方程為x28y或y2 16x。4設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程為 y2 2px( p 0) , A m, -3，由拋物線定義得5 AF m p ,2又(3)22 p

8、m , p 1 或 p 9 ,故所求拋物線方程為 y2 2x或y218x。題型二拋物線的幾何性質(zhì)方法思路：1、凡設(shè)計(jì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線I的距離處理，例如假設(shè)P X0,yo為拋物線y22px(p 0)上一點(diǎn)，那么 PF2、假設(shè)過焦點(diǎn)的弦AB , A(x1, y1), B(X22)，那么弦長 AB & X2 p ,為 X2 可由韋達(dá)定理整體求出, 類似得到。如遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，那么焦半徑或焦點(diǎn)弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法【例6】設(shè)P是拋物線y2 4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。(1) 求點(diǎn)P到點(diǎn)A-1 , 1的距離與點(diǎn)P到直線X1的距離之和的最小值;(2) 假設(shè) B3, 2，求 P

9、BPF的最小值。解：1拋物線焦點(diǎn)為 F 1, 0，準(zhǔn)線方程為x 1 o / P點(diǎn)到準(zhǔn)線x1的距離等于P點(diǎn)到F 1, 0的距離,問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A-1,1離之和最小。顯然P是AF的連線與拋物線的交點(diǎn)，的距離與P到F 1，0的距最小值為AF 752同理PF與P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等，如圖:過B做BQL準(zhǔn)線于Q點(diǎn)，交拋物線與 Pi點(diǎn)。IRQPF| ,PFPBPQ BQ 4。PF的最小值是4。題型三 利用函數(shù)思想求拋物線中的最值問題方法思路：函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想是解決解析幾何問題的兩種重要的思想方法?！纠?】拋物線y = x2，動(dòng)弦AB的長為2，求AB的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。分析一：

10、要求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值，可求出y1 + y2的最小值，從形式上看變量較多，結(jié)合圖形可以觀察到 y1、y2是梯形ABCD的兩底，這樣使得中點(diǎn)縱坐標(biāo)y成為中位線，可以利用幾何圖形的性質(zhì)和拋物線定義求解。解法一：設(shè) A(X1,y1),B(x2,y2),AB 的中點(diǎn)為 M(x,y)1由拋物線方程 y = x2知焦點(diǎn)F(0, ),準(zhǔn)線方程41y ，設(shè)點(diǎn)A、B、M到準(zhǔn)線的距離分別為|AD1|、 4|BC1|、 |MN| ,貝U |AD1| + |BC1| = 2|MN| ,且1MN =2(y+丄)，根據(jù)拋物線的定義，有|AD1|=|af|、 41|BC1|=|BF|,. 2(y+ ) = |AF| +

11、|BF| |AB| = 2,4二 2(y+ ) 243 3二y -,即點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最小值為一。4 4分析二：要求 AB中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)y的最小值，可列出 y關(guān)于某一變量的函數(shù)，然后求 此函數(shù)的最小值。2 2 2解法二：設(shè)拋物線 y = x上點(diǎn)A(a,a ),B(b,b) , AB的中點(diǎn)為 M(x, y)，貝U. 2 .2,ya b a bx ,y2 2/ |AB| = 2, (a b) + (a b ) = 4,那么(a + b) -4ab + (a + b ) - 4a b = 42 2 2 2 2y, 4x 4(2x y) + 4y 4(2x y) = 422那么 2x = a + b,2y

12、 = a + b ,得 ab= 2x整理得yx214x2 1y ?(4x24即點(diǎn)M縱坐標(biāo)的最小值為3/4 。練習(xí):21、以y= 2x為漸近線的雙曲線的方程是32 2 2 2 2 2 2 22/23A、3y 2x =6 E、9y 8x=1 C、3y 2x=1 D、9y 4x =36C的漸近線為y二2x，只有D的漸近線符合題意。2、假設(shè)雙曲線x y1的左支上一點(diǎn)P a, b到直線y=x的距離為、2，那么a+b的值為11A、-B、C、2D、222【答案D】解析：A的漸近線為y二：x , B的漸近線為y二【答案A】解析：T P在雙曲線上,b21 即a+b a-b=1又P a, b到直線y=x的距離為,

13、2即a b1-a+b=23、如果拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x 4y 120上，那么拋物線的方程是16x2 “B、y 12xC、16x2 “D、 y 12x【答案C】解析:令x=0得 y= 3,令 y=0 得 x=4 ,直線3x4y 120與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為0,-3， 4, 0。焦點(diǎn)為0, -3， 4 , 0。拋物線方程為x2212y或 y 16x。1 24、假設(shè)拋物線y= x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5,貝V P點(diǎn)的坐標(biāo)是4A. 4，4 B.土 4，4 C.79，琴D.土普，16【答案B】解析：拋物線的焦點(diǎn)是0, 1，準(zhǔn)線是y 1,P到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。 設(shè) P

14、x, y，那么 y=4,x . 4y , 1645、假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為3, 2，F(xiàn)為拋物線y2 2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，那么 PA | PF取得最小值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)是CA . 0, 0B . 1 , 1C.2, 2D. (-,1)2【答案C】解析：拋物線焦點(diǎn)為 F 1 , 0，準(zhǔn)線方程為x 1。/ P點(diǎn)到準(zhǔn)線x 1的距離等于P點(diǎn)到F 1, 0的距離，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到A 3, 2的距離與P到F 1 , 0的距離之和最小。顯然P是A到準(zhǔn)線的垂線與拋物線的交點(diǎn)， P的坐標(biāo)為2, 226、A、B是拋物線y 2px(p 0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)丨OA| = | OB

15、|，且A、 x=p B 、 x=3p C3x= p25D、x= p22 2【答案D】解析：設(shè)A L , y，B , -y,2p2p Fp, 0是厶AOB的垂心，?_X- 2y2p2p整理得5p2 x2p27、過點(diǎn)P4, 1，且與雙曲線92y161只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有條。【答案】兩條解析：因?yàn)?P 4，1位于雙曲線的右支里面，故只有兩條直線與雙曲線有一個(gè) 公共點(diǎn)，分別與雙曲線的兩條漸近線平行。44這兩條直線是：y 1 (x 4)和y 1 (x 4)3328、雙曲線C與雙曲線y2 1有共同的漸近線，且過點(diǎn) A(2,-2)，那么C的兩條準(zhǔn)線之間的距離為 ?！敬鸢浮?.632解析：設(shè)雙曲線 C的方程

16、為y2 k(k 0)，2將點(diǎn)A代入，得k= -2。2 2,y x 故雙曲線C的方程為：124所以兩條準(zhǔn)線之間的距離是2a22-6c 39、拋物線y2 2px(p 0)，一條長為4P的弦，其兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上滑動(dòng)，那么此弦中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最小距離是 【答案】3p2解析：設(shè)動(dòng)弦兩個(gè)端點(diǎn)為 A、B,中點(diǎn)為C,作AA BB CC垂直于準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A B C連接AF、BF，由拋物線定義可知，丨AF| = | AA |,I BF | = | BB |/ CC是梯形ABB A的中位線1 1 1I CC I = -(AA：) BB)=-(AF) BF) -|AB =2pp 3當(dāng)AB經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)取等號(hào)，所以

17、 C點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離最小值為 2p-p。10、拋物線y212x的一條弦的中點(diǎn)為 M( 2, 3)，那么此弦所在的直線方程是 【答案】2x-y+1=0解析：設(shè)此弦所在的直線I方程為y 3 k(x 2),l與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(x 1,y1),B(x 2,y2),那么 x-i x24將I的方程代入拋物線方程整理得k2x2(4k2 6k 12)x (2 k 3)20由韋達(dá)定理得x-i x2解得k 2(4 k2 6k 12)k此直線方程為y 32(x2)即 2x-y+1=011、雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在解：由題意知，2c 16 c 8c 4又ea 6a 32 2 2b c a 28y軸上，焦距為

18、16,離心率為-，求雙曲線的方程。32 2y x36282 212、雙曲線與每 1(aa b0,b 0)的離心率e紳，過點(diǎn)A(0, b)和Ba, 01求雙曲線的方程；2直線y kx m(k 0,m 0)與該雙曲線交于不同的兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在b24e i 2解：a23i由題設(shè)，得abV3.a2 b22解得 a23, b2i2雙曲線的方程為y2 i o3以A為圓心的同一圓上，求 m的取值范圍。2把直線方程y kx m代入雙曲線方程,并整理得(1 3k2) x26kmx 3m2因?yàn)橹本€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn),2 212m12 36k設(shè) C(Xi, yi)，D(X2,y2)那么 Xi X26

19、km2 , yii 3k2y2k (xiX2)2m2mi 3k2設(shè)CD的中點(diǎn)為P(x0,y0)，其中X。那么XoXi X2 丁,yo3kmi 3k2，y。yi y2，m3k2依題意,API CD mi 3k23kmi 3k2整理得3k2 4mi將式代入式得m2 4m0 m4 或 m 4或i門m 0。4i3、點(diǎn)A2,8，Bxi,yi, CX2, y2在拋物線物線的焦點(diǎn)F重合如圖i寫出該拋物線的方程和焦點(diǎn) F的坐標(biāo); 2求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；2y 2 px上， ABC的重心與此拋3求BC所在直線的方程.12分1*11)(k0).解：1由點(diǎn)A 2, 8在拋物線寸 2px上,2 2有82p?2，解得p=16.所以拋物線方程為 y 32x ,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為8，0.2如圖，由于 F 8，0是