高中數(shù)學(xué)基本不等式知識(shí)點(diǎn)歸納及練習(xí)題

1、高中數(shù)學(xué)根本不等式的巧用 a + b1根本不等式：_abw亍(1) 根本不等式成立的條件：a>0, b> 0.(2) 等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).2. 幾個(gè)重要的不等式b aa + b(1)a2+ b2>2ab(a, b R)； (2) +->2(a, b 同號(hào))；(3)ab<2(a, b R)；a b2a + ba+ b 2?2(a, b R).3. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a + b 設(shè)a>0, b>0,那么a, b的算術(shù)平均數(shù)為 號(hào)，幾何平均數(shù)為 ab,根本不等式可表達(dá)為兩個(gè) 正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù).4. 利用根本不等式求最

2、值問題x>0, y>0,貝U(1) 如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，x+ y有最小值是2 . p.(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2) 如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值是牙.(簡(jiǎn)記：和定積最大)一個(gè)技巧運(yùn)用公式解題時(shí)，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用.，例如a2+ b2>2ab逆用就是a2 + b2 a + ba + bab<三二蘆仝乂莎但,b>Q逆用就是abW.2(a, b> 0)等.還要注意“添、拆項(xiàng) 技巧.和公式等號(hào)成立的條件等:兩個(gè)變形a2 + b2a+ b(1) 2 b二 2之a(chǎn)b(a_,b£一R，.當(dāng)且僅當(dāng)a.

3、= b時(shí)取.等號(hào))；.> (a > 0, b> Q,當(dāng)且僅當(dāng)一 a 三 b 一時(shí)取 等號(hào).).v 二土匸a b這兩個(gè)不等式鏈用處很大，注意掌握它們個(gè)注意(1) 使用根本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等的無視要利用根本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可(2) 在運(yùn)用根本不等式時(shí)，要特別注意“拆.“拼“湊等技巧，-使其滿足根本不等式中 正：定“等的條件.:(3) 連續(xù)使用公式時(shí)取等號(hào)的條件很嚴(yán)格一，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致,一一應(yīng)用一：求最值i2戸 x+ x例1 ：求以下函數(shù)的值域2 11y= 3x + 莎 解題技巧： 技巧一：湊項(xiàng)例1

4、 ：x5，求函數(shù)y 4X 2 的最大值。44x 5技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)丨'丫時(shí)，求y x(82x)的最大值。技巧三：別離2x 7x 10例3.求y (x1)的值域。x 1技巧四：換元技巧五：注意:在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)， 假設(shè)遇等號(hào)取不到的情況,應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) x 的單調(diào)性。x例：求函數(shù)yx 5的值域。x2 4練習(xí)求以下函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí),x的值.1yx2 3x 1,(x0) 2y 2x1,xx 3y 2si nx 總,x(°，)2.01,求函數(shù)yx(1 x)的最大值求函數(shù)x(2 3x)的最大值.條件求最值1.假設(shè)實(shí)數(shù)滿足abb 2，那么33的最小值是變式：

5、假設(shè)log4xlog4 y 2，求1 丄的最小值并求x,y的值x y技巧六：整體代換：屢次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否那么就會(huì)出錯(cuò)。192：x 0, y 0 ,且1,求x y的最小值。x y變式：1假設(shè)x, y R且2x y 1，求1丄的最小值x y2a,b,x, y R且a b ，求x y的最小值x y2技巧七、x, y為正實(shí)數(shù)，且x 2 + 2 = i,求x. 1 + y 2的最大值.1技巧八：a, b為正實(shí)數(shù)，2b+ ab+ a= 30,求函數(shù)y=喬 的最小值技巧九、取平方5、x, y為正實(shí)數(shù)，3x+ 2y = 10,求函數(shù) W 3x + 2y的最值. 應(yīng)用二：利

6、用根本不等式證明不等式1.a,b, c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證:2 ab22 cab bc ca1正數(shù)a, b, c滿足a+ b+ c = 1，求證：(1 - a)(1-b)(1-c)> 8abc例 6 : a、b、c R，且 a b c 1。求證：1 1111 1 8abc應(yīng)用三：根本不等式與恒成立問題19例：x 0, y 0且1,求使不等式x y m恒成立的實(shí)數(shù) m的取值范圍。x y應(yīng)用四：均值定理在比擬大小中的應(yīng)用： 1例：假設(shè) a b 1, P . lg a Ig b,Q Ig a2lg b), R lg(- b)，貝U P,Q,R的大小關(guān)系是2解:1y= 3x 2 + 島2x3

7、x 2 2； 2 = 6值域?yàn)?6 ,+82當(dāng) x> 0 時(shí)，y= x +1 > 2值域?yàn)?,2 U 2 ,解：因4x 51當(dāng) XV 0 時(shí)，y= X+ -=+ 820 ,所以首先要“調(diào)整符號(hào)，又(4x2) 不是常數(shù)，所以對(duì)4x 2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng), 4x 55 4x 0，y 4x 214x 55 4x15 4x當(dāng)且僅當(dāng)5 4x，即x 1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)5 4xx 1 時(shí)，Ymax1。評(píng)注：此題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。解析：由II ： 知，利用根本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (82x)8為定

8、值，故只需將y x(82x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。尸(8-2帖扣L (8 - 2切冷產(chǎn)+廠丫 =8當(dāng)"，'"，即x= 2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)x= 2時(shí)，y x(8 2x)的最大值為8。評(píng)注：此題無法直接運(yùn)用根本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用根本不等式求最大值。解析一：此題看似無法運(yùn)用根本不等式，不妨將分子配方湊出含有x + 1的項(xiàng)，再將其別離。ja + 7rl0 (衛(wèi)十1尸十孔芹十1)十4 r4 r尹=門=-說-=5十1)十H十T + 1X + 1A + 1當(dāng)X > -1 ,即耳十1 > CI時(shí),y4x 19當(dāng)且僅當(dāng)x = 1時(shí)取“=號(hào)解析二：此題

9、看似無法運(yùn)用根本不等式，可先換元，令4 5 t(t 1)27(t 1)+10 t2 5t 4tt =x+ 1，化簡(jiǎn)原式在別離求最值。t 4評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最當(dāng) x > -1 ,即 t=x + 1, n 0 時(shí)，y 25 9當(dāng)t=2即x = 1時(shí)取“=號(hào)。值。即化為y mg(x)Ag(x)B(A 0,B0) , g( x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用根本不等式來求最值。解：令 x4t(t2)，那么x2 5x2 4 t 1(t 2) x2 4丿廠1因 t 0,t -1 ,t1因?yàn)閥 t 在區(qū)間t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成

10、立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2，為單調(diào)遞增函數(shù)，故y I。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,。2分析：“和到“積是一個(gè)縮小的過程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a 和3b都是正數(shù)，3a 3b > 2 3a 3b 2. 3a b 6當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)成立，由2及3a3b得aa1即當(dāng)a b 1時(shí)，33的最小值是6.1錯(cuò)解：t x 0, y 0 ,且xy 2 92xy 12 故 xyX y min 12。錯(cuò)因：解法中兩次連用根本不等式，在2 xy等號(hào)成立條件是x y，在丄x9 2 -9等號(hào)成立y xy19條件是即y 9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在

11、利用根本不等式處理問題時(shí)，列出x y等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。0,y 0,1 -x y1,9x10 6 10 16 y當(dāng)且僅當(dāng)9x時(shí)，上式等號(hào)成立,y1,可得4, y 12 時(shí)，xy min 16。分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次,故采用公式2 . 2abw a + b即 x 1+ y 2 =2 - x 22 x-+ y22分析：性或根本不等式求解，對(duì)此題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進(jìn)行。30 2b30 2b 2法一：a=，ab=b=_由 a> 0 得，0v b< 1522t + 3

12、4t 31令 t = b+1, 1< t < 16, ab=這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑,一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題二是直接用根本 不等式，對(duì)此題來說，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式2b + 30b b+ 1，再用單調(diào)因條=-2 t + ¥+ 34V t + ¥ > 2/t 專=8二 ab< 18法二：由得：令u= 'Jab那么 . ab w 3 2 ,1 y >1830 ab= a+2bv當(dāng)且僅當(dāng)t = 4,即b= 3, a= 6時(shí)，等號(hào)成立。u2+ 2 , 2 u 30 w 0, 1 abw 18,. y

13、 >18a + 2b> 2 2 ab- 30 ab> 2 2 ab5 2 w u w 3 2點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式-ab (a,b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力； 如何由不等2式ab a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得11丄1丄1 ab1 .2. bc 2 . ac 1 -2-ab 8。當(dāng)且僅當(dāng)a b c c1-時(shí)取等號(hào)。3cab解：令xyk,x 0,y0,1x91x y 9x 9y 1ykxky10 y 9x .1k kx ky1 2 k2 3。 kk 16 ,m,1

14、6分析：/ a b1 - lg a0,lg b0a b 式ab(a,b R ),這樣將條件轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.2變式：1.a>0，b>0, ab (a+ b) = 1，求a+ b的最小值。2.假設(shè)直角三角形周長為 1，求它的面積最大值。解法一：假設(shè)利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，a+ b a + bw 2 2，此題很簡(jiǎn)單伸 + 苗 w迄 p停2+調(diào)2 =23x + 2y = 2半解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用根本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。W 0, W= 3x+ 2y + 2 3x 2y = 10+ 2 3x 2y w 10+ ( 3x ) 2 ( 2y ) 2 = 10+ (3x+ 2y) = 20 WW 20 = 2.5寸(.2x1.52x)242、_(2x 1)(52x)4(2x 1)(5 2x)8又y 0,所以0y 22當(dāng)且僅當(dāng)2x1=52x，即 x3時(shí)取等號(hào)。故 ymax2 2。變式：求函數(shù)y 2x5 2x(- X 5)的最大值。k2 2解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。2評(píng)注：此題將