高中數(shù)學基本不等式知識點歸納及練習題

1、高中數(shù)學根本不等式的巧用 a + b1根本不等式：_abw亍(1) 根本不等式成立的條件：a>0, b> 0.(2) 等號成立的條件：當且僅當時取等號.2. 幾個重要的不等式b aa + b(1)a2+ b2>2ab(a, b R)； (2) +->2(a, b 同號)；(3)ab<2(a, b R)；a b2a + ba+ b 2?2(a, b R).3. 算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)a + b 設a>0, b>0,那么a, b的算術平均數(shù)為 號，幾何平均數(shù)為 ab,根本不等式可表達為兩個 正數(shù)的算術平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù).4. 利用根本不等式求最

2、值問題x>0, y>0,貝U(1) 如果積xy是定值p,那么當且僅當xy時，x+ y有最小值是2 . p.(簡記：積定和最小)(2) 如果和x+y是定值p,那么當且僅當xy時，xy有最大值是牙.(簡記：和定積最大)一個技巧運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用.，例如a2+ b2>2ab逆用就是a2 + b2 a + ba + bab<三二蘆仝乂莎但,b>Q逆用就是abW.2(a, b> 0)等.還要注意“添、拆項 技巧.和公式等號成立的條件等:兩個變形a2 + b2a+ b(1) 2 b二 2之ab(a_,b£一R，.當且僅當a.

3、= b時取.等號)；.> (a > 0, b> Q,當且僅當一 a 三 b 一時取 等號.).v 二土匸a b這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們個注意(1) 使用根本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等的無視要利用根本不等式求最值，這三個條件缺一不可(2) 在運用根本不等式時，要特別注意“拆.“拼“湊等技巧，-使其滿足根本不等式中 正：定“等的條件.:(3) 連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格一，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致,一一應用一：求最值i2戸 x+ x例1 ：求以下函數(shù)的值域2 11y= 3x + 莎 解題技巧： 技巧一：湊項例1

4、 ：x5，求函數(shù)y 4X 2 的最大值。44x 5技巧二：湊系數(shù)例1.當丨'丫時，求y x(82x)的最大值。技巧三：別離2x 7x 10例3.求y (x1)的值域。x 1技巧四：換元技巧五：注意:在應用最值定理求最值時， 假設遇等號取不到的情況,應結合函數(shù)f(x) x 的單調性。x例：求函數(shù)yx 5的值域。x2 4練習求以下函數(shù)的最小值，并求取得最小值時,x的值.1yx2 3x 1,(x0) 2y 2x1,xx 3y 2si nx 總,x(°，)2.01,求函數(shù)yx(1 x)的最大值求函數(shù)x(2 3x)的最大值.條件求最值1.假設實數(shù)滿足abb 2，那么33的最小值是變式：

5、假設log4xlog4 y 2，求1 丄的最小值并求x,y的值x y技巧六：整體代換：屢次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否那么就會出錯。192：x 0, y 0 ,且1,求x y的最小值。x y變式：1假設x, y R且2x y 1，求1丄的最小值x y2a,b,x, y R且a b ，求x y的最小值x y2技巧七、x, y為正實數(shù)，且x 2 + 2 = i,求x. 1 + y 2的最大值.1技巧八：a, b為正實數(shù)，2b+ ab+ a= 30,求函數(shù)y=喬 的最小值技巧九、取平方5、x, y為正實數(shù)，3x+ 2y = 10,求函數(shù) W 3x + 2y的最值. 應用二：利

6、用根本不等式證明不等式1.a,b, c為兩兩不相等的實數(shù)，求證:2 ab22 cab bc ca1正數(shù)a, b, c滿足a+ b+ c = 1，求證：(1 - a)(1-b)(1-c)> 8abc例 6 : a、b、c R，且 a b c 1。求證：1 1111 1 8abc應用三：根本不等式與恒成立問題19例：x 0, y 0且1,求使不等式x y m恒成立的實數(shù) m的取值范圍。x y應用四：均值定理在比擬大小中的應用： 1例：假設 a b 1, P . lg a Ig b,Q Ig a2lg b), R lg(- b)，貝U P,Q,R的大小關系是2解:1y= 3x 2 + 島2x3

7、x 2 2； 2 = 6值域為.6 ,+82當 x> 0 時，y= x +1 > 2值域為8,2 U 2 ,解：因4x 51當 XV 0 時，y= X+ -=+ 820 ,所以首先要“調整符號，又(4x2) 不是常數(shù)，所以對4x 2要進行拆、湊項, 4x 55 4x 0，y 4x 214x 55 4x15 4x當且僅當5 4x，即x 1時，上式等號成立，故當5 4xx 1 時，Ymax1。評注：此題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。解析：由II ： 知，利用根本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (82x)8為定

8、值，故只需將y x(82x)湊上一個系數(shù)即可。尸(8-2帖扣L (8 - 2切冷產+廠丫 =8當"，'"，即x= 2時取等號 當x= 2時，y x(8 2x)的最大值為8。評注：此題無法直接運用根本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用根本不等式求最大值。解析一：此題看似無法運用根本不等式，不妨將分子配方湊出含有x + 1的項，再將其別離。ja + 7rl0 (衛(wèi)十1尸十孔芹十1)十4 r4 r尹=門=-說-=5十1)十H十T + 1X + 1A + 1當X > -1 ,即耳十1 > CI時,y4x 19當且僅當x = 1時取“=號解析二：此題

9、看似無法運用根本不等式，可先換元，令4 5 t(t 1)27(t 1)+10 t2 5t 4tt =x+ 1，化簡原式在別離求最值。t 4評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最當 x > -1 ,即 t=x + 1, n 0 時，y 25 9當t=2即x = 1時取“=號。值。即化為y mg(x)Ag(x)B(A 0,B0) , g( x)恒正或恒負的形式，然后運用根本不等式來求最值。解：令 x4t(t2)，那么x2 5x2 4 t 1(t 2) x2 4丿廠1因 t 0,t -1 ,t1因為y t 在區(qū)間t1不在區(qū)間2,，故等號不成

10、立，考慮單調性。1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2，為單調遞增函數(shù)，故y I。所以，所求函數(shù)的值域為5,。2分析：“和到“積是一個縮小的過程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a 和3b都是正數(shù)，3a 3b > 2 3a 3b 2. 3a b 6當3a3b時等號成立，由2及3a3b得aa1即當a b 1時，33的最小值是6.1錯解：t x 0, y 0 ,且xy 2 92xy 12 故 xyX y min 12。錯因：解法中兩次連用根本不等式，在2 xy等號成立條件是x y，在丄x9 2 -9等號成立y xy19條件是即y 9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在

11、利用根本不等式處理問題時，列出x y等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。0,y 0,1 -x y1,9x10 6 10 16 y當且僅當9x時，上式等號成立,y1,可得4, y 12 時，xy min 16。分析：因條件和結論分別是二次和一次,故采用公式2 . 2abw a + b即 x 1+ y 2 =2 - x 22 x-+ y22分析：性或根本不等式求解，對此題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值, 的途徑進行。30 2b30 2b 2法一：a=，ab=b=_由 a> 0 得，0v b< 1522t + 3

12、4t 31令 t = b+1, 1< t < 16, ab=這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑,一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題二是直接用根本 不等式，對此題來說，考慮用根本不等式放縮后，再通過解不等式2b + 30b b+ 1，再用單調因條=-2 t + ¥+ 34V t + ¥ > 2/t 專=8二 ab< 18法二：由得：令u= 'Jab那么 . ab w 3 2 ,1 y >1830 ab= a+2bv當且僅當t = 4,即b= 3, a= 6時，等號成立。u2+ 2 , 2 u 30 w 0, 1 abw 18,. y

13、 >18a + 2b> 2 2 ab- 30 ab> 2 2 ab5 2 w u w 3 2點評：此題考查不等式-ab (a,b R )的應用、不等式的解法及運算能力； 如何由不等2式ab a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍，關鍵是尋找到a b與ab之間的關系，由此想到不等上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得11丄1丄1 ab1 .2. bc 2 . ac 1 -2-ab 8。當且僅當a b c c1-時取等號。3cab解：令xyk,x 0,y0,1x91x y 9x 9y 1ykxky10 y 9x .1k kx ky1 2 k2 3。 kk 16 ,m,1

14、6分析：/ a b1 - lg a0,lg b0a b 式ab(a,b R ),這樣將條件轉換為含 ab的不等式，進而解得 ab的范圍.2變式：1.a>0，b>0, ab (a+ b) = 1，求a+ b的最小值。2.假設直角三角形周長為 1，求它的面積最大值。解法一：假設利用算術平均與平方平均之間的不等關系，a+ b a + bw 2 2，此題很簡單伸 + 苗 w迄 p停2+調2 =23x + 2y = 2半解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用根本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值條件靠攏。W 0, W= 3x+ 2y + 2 3x 2y = 10+ 2 3x 2y w 10+ ( 3x ) 2 ( 2y ) 2 = 10+ (3x+ 2y) = 20 WW 20 = 2.5寸(.2x1.52x)242、_(2x 1)(52x)4(2x 1)(5 2x)8又y 0,所以0y 22當且僅當2x1=52x，即 x3時取等號。故 ymax2 2。變式：求函數(shù)y 2x5 2x(- X 5)的最大值。k2 2解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。2評注：此題將