研究生入學(xué)考試定積分的計(jì)算方法PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1研究生入學(xué)考試定積分的計(jì)算方法研究生入學(xué)考試定積分的計(jì)算方法;)13.(cossin2 xxtdtte);92()(lim,)( 2.20研研則則連續(xù)連續(xù)若若 axdttfxxfxax_;| . 121 dxxx._, 0)43( . 402 adxxxa則則若若第1頁/共44頁_;| . 121 dxxx 21|dxxx解：解： 2001)(xdxxdxxx2030133131xx )02(31)1(0313 373831 37第2頁/共44頁);92()(lim,)( 2.20研研則則連續(xù)連續(xù)若若 axdttfxxfxax解：解：axdttfxxaax )(lim2原極限原極限 0

2、01)()(2lim2 xaaxxfxdttfx)(2afa .)(:2為兩個(gè)函數(shù)的積為兩個(gè)函數(shù)的積注注dttfxxa )(2afa)()( :00 xxdttfxdttxf類似類似)()(0 xxfdttfx 第3頁/共44頁;)13.(cossin2 xxtdtte解：解：)(coscos1)(sinsin12cos2sin xxexxexx原導(dǎo)數(shù)原導(dǎo)數(shù)xxexxexxsincos1cossin12cos2sin xxexxexxsincos1cossin12cos2sin 第4頁/共44頁_, 0)43( . 402 adxxxa則則若若aaxxdxxx023022)43( 0223 a

3、a0223 aa0)2(2 aa即即20 aa或或20或或第5頁/共44頁 我們知道求定積分的關(guān)鍵是我們知道求定積分的關(guān)鍵是求原函數(shù)求原函數(shù)，而求，而求原函數(shù)的方法是原函數(shù)的方法是求不定積分求不定積分，然而不定積分中有，然而不定積分中有換換元法元法和和分部積分法分部積分法，那么定積分是否也有換元法和，那么定積分是否也有換元法和分部積分法呢？那么定積分中和不定積分中的換元分部積分法呢？那么定積分中和不定積分中的換元法和分部積分法有哪些不同呢？法和分部積分法有哪些不同呢？ 第一個(gè)問題的回答是肯定的，在一定條件第一個(gè)問題的回答是肯定的，在一定條件下，結(jié)合牛頓下，結(jié)合牛頓萊布尼茨公式可以用換元積分法萊

4、布尼茨公式可以用換元積分法與分部積分法來計(jì)算定積分。與分部積分法來計(jì)算定積分。第二個(gè)問題我們會(huì)在上課的過程中予以回答。第二個(gè)問題我們會(huì)在上課的過程中予以回答。第6頁/共44頁引例：引例： dxxa22 求求解：解：dtadxaxcostsint, 則則令令 tdtataadxxacossin22222 tdta22cos dtta22cos12Ctta )2sin21(22Cttta )cossin(22Caxaaxaxa )(arcsin2222Cxaxaxa 2arcsin2222第7頁/共44頁引例引例dxxaa 022tdtadxtaxcos,sin 則則令令.2, 00 taxtx時(shí)

5、時(shí)時(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng) 20222cossin tdtataa 2022cos tdta 20222cos1 dtta202)2sin21(2 tta 42a 42a 第8頁/共44頁2.1、第一換元法、第一換元法湊微分法湊微分法定理定理1 設(shè)設(shè)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 bababaxdxgdxxxgdxxf)()()()()(注注: 這里由于設(shè)有把變換式這里由于設(shè)有把變換式u= (x)明顯寫出來明顯寫出來, 積分積分變量仍然是變量仍然是x, 所以不必改變上下限所以不必改變上下限.例例1 1 計(jì)算計(jì)算.cos1sin202 dxxx解解 220202cos1)(coscos1si

6、nxxddxxx20| )arctan(cos x)1arctan0( .4 第9頁/共44頁例例2 計(jì)算計(jì)算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 第10頁/共44頁例例3 3 計(jì)算計(jì)算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinx

7、dx 2025sin52 x 225sin52x.54 第11頁/共44頁2.2、第二換元法、第二換元法變量代換法變量代換法定理定理2 設(shè)設(shè)f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù), x= (t)滿足條件滿足條件: (a a)=a, (b b)=b; (t)在在a a,b b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且值域上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且值域R a,b,則有則有dtttfdxxfba b ba a )()()(證證 設(shè)設(shè)F(x)是是f(x)的一原函數(shù)，的一原函數(shù)，另一方面另一方面, 在在a,b上上, 把把t的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)F (t)對(duì)對(duì)t求導(dǎo)得求導(dǎo)得),()()(aFbFdxxfba dtdxdxdFtFdtd )()()(t

8、xf ),()(ttf )()()()(a a b b b ba aFFdtttf ),()(aFbF .)()()()()(dxxfaFbFdtttfba b ba a第12頁/共44頁換元必須換限換元必須換限2.3、第二換元法兩個(gè)要點(diǎn)、第二換元法兩個(gè)要點(diǎn)用用x= (t)把變量把變量x換成新變量換成新變量t時(shí)，積分限也相時(shí)，積分限也相應(yīng)的改變應(yīng)的改變.換元無需還原換元無需還原求出求出設(shè)設(shè)f (t) (t)的一原函數(shù)的一原函數(shù)F (t)后后, 不必象不必象計(jì)算不定積分那樣再要把計(jì)算不定積分那樣再要把F (t)變換成原變量變換成原變量x的函數(shù)，而只要把新變量的函數(shù)，而只要把新變量t的上、下限分別

9、代的上、下限分別代入入F (t)然后相減就行了然后相減就行了。這也是比不定積分。這也是比不定積分相對(duì)相對(duì)較優(yōu)的一個(gè)特點(diǎn)較優(yōu)的一個(gè)特點(diǎn)（優(yōu)點(diǎn)）（優(yōu)點(diǎn)）。第13頁/共44頁例例4 計(jì)算計(jì)算.11130 dxx解：解：,1tx 令令0 x且且, 1 t3 x, 2 t 30111dxx 2112dttttdtdx2 12 tx則則 211112dttt 21)111(2dtt21)1ln( 2tt )2ln1(2)3ln2(2 3ln22ln22 第14頁/共44頁例例5 計(jì)算計(jì)算.12ln0 dxex解：解：,1tex 令令，時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)且且12ln, 00 txtx 2ln01dxex 10212d

10、ttttdtttdx122 ),1ln(2 tx則則 10221112dttt 102)111(2dtt10arctan 2tt )00(2)41(2 22 102212dttt第15頁/共44頁例例6 計(jì)算計(jì)算.11312 dxxx解：解：,tantx 令令，時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)且且33,41 txtx 31211dxxx 342sectansec dtttttdtdx2sec 則則 34csc tdt 34cotcscln tt )122ln()3332ln( ) 12ln(3ln 34sin1 dtt第16頁/共44頁例例 7 當(dāng)當(dāng))(xf在在,aa 上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有 )(xf為偶函數(shù)，則為

11、偶函數(shù)，則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 aadxxf0)(. . 證證,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf 0)(atxdxxf令令 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 第17頁/共44頁上述結(jié)論的幾何解釋：上述結(jié)論的幾何解釋：yxaa0y=f(x)+偶函數(shù)圖形關(guān)于偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱,在在a,a上關(guān)于上關(guān)于y軸軸左右左右兩兩邊的圖形面積相等邊的圖形面積相等.奇函

12、數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,在在a,a上關(guān)于上關(guān)于x軸上下軸上下兩邊的圖形面積相等兩邊的圖形面積相等.yxaa0y=f(x)第18頁/共44頁奇函數(shù)奇函數(shù)例例8 計(jì)算計(jì)算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積第19頁/共44頁例例9 9 _11ln5.05.0 dxxxxxxf 11ln)(解：解：_1112 dxxxx解：解：原積分原積分=dxxx 10212 1022

13、1)1(xxd2ln| )1ln(102 x02ln)(11lnxfxx 第20頁/共44頁2.4、用換元法證明定積分的恒等式、用換元法證明定積分的恒等式步驟：步驟： 改寫等式右端的積分變量為改寫等式右端的積分變量為t；作變量替換作變量替換：若被積函數(shù)左為若被積函數(shù)左為f(x)右為右為f (t),則令則令x= (t);若被積函數(shù)左為若被積函數(shù)左為f(x)右為右為f(t),則令則令x=-t,1/t或或At;若被積函數(shù)含三角函數(shù)若被積函數(shù)含三角函數(shù),則令則令x= t 或或/2/2t;例例10 設(shè)設(shè)f 連續(xù)連續(xù),證明證明.)()()(10 dxxabafabdxxfba證：證：,)(tabax 令令

14、，時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)且且1, 0 tbxtaxdtabdx)( 則則.)()(10 dxxabafab于是于是 10)()()(dtabtabafdxxfba第21頁/共44頁例例 11 若若)(xf在在 1 , 0上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 2200)(cos)(sindxxfdxxf; ; 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. .由此計(jì)算由此計(jì)算 02cos1sindxxxx. 證證 令令tx 2,dtdx 則則,20 tx時(shí)時(shí)且且. 02 tx時(shí)時(shí) 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf第22頁/共44頁令令tx ,dtdx 則則,0

15、 tx時(shí)時(shí)且且, 0 tx時(shí)時(shí) 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 第23頁/共44頁例例12解解).(, 1)0(sin)()(10 xffxxxfdtxtf求求且且設(shè)設(shè) duxdtuxtuxt1,1, 則則令令 xduxufdtxtf0101)( )( xduufx

16、0)(1, 00 ut時(shí)時(shí)且且.1 xut 時(shí)時(shí)xxxxfduufxsin)()(20 求導(dǎo)求導(dǎo)xxxxxfxxfxfcossin2)()()(2 xxxxfcossin2)( 第24頁/共44頁xxxxfcossin2)( dxxxxdxxfxf)cossin2()()( xdxxxcoscos2)(sincos2 xxdx xdxxxxsinsincos2Cxxxx cossincos2Cxxx sincos1)0( f0 Cxxxxfsincos)( 第25頁/共44頁解解于于是是時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)且且，則則設(shè)設(shè). 24; 11,2 txtxdtdxtx 41)2(dxxfdttetdtdttft

17、 2021212cos1)(212121tan212tan420012 eett例例13.)2(41 dxxf 01 , cos11,0 , )(2x-xxxexfx設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算第26頁/共44頁._,)(2)(3 1.010 adxxfdxaxfa則則若若 30.)1(,010)( 2.dxxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)第27頁/共44頁._,)(2)(3 1.010 adxxfdxaxfa則則若若解：解：, tax 令令, 00 tx時(shí)時(shí)且且.1atx 時(shí)時(shí) adtatfdxaxf0101)(3)(3dtadx1 ,1tax 則則 adttfa0)(3 aadxxfdxxfa00)(2)(3

18、23 a23 a23第28頁/共44頁解：解：,1tx 令令3 , 0 x且且2 , 1 t 2130)()1(dttfdxxfdtdx 1 tx則則 2001)()(dttfdttf 2001)1(dtetdtt 30.)1(,010)( 2.dxxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)20012)(21tett )0()2(21002 ee272 e第29頁/共44頁 babaudvudvbavduuv (Formula for Integration by Parts)3.1、分部積分公式分部積分公式 babavduuv定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv bab

19、abavduuvudv設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有有第30頁/共44頁2.2、分部積分法兩個(gè)要點(diǎn)、分部積分法兩個(gè)要點(diǎn)主要解決兩類積分主要解決兩類積分:直接用于被積函數(shù)為直接用于被積函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)反三角函數(shù) 及及變上限函數(shù)變上限函數(shù);用于兩種不同類型用于兩種不同類型函數(shù)乘積的積分函數(shù)乘積的積分 (按按“反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三”定定u、v；與不定積分僅差上下限，分部同時(shí)計(jì)算積分。與不定積分僅差上下限，分部同時(shí)計(jì)算積分。對(duì)于定積分的分部積分法，在分部積分的同時(shí)，對(duì)于定積分的分部積分法，在分部積分的同時(shí)，對(duì)積出的部分代入積分上

20、下限，計(jì)算結(jié)果，這對(duì)積出的部分代入積分上下限，計(jì)算結(jié)果，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。第31頁/共44頁例例1 1 計(jì)算計(jì)算.ln1 exdx解解 exdx1ln eexxdxx11ln|ln edxxxe11 edxe1exe1 1)1( ee第32頁/共44頁例例2 2 計(jì)算計(jì)算.arcsin210 xdx解解 210arcsin xdx 210arcsin xx 210arcsin xxd621 21021xxdx12 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 第33頁/共44頁例例3 3 計(jì)計(jì)算算dxxee 1ln注意注意: : 去掉絕對(duì)值時(shí)注意分

21、部積分的上下限去掉絕對(duì)值時(shí)注意分部積分的上下限解解 eeeexdxxdx+dxx1111lnlnln22 e lnln111111 xxxxxxeeee lnln11 xxdxxee)ln1111 xlnx xxdee練習(xí)練習(xí). 求求 exdx1ln解解：由分部積分公：由分部積分公式式 eeexxdxxxdx111ln|lnln eedxedxxxe111)1( ee=1第34頁/共44頁例例4 設(shè)設(shè) 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx

22、xxxxfdtttf2sin)(0sin) 1 (2211 021 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 第35頁/共44頁練習(xí)練習(xí). 設(shè)設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明 xtxdtduufdttxtf000.)()(證明證明 xtdtduuf00)(右式右式 xtxtduuftdduuft0000)()(分部積分分部積分 xxdtttfduufx00)(0)( xxdtttfxduuf00)()( xxtdttfxdttf00)()(左式左式 xdttxtf0)(第36頁/共44頁例例5 5 計(jì)算計(jì)算.10 dxxex解解 10dxxex 10 xxde1010 dxexexx101xee )(011eee e21 冪冪*指指第37頁/共44頁 例例6 6 計(jì)算計(jì)算.)1(ln212 dxxx解解 212)1(lndxxx 2111lnxxd 21