哈密頓正則方程應(yīng)用

1、分析約束分析約束, ,確定自由度確定自由度選好廣義坐標選好廣義坐標寫出系統(tǒng)的寫出系統(tǒng)的T,V,L 寫出寫出Attention:H=H(q,p,t).)3 , 2 , 1(qLqLH),(tqqpqLp廣義動量),(tpqqq 正則方程解題步驟正則方程解題步驟代入正則方程求解代入正則方程求解哈密頓正則方程的應(yīng)用哈密頓正則方程的應(yīng)用例例1 1：雙原子分子哈密頓量：雙原子分子哈密頓量1m2mc1r2rr相對質(zhì)心位矢相對質(zhì)心位矢1r2r相位矢相位矢r02211rmrm21rrrrmmmr2121rmmmr2112雙原子雙原子分子運動分子運動質(zhì)心運動質(zhì)心運動相對質(zhì)心運動相對質(zhì)心運動),(zyx),(r相

2、對質(zhì)心運動相對質(zhì)心運動) 1 (1211frm )2(2122frm fffmm211212)2() 1 (frmmmm 21212121mmmm折合質(zhì)量折合質(zhì)量r相對質(zhì)心運動相對質(zhì)心運動fr 221rT相對質(zhì)心相對質(zhì)心運動動能運動動能)sin(21222222rrrT21222)(21mmmzyxmTc)(21222zyxmT)sin(21222222rrr0r)(rV)(rV)(0rV)(00rrrVr 2022)(210rrrVr簡諧近似簡諧近似r221)(rkrV0rrr)(21222zyxmVTL)sin(21222222rrr221rk)(21222zyxmVTL)sin(2122

3、2222rrr221rkxmxLpxymyLpyzmzLpzmpxxmpyympzz)(21222zyxmVTL)sin(21222222rrr221rkrrLpr2rLp22sinrLprpr 2rp22sinrpppprpzpypxLHrzyx)(21222zyxpppm)sin(21222ppI)(22rVpr2rI轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量平動平動轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動振動振動例例2 2一維諧振子一維諧振子解解:xxdtdxv221mvT 動能221xm2xk21V勢能VTL222121kxxmkxxLxmxLxmxLdtd )()(xLdtdxL0kxxm xmkx demonstrationVTL2221

4、21kxxmxLpxxmmpxxqLqLHxLxLxpxkxxm222121xxxpmpkxmpm2221)(21mpkxx22122mpkxHx22122mppHxxxkxxHpx根據(jù)正則方程根據(jù)正則方程mpxx xmkx ABxy例例3 3一半徑為一半徑為r,r,質(zhì)量為質(zhì)量為m m的實心圓的實心圓柱體在一半徑為柱體在一半徑為R R的大圓柱體的大圓柱體內(nèi)表面作純滾動內(nèi)表面作純滾動, ,試用哈密頓試用哈密頓正則方程求其在平衡位置附近正則方程求其在平衡位置附近作微振動的周期作微振動的周期. .1o1oo分析分析ABABA)( rRrrR坐標數(shù)坐標數(shù)3約束數(shù)約束數(shù)2rrR oo1rR自由度自由度1

5、demonstration22)(43rRmVTLcos)(rRmg取取 為廣義坐標為廣義坐標Lp)(23rRm)(32rRmppLHprRmgrRmcos)()(4322cos)()(322rRmgrRmpHcos)()(322rRmgrRmpH根據(jù)正根據(jù)正則方程則方程pHHp sin)(rRmg2)(32rRmp 2)(32rRmp)(3sin2rRg)( 32rRg)( 32rRg例例4 4用哈密頓正則方程求自由質(zhì)點在球坐標下加速用哈密頓正則方程求自由質(zhì)點在球坐標下加速度的表達式度的表達式. .設(shè)其受力在設(shè)其受力在r,r, , , 三個方向的分量三個方向的分量分別為分別為F Fr, r,

6、 F F , , F F r解解:廣義力廣義力非保守系拉氏方程非保守系拉氏方程必先求動能必先求動能)sin(21222222rrrmTrmrTprmprr2mrTp2mrpsin2mrTp22sinmrpppprTHr)sin(21222222rprppmr根據(jù)正則方程根據(jù)正則方程rrQrHprQmrpmrp23232sinQHpQmrp322sincos)sin(21222222rprppmHrQHpQrrFQ rFQ FrQsinrmprrmpr rrQmrpmrpp23232sinrFmrmrmrmrrm23222322sin)sin()( mFarr222sin rrr同理可得同理可得

7、cos2sin2sin rrrmFacossin22 rrrmFa222sin rrrmFarr例例5 5質(zhì)量為m的相同二質(zhì)點用一長為 的輕桿連接初始時直立靜止在光滑水平面上,以后任其倒下,試用正則方程求桿落地時的角速度.l分析分析坐標數(shù)坐標數(shù)3約束數(shù)約束數(shù)2自由度數(shù)自由度數(shù)1取如圖所示取如圖所示為廣義坐標為廣義坐標xy1m2m2122112212120)(xxxmxmlyxxxysin2lyccycos2lyc根據(jù)柯尼西定理根據(jù)柯尼西定理2221221ccIymT2221)2(2mllmIc)cos1 (41222mlTsinmglV )cos1 (41222mlVTLsinmglLpsin)cos1 (41222mglmlVTL)cos1 (2122ml)cos1 (222mlppLHsin)cos1 (41222mglmlpsin)cos1 (222mglmlpHsin)cos1 (222mglmlpH2222)cos1 (cossin2mlpHp cosmgl)cos1 (222mlppH)cos1 (222mlp 222)cos1 (sincos4mlp)cos1(