微積分(A)第四章 第二節(jié)可分離變量的微分方程

1、第二節(jié)第二節(jié) 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法 dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè))(yG和和)(xF分分別別為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),則則 CxFyG )()(為微分方程的通解為微分方程的通解.例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中每一步不一定

2、是同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即21Cyx由初始條件得 C = 1,112 xy( C 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y例3. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意, 有)0(ddMtM00MMt(初始條件)分離變量, MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.e0tMM然后積分:td)(已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為已

3、知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變?cè)璏0MtO內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 可分離變量方程的求解方法可分離變量方程的求解方法:分離變量后積分分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù)根據(jù)定解條件定常數(shù) .思考與練習(xí) 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量(2) 方程變形為yxysincos2Cxysin22tanln補(bǔ)充題: 1.度成正比,解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為分離變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)

4、(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為0,)e1 (tmkkgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kgmv t 足夠大時(shí)2. 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小水從它的底部小孔流出孔流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器求水從小孔流出過程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)隨時(shí)間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.說明說明: 由力學(xué)知

5、識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2解解,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,

6、101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為解解3.3. 某車間容積為某車間容積為12000立方米立方米, 開始時(shí)空氣中開始時(shí)空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每分鐘用一臺(tái)風(fēng)量為每分鐘2000立方米的鼓風(fēng)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含機(jī)通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0

7、設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后 時(shí)刻時(shí)刻 的含量為的含量為2CO)%,(txt,dttt 則在則在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量%,03. 02000 dt)%,(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO一、求

8、下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)

9、運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘厘米米克克 , ,問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系數(shù)為系數(shù)為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. .二、