2018年武漢中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)幾何綜合題

1、幾何綜合題類型一圖形背景變換問題1.已知四邊形ABCD是矩形，E為CD的中點，F(xiàn)是BE上的一點，連接CF并延長交AB于點M,過點M作MNXCM,交AD于點N.(1)如圖，當(dāng)點F為BE的中點時，求證：AM=CE;(2)如圖，若祟=|=2,求AN的值;BCBFDN(3)如圖，連接AN,若黑=:=4,求tan/AMN的值.BCBFDEC圖MB圖第1題圖證明：F為BE的中點，BF=EF, 四邊形ABCD是矩形， ./BCE=ZABC=90°,AB=CD,.CF=BF, ./FBC=ZFCB,BC=CB, .MBCAECB(ASA),BM=CE, .CE=DE,DE=BM, AB=CD,AB-

2、BM=CD-DE,即AM=CE;(2)解:-.AB/CD,.ECFABMF, EF=EC=2,設(shè)BM=a,則EC=DE=2a,BfBMAB=CD=4a,AM=3a,ABc.=2BC2BC=AD=2a,NM±CM, ./AMN+ZCMB=90°, ./AMN+ZMNA=90°,CMB=ZMNA,又./A=/CBM=90°,AMNABCM,AMANBCBM'3aAN2aa'331AN=2a,ND=2a2a=a,3aAN2cND=3；2a(3)解:AB/CD,.ECFABMF,ECEF-=一=4,設(shè)BM=b,則EC=DE=4b,BMBF'

3、;''AB=CD=8b,AM=7b,AB=4,BCBC=AD=2b,如解圖，過點N作NHLAB于點H,則HN=BC=2b,MBH第1題解圖DNE易證HMNABCM,HNHMBMHMBC=4b,，即/Hb，在RtAHMN中，tanZAMN=HN=2b'HM4b2.如圖,在菱形ABCD中，AB=5,5sin/ABD='"，點P是射線BC上一點，連接AP交菱形對角線BD于點E,連接EC.求證:AABEACBE;(2)如圖，當(dāng)點P在線段BC上時，且BP=2,求APEC的面積;(3)如圖，當(dāng)點P在線段BC的延長線上時，若CEXEP,求線段BP的長.圖圖(1)證明

4、：二四邊形ABCD是菱形,AB=BC,/ABE=ZCBE.在ABE和CBE中，AB=BC,/ABE=/CBE,BE=BE,ABEACBE(SAS);F,(2)解：如解圖，連接AC交BD于點0,分別過點A、E作BC的垂線，垂足分別為點H、BPFUC第2題解圖四邊形ABCD是菱形， ACXBD. AB=5,sin/ABD=,'5'.-.AO=OC=/5,BO=OD=25, .AC=2蘋BD=475,11 ?AC,BD=BCAH,即X25X4-J5=5AH,AH=4,.AD/BC,AEDAPEB,AE_ADPE=BP'AE+PEAD+BPRnAP5+27PEBP'PE

5、227.AP.PE,又EF/AH,.EFPAAHP,-EF=PEAHAP'.ef=A1.AH=7PEx4=7?產(chǎn)_11_812Sapec=2PC-EF=2X(52)X7=；(3)解：如解圖，連接AC交BD于點O,BCP第2題解圖ABEACBE,CEXPE,./AEB=ZCEB=45°,AO=OE=>/5,，DE=ODOE=2乖乖=乖,BE=34.AD/BP,ADEAPBE,.AD=DE''BPBE'BP3.5BP=15.3.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，連接BD,點E在直線BC上，直線AE交BD于點M,交直線DC于點F,G是EF的中點，連接C

6、M、CG.(1)如圖，當(dāng)點E在BC邊上時，求證：AM=CM;(2)如圖，當(dāng)點E在BC的延長線上時，求證：/MCG=90°(3)如圖，當(dāng)點E在BC的延長線上時，若AB=1,且CM=CE,求CE的長.圖圖第3題圖(1)證明：二.四邊形ABCD是正方形，AB=BC,/ABM=ZCBM,在ABM和CBM中，AB=CB,ZABM=ZCBM,BM=BM,ABMACBM(SAS), .AM=CM;(2)證明：二四邊形ABCD是正方形， .AB=BC,/ABM=/CBM,/BCD=90°,由(1)同理可證ABMCBM(SAS), ./BAM=ZBCM,ECF=90°,點G是EF的

7、中點，.GC=GF, ./GCF=ZGFC,又AB/DF, ./BAM=ZDFM=ZGFC, ./BCM=ZGCF, /GCF+/MCF=/BCM+/MCF=90°,即/MCG=90°(3)解：由(2)知/BAM=ZBCM, .CM=CE, ./CME=ZCEM, ./BCM=2/CEM, ./BAE=2/CEM, ABXBE, .ZBAE+ZCEM=90°,即2ZCEM+ZCEM=90°, ./CEM=30°, 在RtABE中，BE=AB=-k=73,tan30/33.CE=BE-BC=/3-1.4.已知四邊形ABCD是正方形，AB=6,將一

8、個含30°的直角三角板BEF放在正方形上,其中/FBE=30,/BEF=90,且BE=BC,繞點B轉(zhuǎn)動BEF.(1)如圖，當(dāng)點F落在AD邊上時，求/EDC的度數(shù)；(2)如圖，設(shè)EF與AD交于點M,EF的反向延長線交DC于點G,若AM=3,求CG的長；1,、AN,一(3)如圖，設(shè)EF與AD交于點N,若tan/ECD=2,求DN的值BCBCBC圖圖圖第4題圖解：(1)如解圖，連接EC,過點E作EHLBC于點H,作EM，CD于點M,則四邊形EMCH是矩形.第4題解圖四邊形ABCD是正方形，BA=BC,ZABC=ZBCD=90°, BE=BC,AB=BE,在RtBFA和RtBFE中

9、，BF=BF,BA=BE RtABFARtABFE(HL), ./ABF=ZFBE=30°, ./ABC=90°, ./EBC=30°,11 EH=MC=2BE=2CD,DM=CM, EMLCD,ED=EC,1 ./BCE=；X(18030)=75,EDC=ZECD=90°-75=15O;(2)如解圖，連接BM、BG.第4題解圖由(1)可知BMAABME,BGEABGC,-.EM=DM=AM=3,EG=CG,設(shè)EG=CG=x,則DG=6-x,MG=3+x.在RtADMG中，由勾股定理得MG2=DG2+DM2,即(3+x)2=(6x)2+32,解得x=2,

10、，CG=2;如解圖，延長FE交CD于點G,連接BN,BG,第4題解圖易知AN=EN,EG=CG, BE=BC, BG垂直平分CE,./GBC+ZBCE=90°, ./ECD+ZBCE=90°, ./ECD=ZGBC,1 .tan/GBC=tan/ECD=一,2'襄=1，即爭T，BC262.CG=3,DG=3,設(shè)AN=EN=y,貝UDN=6-y,NG=3+y,在RtADNG中，由勾股定理得(6-y)2+32=(3+y)2,解得y=2,AN=EN=2,DN=4,AN1DN2.類型二圖形中的動點問題AE并延5.正方形ABCD的邊長為6cm,點E、M分別是線段BD、AD上的

11、動點，連接長，交邊BC于F,過M作MNXAF,垂足為H,交邊AB于點N.(1)如圖，若點M與點D重合，求證：AF=MN;E從點B(2)如圖，若點M從點D出發(fā)，以1cm/s的速度沿DA向點A運動，同時點出發(fā)，以或cm/s的速度沿BD向點D運動，運動時間為ts.設(shè)BF=ycm.求y關(guān)于t的函數(shù)表達式；當(dāng)BN=2AN時，連接FN,求FN的長.(1)證明：AFXMN,./HAD+ZHDA=90°,四邊形ABCD是正方形， ./BAD=90°, ./BAF+ZFAD=90°,./BAF=ZADN,在RtABF和RtADAN中,VNAD=ZFBA=90°,AD=AB

12、,上BAF=/ADN .BAFADN,AF=DN,即AF=MN;(2)解：如解圖，過點E作EGBC于點G,第5題解圖點E在BD上以嫄cm/s的速度向D點移動，移動時間為t, BE=2t, 四邊形ABCD為正方形， ./CBD=45°,BG=GE=t, .GEXBF,GE/AB,ABFAEGF,abbf =一GEGF'ABBFGEBFBG' AB=6cm,BF=y,6-=工tyt'6t 尸罰；:BN=2AN,BN+AN=AB=6cm, .AN=2cm,BN=4cm.由(1)知/AMN=/BAC,ZABF=ZMAN=90°,AMNABAF,AMAN,=&

13、#39;ABBF' DM=t,AM=6-t,6t.BF=6丫AB=6cm,AN=2cm, .t=2,BF=3,在RtABNF中，NF=4BN2+BF2=5cm.6.如圖，點O在線段AB上，AO=2,OB=1,OC為射線，且/BOC=60°,動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設(shè)運動時間為t秒.當(dāng)t=,S»aabp=(2)當(dāng)4ABP是直角三角形時，求t的值;(3)如圖,BP,并使得/QOP=/B,求證：AQBP=3.圖A第6題圖(1)解：1,乎;【解法提示】CODB第6題解圖1OP=2X2=1.如解圖，過點P作4ABP的局h,1_,因為動點

14、P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，故當(dāng)t=3秒時,由于/BOC=60。，OP=1,故h=OPsin60。=坐，即生abp=aBh=J(OA+OB)h=；x(2+1)X乎=呼.(2)解:./Av/BOC=60°,A不可能為直角；如解圖，當(dāng)/B=90°時，0B第6題解圖 ./BOC=60°, ./OPB=30°, .OP=2OB=2,即2t=2, t=1；當(dāng)/APB=90°時，如解圖，作PDXAB,垂足為D,則/ADP=/PDB=90°.0DB第6題解圖 OP=2t,OD=t,PD=V3t,AD=2+t,BD=1-t,BP2=BD2+

15、PD2=(1-t)2+3t2,AP2=ad2+PD2=(2+t)2+3t2,bp2+ap2=ab2, .(1t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,即4t2+t2=0,解得t33,t2=T33(舍去).綜上所述，當(dāng)ABP是直角三角形時，t的值為1或一：丑3;8(3)證明：AP=AB,丁./APB=/B.如解圖,第6題解圖作OE/AP交BP于點E, ./OEB=ZAPB=ZB,AQ/BP, ./QAB+ZB=180°,又/3+ZOEB=180°, ./3=/QAB,又./AOC=Z2+ZB=Z1+ZQOP,/B=/QOP,1=/2, .QAOAOEP,AQAO一EQ=加即A

16、QEP=EOAO,OE/AP,OBEAABP,OE-=至=皿=,1,OE=1AP=1BP=3EPAPBPBA33ap1'BP2ep,333一.一AQBP=AQ2EP=2AO-OE=2X2X1=3.7.在邊長為2痘的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點(點P與A、C不重合).連接BP,將BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到BQ,連接QP,QP與BC交于點E,QP的延長線與AD(或AD延長線)交于點F.(1)連接CQ,證明：CQ=AP;(2)設(shè)AP=x,CE=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時，CE=3BC;8(3)猜想PF與EQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1)證

17、明：由題意知BP=BQ,/PBQ=90°,在正方形ABCD中，AB=CB,/ABC=90°, ./ABC=ZPBQ, ./ABC/PBC=/PBQ-ZPBC,即/ABP=/CBQ,AB=CB在ABP和CBQ中，4/ABP=/CBQ,扇=BQABPACBQ(SAS), .CQ=AP;(2)解：在正方形ABCD中，AC為對角線， ./BAP=ZPCE=45°,由旋轉(zhuǎn)可知PBQ為等腰直角三角形， ./BPQ=ZPQB=45°,在4ABP中，ZBPC=ZBAP+ZABP=45°+ZABP,又./BPC=ZBPQ+ZCPE=45°+ZCPE,

18、./ABP=ZCPE,又./BAP=ZPCE, .BAPAPCE,ABAP Cp=CE,在等腰直角ABC中，AB=242,AC=4,又.AP=x,CE=y,CP=4-x,2-=x即y=_*x2+5x,(0<x<4)4-xy4丫、當(dāng)CE=3bC時,即CE=y.X2W=乎,-3=一x2+2x,解得x1=1,x2=3,441，y=乎x2+V2x(0vxv4),當(dāng)x=1或3時，CE=|bC;(3)解:猜想：PF=EQ.證明：當(dāng)點F在線段AD上時，如解圖，在CE上取一點H,使HQ=EQ,則/QEH=/QHE,在正方形ABCD中，AD/BC,AB第7題解圖 ./DFE=ZQEH, ./DFE=

19、ZQHE,./AFP=ZCHQ,由(1)知ABP0CBQ,AP=CQ,ZBAP=ZBCQ=45°,./FAP=ZBAP=ZBCQ=45°,在AFP和4CHQ中，VFAP=ZHCQS/AFP=/CHQ,AP=CQAFPACHQ(AAS),PF=HQ,又HQ=EQ,PF=EQ;4B第7題解圖當(dāng)點F在線段AD延長線上時，如解圖，在BE上取一點H,使HQ=EQ,同理可證AFPACHQ(AAS),得FP=HQ=EQ.類型三圖形旋轉(zhuǎn)、折疊問題8.如圖，在RtzABC中，/ACB=90°,AC=BC,點D、E分別在AC、BC邊上，DC=EC,連接DE、AE、BD,點M、N、P分

20、別是AE、BD、AB的中點，連接PM、PN、MN.(1)BE與MN的數(shù)量關(guān)系是;(2)將ADEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；(3)若CB=6,CE=2,在將圖中的DEC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)B、E、D三點在一條直線上時,第8題圖解：（1）BE=mMN;【解法提示】AM=ME,AP=PB,PM/BE,PM=2BE,.BN=DN,AP=PB,一一一11. PN/AD,PN=,AD,AC=BC,CD=CE,AD=BE, .PM=PN, ./ACB=90°, ACXBC, PM/BC,PN/AC,PM

21、±PN, .PMN是等腰直角三角形, .MN=#PM,1 MN=#/BE,BE=2MN.(2)成立.證明：如解圖，連接 ABC和4CDE是等腰直角三角形.CD=CE,CA=CB,/ACB=/DCE=90°, ./ACB-ZACE=ZDCE-ZACE,./ACD=ZECB. .ECBADCA.BE=AD,/DAC=ZEBC. ./AHB=180-(7HAB+ZABH)=180°(45+/HAC+/ABH)=180(45°+/EBC+ZABH)=180-90=90°, BHXAD. M、N、P分別為AE、BD、AB的中點，11 .PM/BE,PM=

22、2BE,PN/AD,PN=AD.，PM=PN,/MPN=90°.BE=2PM=2X布-1,Vl7+1.【解法提示】如解圖，作CGXBD于G,則dg=cg=ge=72.第8題解圖當(dāng)D、E、B共線時，在RtABCG中BG="BC2CG2=62(。2)2=啊,BE=BGGE=強恒 1MN=2BE=717-1；平,如解圖，作CGXBE于G,則CG=GE=DG=當(dāng)D、E、B共線時，在RtABCG中,BG=bC2-CG2=邢（短）2=產(chǎn) .BE=BG+GE=啊+點.mn=，be=V17+i.9.如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連接BE,將ABE沿BE折疊得到FBE,且點

23、F落在矩形ABCD的內(nèi)部，連接AF,BF,EF,過點F作GFLAF交AD于點G,設(shè)AD=n.AE(1)求證：AE=GE;AD.(2)當(dāng)點F落在AC上時，用含n的代數(shù)式表水而的值;(3)若AD=4AB,且以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值.AEGD第9題圖證明：由折疊性質(zhì)得AE=FE,./EAF=ZEFA. .GFXAF, /EAF+/FGA=/EFA+/EFG=90°, ./FGA=ZEFG,EG=EF, .AE=GE;(2)解：如解圖，當(dāng)點F落在AC上時，設(shè)AE=a,則AD=na,AEGD第9題解圖由對稱性得BEXAF,./ABE+ZBAC=90°, ./

24、DAC+ZBAC=90°,./ABE=/DAC.又./BAE=ZD=90°,ABEADAC,ABAE_DADC. .AB=DC,AB2=ADAE=naa=na2, AB>0,AB=1Jna.ADnaAB.na(3)解：若AD=4AB,則AB=；a,如解圖，當(dāng)點F落在線段BC上時,此時na=a,-n=4,4，當(dāng)點F落在矩形內(nèi)部時，點F落在矩形的內(nèi)部，點n>4.G在AD上,./FCGv/BCD,./FCG<90°.若/CFG=90°,則點F落在AC上,AD目口4AB由(2)行AF=®即"ABnn'n=16.如解圖

25、，若/CGF=90°,則/CGD+ZAGF=90°. /FAG+ZAGF=90°,./CGD=/FAG=/ABE. /BAE=ZD=90°,ABEADGC,ABAE=DGDC. ,DG=AD-AE-EG=na-2a=(n-2)a,.AB-DC=DGAE,即(na)2=(n2)aa,4解得ni=8+4*,上=84*<4(不合題意，舍去).綜上，當(dāng)n=16或n=8+46時，以點F,C,G為頂點的三角形是直角三角形.類型四面積問題10.在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點P分別作PMXAB,PNAC,M、N分別為垂足.求證：不論點P

26、在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高;(2)當(dāng)BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大，并求出最大值.第10題圖證明：如解圖，連接AP,設(shè)等邊三角形AB邊上的高為h.第10題解圖Saabp+Saacp=Saabc,.111一. 2ABPM+£ACPN=2ABh, AB=AC,.-.PM+PN=h,即PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；【一題多解】證明：如解圖，過點B作BDLNP,垂足為D,在RtABPM中,/MBP=60°,第10題解圖 ./BPM=30°.在RtACNP中，/C=60°,.CPN=30°

27、. ./BPD=ZCPN=30°,./BPD=/BPM.在RtABPM和RtABPD中，NBMP=/BDPS/BPM=ZBPD,、BP=BP .BPMABPD(AAS),PM=PD,PM+PN=PD+PN=DN,過點B作BELAC,垂足為E, 四邊形BDNE為矩形，PM+PN=DN=BE,即PM+PN等于三角形ABC一邊上的高；(2)解：如解圖，設(shè)BP=x(0<x<2),那么PC=2-x,在RtABPM中，/B=60°,BM=,AM=2,PM=222 Saapm="AMPM=1(2x)x=*x$x2.在RtACNP中，/C=60°,2_x2_

28、xx3(2_x) -CN=-2-5AN=2-2-=1+x,PN=二,SaAPN=/npn=2(i+2)S四邊形AMPN=Saapm+$APN=乎x+乎'/=34Mx+當(dāng)一半(x-1)2十歲,當(dāng)x=1時，四邊形AMPN的面積有最大值是即當(dāng)BP=1時，四邊形AMPN的面積有最大值是334，3、3；.11.如圖，在矩形ABCD中，AD=4,AB=m(m>4),點P是AB邊上的任意一點(不與點A、B重合)，連接PD,過點P作PQ±PD,交直線BC于點Q.(1)當(dāng)m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由;(2)連接AC,若PQ/AC

29、,求線段BQ的長(用含m的代數(shù)式表示);(3)若4PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍.DQB第11題圖解：(1)假設(shè)存在點P使得點Q與點C重合. PQXPD, ./DPC=90°, ./APD+ZBPC=90°, ./APD+ZADP=90°, ./ADP=ZBPC,又./B=/A=90°,ADPABPC, ad=apPBBC'4=AP,解得AP=2或8.10-AP4'當(dāng)m=10時，存在點P,使得點Q與點C重合，此時AP的長為2或8;(2)由(1)可知，當(dāng)PQLPD時，AD

30、PsBPQ,ADAP門口4mBP小=,即=；BPBQ'BPBQ'當(dāng)PQ/AC時，BPQsBAC,聯(lián)立、，可得4m264BQ=2；m'(3)當(dāng)4PQD為等腰三角形時，DP=PQ,在ADP與BPQ中，VDAP=/PBQA/ADP=/BPQ,DP=PQADPABPQ(AAS),.AP=BQ,AD=BP=4,AB=m,BQ=AP=m-4,如解圖，當(dāng)點Q在線段BC上時,第11題解圖S=S矩形ABCDSaADP-SaBPQ=4m2x|x(m4)X4=16,.m>4且BQWBC即m-4<4,解得4<m<8.如解圖，點Q在BC延長線上時，PB第11題解圖1.11

31、12一S四邊形pcqd=S梯形adqbSaadpSapbc=2*(4+m4)xm2X4X(m4)2*4X4=2m2m,QB>BC,m-4>4,解得m>8,16(4<m<8)綜上'Sgm22m(m>8)12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別是A(0,2)和C(243,0),點D是對角線AC上一動點(不與A、C重合)，連接BD,作DEXDB,交x軸于點E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF.(1)填空：點B的坐標(biāo)為;是否存在這樣的點D,使得DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由;(3)求