圓錐曲線的統(tǒng)一定義教學設計-王金林

1、圓錐曲線的統(tǒng)一定義教學設計江蘇省通州高級中學 王金林教材分析：圓錐曲線是一個重要的數(shù)學模型， ，它具有很多非常好的幾何性質，在日常生活、社會生 產及科學技術中都有著重要而廣泛地應用。本章內容與數(shù)學必修二中“平面解析幾何初步” 一樣，都以滲透解析幾何的基本思想為教學目標，以“展示背景，建立曲線概念；建立方程， 研究曲線性質”為主線，并在學生具有較多的感性認識的基礎上建立一般曲線方程的概念。 這種從特殊到一般、從感性到理性的學習過程符合學生的認知發(fā)展規(guī)律。教材從“總 - 分- 總”的設計思路，先從整體上認識圓錐曲線的概念，了解橢圓、雙曲線、拋 物線的內在關系，再運用方程思想分別研究橢圓、雙曲線、拋

2、物線的幾何性質，進而通過統(tǒng) 一定義從總體上進一步認識三種曲線的關系。教科書從拋物線的定義出發(fā)，創(chuàng)設情境，提出 類比、猜想，得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，從更高的形式上揭示圓錐曲線之間的內在的關系， 使學生充分感受數(shù)學的內在的、和諧的美，并且通過對研究過程的反思，培養(yǎng)欣賞美、發(fā)現(xiàn) 美的能力和意識，提高數(shù)學審美能力。教學目標了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，掌握根據(jù)標準方程求圓錐曲線的準線方程的方法教學重點，難點圓錐曲線的統(tǒng)一定義及準線方程教學過程一、問題情境1情境：我們知道，平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在I上）的距離的比等于1的 動點P的軌跡是拋物線.當這個比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點 P

3、的軌跡又是什么曲線呢？2. 問題：精品資料試探討這個常數(shù)分別是-和2時，動點P的軌跡？21的定值的點的軌跡為橢圓1的定值的點的軌跡為雙曲線3. 猜想：猜想一：至U定點的距離和到定直線的距離之比為小于猜想二：到定點的距離和到定直線的距離之比為大于、學生活動證明猜想1 回顧橢圓標準方程的推導過程在推導橢圓的標準方程時, 我們曾得到這樣一個方程：a2 cx = a (x c)2+ y2 ,將其變形為(x c)2+ y22a x c你能解釋這個方程的幾何意義嗎?.(x c)2+ y2 動點(x,y )到(c,0 )的距離22x動點(x,y )到直線x 的距離cc2進一步證明：動點P到定點(c,0)的距

4、離和到定直線a2c的距離之比為(a c 0)a證明：根據(jù)題意可得(x c)2 y2I a II x|c化簡得(a2c2)x2a2y2 a2(a2c2)令 a2 c22b2，上式可化為務a2每 1(a b 0)b這是橢圓的標準方程.的軌跡是橢圓3.類比證明：已知點P(x,y)到定點F(c,0)的距離與它到定直線的點P的軌跡為雙去線2l : x 距離之比(c a 0)ca精品資料4. 由探究試驗的結論以及拋物線的定義，歸納概括出橢圓的統(tǒng)一定義圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為：平面內到一個定點 F和到一條定直線I ( F不在I上)的距離的比 等于常數(shù)e的點的軌跡.當0 e 1時，它表示橢圓；當e 1時，它表示

5、雙曲線；當e 1時，它表示拋物線.其中e是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線I是圓錐曲線的準線.25.橢圓務a2古 1(a b0)有兩個焦點，兩條準線，右焦點F(c,0)，右準線x2 ac左焦點F ( c,0)，左準線x2離心率e -(0 e 1)ca2 雙曲線篤a21(a 0,b 0)有兩個焦點，兩條準線，右焦點F(c,0)，右準線x2 ac左焦點F ( c,0)，左準線x2，離心率e (e 1)ca6.根據(jù)圖形的對稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準線，對于中心在原點，焦點在 x軸上的22橢圓或雙曲線，與焦點Fi( c,0), F2(c,0)對應的準線方程分別為x ,x .cc三

6、、數(shù)學運用例1.求下列曲線的焦點坐標與準線方程x2 y222x2 y222(1 1(2)4xy 16(3)匚 1(4)4y x 16591692 21上一點P到左焦點的距離是4,求該點到橢圓左準線的距離.例2 橢圓59變式1:求該點到橢圓右準線的距離.精品資料備用：橢圓2 2x y4b2 b21上一點到右準線的距離是2、3b，求該點到橢圓左焦點的距離.解：設該橢圓的的左右焦點分別是FF2，該橢圓的離心率為e -1，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義2可知，PF2 e 2.3b 3 2、一 3b 3b2所以，PR 4b PF2 4b 3b b即該點到橢圓左焦點的距離為b .說明：橢圓和雙曲線分別有兩個焦點和兩

7、條準線，在解題過程中要注意對應，即左焦點對應 左準線，右焦點對應右準線（或上焦點對應上準線、下焦點對應下準線.）四.課堂小結：探究 猜想 證明圓錐曲線的統(tǒng)一定義.焦點與準線的求解（求解步驟）利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義來解決問題教學反思：在必修2中我們學習了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念及求法己經有一定理解， 前面又詳細學習了圓錐曲線中橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程、幾何性質，以及簡單應 用，通過拋物線的學習加深了學生對圓錐曲線統(tǒng)一的認識，提高對坐標法這一解析幾何基本 方法的應用能力，提高學生綜合能力。本節(jié)在抓好基礎知識的同時，注重激發(fā)學生學習的興趣，同時注重學生在自我探索過程 中發(fā)現(xiàn)知識，培

8、養(yǎng)探究意識。讓學生成為一名自主的學習者和探索者，讓學生處在一種對知 識的追求狀態(tài)中。圓錐曲線統(tǒng)一定義很簡單但非常重要，學習時指導學生注意和拋物線定義相聯(lián)系。由拋 物線定義導入新課，將比值1改變，曲線會是什么形狀？學生先猜想，后從形和數(shù)兩個方面 進行驗證。從探究一一猜想一一證明這一過程中，學生獲取了知識，而且加深了理解。教師 作為熱烈討論的平等氛圍中的引導者，鼓勵學生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談論和參與體驗，精品資料 留給學生更多的思考和探索，轉變學習方式。驗證學生的結果在教學過程中，結合本節(jié)課的具體內容，確立啟發(fā)探究式教學、互動式教學法進行教學 這兩種教學方法，體現(xiàn)了認知心理學的基本理論。課堂上為學生的主動參與提供充分的時間 和空間，讓不同程度的學生勇于發(fā)表自己的各種觀點（無論對錯） ，選出代表上講臺講解等做 法，學生勇于展示。每個學生都經過獨立思考后在前后左右的同學形成小組中進行了交流討 論，共同進步。借助與多媒體設備，用了幾何畫板軟件輔助作圖，動畫、影像等多種形式強 化對學生感觀的刺激，可以極大提高學習興趣，變抽象為直觀，加大一堂課的信息容量