21_充分條件與必要條件_基礎(chǔ)

1、1.21充分條件與必要條件【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解充分條件、必要條件、充要條件的定義；2 .會(huì)求某些簡(jiǎn)單問(wèn)題成立的充分條件、必要條件、充要條件；3 .會(huì)應(yīng)用充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件表達(dá)命題之間的關(guān)系4 .能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要性的證明【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、充分條件與必要條件充要條件的概念符號(hào)pnq與pnq的含義若p,則q為真命題，記作：p=q;若p,則q”為假命題，記作：pTq.充分條件、必要條件與充要條件若pnq,稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果既有p=q,又有qnp,就記作puq,這時(shí)p是q的充分必要條件，稱p是q的充要條件

2、要點(diǎn)詮釋：對(duì)pnq的理解：指當(dāng)p成立時(shí)，q一定成立，即由p通過(guò)推理可以得到q.若p,則q為真命題；p是q的充分條件；q是p的必要條件以上三種形式均為“pnq”這一邏輯關(guān)系的表達(dá).要點(diǎn)二、充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關(guān)系看命題若p,則q，其條件p與結(jié)論q之間的邏輯關(guān)系若p=q,但qVp,則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若p=q,但q=p,則p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件；若p=q,且q=p,即puq,則p、q互為充要條件；若p=fq,且q4p,則p是q的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關(guān)系看若p：xCA,q:xCB,若AB,則p是q的充分條

3、件，q是p的必要條件；若A是B的真子集，則p是q的充分不必要條件；若A=B，則p、q互為充要條件；若A不是B的子集且B不是A的子集，則p是q的既不充分也不必要條件.要點(diǎn)詮釋：充要條件的判斷通常有四種結(jié)論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進(jìn)行：確定哪是條件，哪是結(jié)論；嘗試用條件推結(jié)論，再嘗試用結(jié)論推條件，最后判斷條件是結(jié)論的什么條件.要點(diǎn)三、充要條件的證明要證明命題的條件是結(jié)論的充要條件，既要證明條件的充分性(即證原命題成立)，又要證明條件的必要性(即證原命題的逆命題成立)要點(diǎn)詮釋：對(duì)于命題若p,則q”如果p是q的充分條件，則原命題若p,則q

4、”與其逆否命題若q,則p”為真命題；如果p是q的必要條件，則其逆命題若q,則p”與其否命題若p,則q為真命題；如果p是q的充要條件，則四種命題均為真命題.【典型例題】類型一：充分條件、必要條件、充要條件的判定(1) 指出下列各題中，p是q的什么條件？(2) p：(x2)(x3)=0,q:x=2；2(3) p：c=0,q：拋物線y=ax+bx+c過(guò)原點(diǎn)(4) p：一個(gè)四邊形是矩形，q：四邊形的鄰邊相等【解析】(1) p：x=2或x=3,q：x=2p=fq且q=p,.1-p是q的必要不充分條件；(2) /p=q且q=p,，p是q的充要條件；(3) ;pq且q。p,p是q的既不充分條件也不必要條件.

5、【總結(jié)升華】判定充要條件的基本方法是定義法，即定條件一一找推式一一下結(jié)論”有時(shí)需要將條件等價(jià)轉(zhuǎn)化后再判定.舉一反三：【變式1】指出下列各題中，p是q的什么條件？(1)p:/A=/B,q:/A和/B是對(duì)頂角.2p：x=1,q：x=1；p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件(2) .q：x2=1：=x=1或乂-1，x=1=x2=1,但x2=1nx=1,p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件【變式2】判斷下列各題中p是q的什么條件.(1) p：a0且b0,q：ab0xp:1,q：xy.y【答案】(2) p是q的充分不必要條件.a0且b0時(shí)，ab0成立；反之，當(dāng)ab0時(shí)，只要求a、b同

6、號(hào)即可.，必要性不成立.(3) p是q的既不充分也不必要條件x:一:1在y0的條件下才有xy成立.y，充分性不成立，同理必要性也不成立例2.已知p:0x3,q:|x-1|2,貝Up是q的()(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件【解析】q:|x-1|2,解得-1x3,亦即q：-1x2的一個(gè)必要不充分條件為()A.x1B.x：二1C.x3D.x：二3【答案】A【變式2】(2015天津文)設(shè)xCR,則“1vx2”是“|x2|V1”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】由|x2|v1=1vx21=-1x0【

7、解析】(1)充分性：若xy=0,那么x=0,yWQxWQy=0；x=0,y=0,于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0,即x0,y0或x0,y0,y0時(shí)，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當(dāng)x0,y0綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xyQ【總結(jié)升華】充要條件的證明關(guān)鍵是根據(jù)定義確定哪是已知條件，哪是結(jié)論，然后搞清楚充分性是證明哪一個(gè)命題，必要性是證明哪一個(gè)命題.判斷命題的充要關(guān)系有三種方法：(1)定義法；(2)等價(jià)法，即利用AnB與一AnB；A-B與一Au-B的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系(否定式)的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷，若AGB,則A

8、是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B,則A是B的充要條件.舉一反三：【變式1】已知a,b,c都是實(shí)數(shù)，證明ac0是關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件.【答案】(1)充分性：若ac0,方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相異實(shí)根，設(shè)為xi,X2,cac0,.xix2=c0,x20,c貝Uxix2=0,ac0a綜上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件.【變式2】求關(guān)于x的方程ax2+2x+i=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件.【答案】(i)a=0時(shí)適合.(2)當(dāng)awo時(shí)，顯然方程沒(méi)有零根，若方程有兩異號(hào)的實(shí)根，則必須滿足:二0二4一4a0若方

9、程有兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，則必須滿足a2-：0a:=44a_0綜上知，若方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，則a|反之，若al,則方程至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，因此，關(guān)于x的方程ax2+2x+i=0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是al類型三：充要條件的應(yīng)用例4.已知p：A=xCR|x2+ax+i0,q：B=xCR|x2-3x+20若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】B=xCR|x2-3x+20=x|iWW2,p是q的充分不必要條件，pnq,即AB,可知A=0或方程x2+ax+i=0的兩根要在區(qū)間i,2內(nèi)正:0a2i一一2A=a240或-2一，得24W2.42ai_0iai_0【總結(jié)升華】解決這類參數(shù)的取

10、值范圍問(wèn)題，應(yīng)盡量運(yùn)用集合法求解，即先化簡(jiǎn)集合A、B,再由它們的因果關(guān)系，得到A與B的包含關(guān)系，進(jìn)而得到相關(guān)不等式組，解之即可舉一反三：【變式i】已知命題p：icx0),命題q:x7或xi,并且p是q的既不充分又不必要條件，則c的取值范圍是.【答案】0c2【解析】命題p對(duì)應(yīng)的集合A=x|icx0,同理，命題q對(duì)應(yīng)的集合B=x|x7或xi.因，一，、，、，,一，一一，i-c-i為p是q的既不充分又不必要條件，所以AcB=0或A不是B的子集且B不是A的子集，所以，ic7,、ic_-i或W，解得c0,綜上所述得0cW2.i-c_7x-i22【變式2】已知p：|i-|0),右p是q的充分不必要條件，求

11、m的取值氾圍.【答案】m-9【解析】由x2-2x+i-m2E0(m0)解得i一mExEi+m又由|i152解得2xi0p是q的充分不必要條件，所以m0m0imW2,或ii-m4”是a2且b2”的()A.充分非必要條件B,必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件4 .b=c=0是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5 .(2016四川理)已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面”，3內(nèi).則直線a和直線b相交”是平面“和平面3相交”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條

12、件6 .(2016天津理)設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則q0”是對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-i+a2nb,cd”是看一cbd”的.10 .函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(aw0的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是.三、解答題11 .下列各題中，p是q的什么條件？(1)p：x=1;q：x1=Vx-1.(2)p：1x5q：xA1且xw5.(3)p：三角形是等邊三角形；q：三角形是等腰三角形.12 .(1)寫出|x|-1的一個(gè)必要不充分條件；(3)寫出-2的一個(gè)充要條件x13 .已知p:x2-8x-200,q:x2-2x+1-a20,若p是q的充分而不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.14,不等式

13、x2-2mx-10對(duì)一切1aW3都成立，求m的取值范圍.15 .證明：方程ax2+bx+c=0有一為1的充要條件是a+b+c=0.【答案與解析】1 .【答案】C.【解析】由題意A?C,則？uC?uA,當(dāng)B?uC,可得AAB=?”；若AAB=?”能推出存在集合C使得A?C,B?uC,，U為全集，A,B是集合，則存在集合C使得A?C,B?uC是“AA養(yǎng)？”的充分必要的條件.故選：C.2 .【答案】A3 解析】a|_b=|a|_|b|cos,由已知得cosa,b*1,即=0,a/b.而當(dāng)ab時(shí),4 4.*,444-JJ-L.一JA一一4,但a2且b2不成立，即充分性不成立，若a2且b2,則必有a+b

14、4,即必要性成立，故a+b4”是a2且b2”的必要不充分條件，故選：B.4 .【答案】A【解析】若b=c=0,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c=ax2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若二次函數(shù)y=ax2+bx+c過(guò)原點(diǎn)，則c=0,故選A.5 .【答案】A【解析】直線a與直線b相交，則o(,P一定相交，若口，P相交則a,b可能相交，也可能平行，故選A.6 .【答案】C【解析】由題意得，a2ni+a2n0=a1(q2n/+q2n,)0二q2,(q+1)0且b24ac0a0且b24ac08 .【答案】充分不必要【解析】點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y=2x+1上，即an=2n+1,an為等差數(shù)列，但是an是等差數(shù)列卻不一定就是

15、an=2n+1.9 .【答案】(1)必要不充分條件(2)充分不必要條件(3)既不充分也不必要條件10 .【答案】b=0【解析】f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱？2=0Ub=0.2a11 .【解析】(1)充分不必要條件當(dāng)x=1時(shí)，x-1=Jx-1成立；當(dāng)x1=Jx1時(shí),x=1或x=2.(2)充要條件1x1且x5.(3)充分不必要條件等邊三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等邊三角形.12.【解析】(1)此題為開放題，只要寫出3-2今-1的集合即可，如x|x-2即x-2.1(3)0x0,得p:A=x|x10或x0,得q:B=x|x1+a或x1-a,a0依題意，p=q且q#p,說(shuō)明AuB,a0于是有彳1+a10且等號(hào)不同時(shí)成立，解得：0aw3,1-a-2，正實(shí)數(shù)a的取值范圍是00對(duì)一切1蟲w堵B成立，只需f(x)=x2-2mx-1在1,3上的最小值大于0即可.(1)當(dāng)mwi時(shí),f(x)在1,3上是增函數(shù),f(x)min=f(1)=-2m0,解得m0,又mWJ,/.m3時(shí)，f(x)在1,3上是減函數(shù)