單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究

1、單擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究摘要 單擺問(wèn)題是高中物理及大學(xué)普通物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)問(wèn)題。受各種 因素的影響，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律較為復(fù)雜。本文建立了理想模式下單擺的數(shù)學(xué)模型， 現(xiàn) 實(shí)情況下單擺的數(shù)學(xué)模型.等對(duì)單擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了探究。首先，本文從理想情況出發(fā)，由牛頓第二定律進(jìn)行推理，建立了無(wú)阻尼小角 度單擺運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)單擺的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了初步探究。然后，本文又建立了無(wú)阻尼大角度單擺運(yùn)動(dòng)模型， 進(jìn)一步完善了理想模式下 單擺的數(shù)學(xué)模型。最后，本文從實(shí)際出發(fā)，考慮單擺運(yùn)動(dòng)中受到的阻力因素， 以理想模式下單 擺的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，建立了現(xiàn)實(shí)情況下單擺的運(yùn)動(dòng)模型，深度的對(duì)單擺運(yùn)動(dòng)進(jìn) 行了探索。關(guān)鍵詞簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 角度 阻尼運(yùn)動(dòng) 單擺

2、運(yùn)動(dòng)目錄一、問(wèn)題的描述二、模型假設(shè)三、模型建立及求解1理想模式下單擺的數(shù)學(xué)模型1.1 小角度單擺運(yùn)動(dòng)模型1.1.1 模型建立1.1.2 模型求解1.1.3 結(jié)果分析1.2 大角度單擺運(yùn)動(dòng)模型1.2.1 模型建立1.2.2 模型求解1.2.3 結(jié)果分析2現(xiàn)實(shí)模式下單擺的數(shù)學(xué)模型2.1 小、大阻尼單擺運(yùn)動(dòng)模型2.1.1 模型建立2.1.2 模型求解2.1.3 結(jié)果分析四模型分析一問(wèn)題的描述根據(jù)平常接觸到的擺鐘、秋千等實(shí)物中，我們可以抽象出單擺的模型。細(xì)線一 端固定在懸點(diǎn)，另一端系一個(gè)小球，如果細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直 接與線的長(zhǎng)度相比也可以忽略，這樣的裝置就叫做單擺.我們從理想情況出發(fā)

3、進(jìn)行 分析，并逐漸完善從而推導(dǎo)出單擺實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律。二模型假設(shè)1懸掛小球的細(xì)線伸縮和質(zhì)量均忽略不記，線長(zhǎng)比小球的直徑大得多;2 .裝置嚴(yán)格水平；3 .無(wú)驅(qū)動(dòng)力。三模型建立及求解1理想模式下單擺的數(shù)學(xué)模型9圖1簡(jiǎn)單單擺模型在t時(shí)刻，擺錘所受切向力ft(t)是重力mg在其運(yùn)動(dòng)圓弧切線方向上的分力，即f(t) =mg sin(t)完全理想條件下，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，切向加速度為：a(t) = g sin (t)因此得到單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程組：drgain(9 (r)(1)1.1 小角度單擺運(yùn)動(dòng)模型1.1.1 模型建立當(dāng)擺角8很小時(shí),sin 8故方程1可簡(jiǎn)化為：婆 +& 8=0(2)出* I1.

4、1.2 模型求解利用matlab軟件在0, 5o分別作出方程（1）和方程（2）的解得圖像小角度單擺擺動(dòng)規(guī)律（一方程（1）的解，*方程（2）的解）1.1.3 結(jié)果分析(0<5),由圖像可以看出兩方程的解的圖像幾乎吻合, 兩方程的解幾乎相等，單擺運(yùn)動(dòng)可看為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。1.2 大角度單擺運(yùn)動(dòng)模型1.2.1 模型建立當(dāng)擺角很大時(shí)，方程sin0再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近,1.2.2 模型求解此時(shí)利用MATLAB計(jì)算軟件，得到2000個(gè)不同擺角的的精確解.然后以擺角 為橫軸，利用繪圖函數(shù)polt （ x , y ）繪制出任意擺角下單擺周期的精確解的曲線%單擺周期與擺角的關(guān)系a= 0;b

5、= pi/ 2;n= 1000;s1= 1: n;h= ( b-a) / n;h1= pi/ ( 2* n)c= 0: hi: pi/ 2x= a;s= 0;for i1= 1: ( n+ 1)f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) A2* ( sin( x ) ) A2) / pi;for i2= 1: nx= x+ h;f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) A2* ( sin( x ) ) A2) / pi;s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2;f0= f1;enddisp( 1/ s)s1( i1) = s;s

6、= 0;endplot( c, s1)xlabel( 'theta0/rad )ylabel( 'T/T0')大擺角單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 程序如下：%建立方程(1)Function xdot= per( t,x) xdot= -9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1) %建立方程(2)Function xdot= per1( t,x) xdot= -9. 8* x( 2) x( 1) %利用ode45求解微分方程 t0= 0; tf= 10;t, x = ode45( ' per' , t0, t f , pi/ 2, 0) t1, x1 = ode

7、45 ( 'peU' , t0, tf , pi/ 2, 0) plot( t, x( :, 2),'-') holdonplot( t1, x1( :, 2),'')U. b0.40.20-0.2-0.40.6時(shí)間t/s1.2.3 結(jié)果分析如圖所示，隨著單擺擺角的增大，單擺的周期也會(huì)增加圖中兩根曲線表明： 大擺角振動(dòng)時(shí)，單擺的運(yùn)動(dòng)軌跡并不是簡(jiǎn)單的正、余弦曲線(雖然很相似),而且,最大擺角越小，兩根曲線越相似；擺角越大，分離越明顯2現(xiàn)實(shí)模式下單擺的數(shù)學(xué)模型2.1.1 模型建立現(xiàn)實(shí)情況下，繩子的質(zhì)量，擺球的半徑，空氣的阻力等等都對(duì)單擺的擺動(dòng)有影 響

8、,這些影響的主要作用就是阻止單擺的擺動(dòng)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可設(shè)單擺在擺動(dòng)中受到阻力fz,顯然阻力與擺錘的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，即阻力是單擺線速度的函數(shù)： fz = f(v) , fz =kv(t)上式中，k>0為阻力比例系數(shù)，式中的負(fù)號(hào)表示阻力方向與擺錘運(yùn)動(dòng)方向相反。切向加速度由切向合力ft fz產(chǎn)生，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，有a(?) = gsin£ (r) -m因此得到修正后的單擺運(yùn)動(dòng)微分方程組dv (?)(5)(6)=gsin0(t)-did® v(f)dt 一I仍然使用歐拉算法求解：將（h=¥（F+dr） 邊雨© = 8。+曲）8代入 式（5）及式（6）中

9、，并以仿直步進(jìn)量小作為證的近似，得到基于時(shí)間的遞推方程.2.1.2 模型求解據(jù)此編寫仿真程序：subplot(2,1,1)dt=0.0001; %仿真步進(jìn)T=16; %仿真時(shí)間長(zhǎng)度t=0:dt:T;%仿真計(jì)算時(shí)間序列g(shù)=9.8;L=1.5;m=8;k=3;th0=1.5; %初始擺角設(shè)置,不能超過(guò)九/2v0=0; %初始擺速設(shè)置v=zeros(size(t); %程序存儲(chǔ)變量預(yù)先初始化，可提高執(zhí)行速度 th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解開(kāi)始v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*

10、dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end %使用雙坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)作圖AX,B1,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),'plot');set(B1,'LineStyle'"); % 設(shè)置圖線型set(B2,'LineStyle',':');set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','線速度 v(t)m/s');% 作標(biāo)注set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移 th(t)/rad');xlabel('時(shí)間 t/s');legend(B1,線速度 v(t)',2);legend(B2,角位移 th(t)',1);Figure 1Edit View Insert Tools Desktop Window HelpPEjem 能 5一強(qiáng)2 o-26oJIt/s8間寸B.增大阻力系數(shù)k=50可以得大阻尼時(shí)單擺的運(yùn)動(dòng)情況File Edit View Insert Tools Desktop Window HelpfEeA但熠s