微積分中值定理詳細(xì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1微積分中值定理微積分中值定理(dngl)詳細(xì)詳細(xì)第一頁，共80頁。 由于(yuy) f (x)在處取最大值，所以不論 x為正或?yàn)樨?fù)，總有 當(dāng) x 0時(shí), (2)若M m ，則M , m中至小有一個(gè)不等于 f (a) ，不妨設(shè) f (a) M 。因此，函數(shù) f (x)在內(nèi)(a,b)某一點(diǎn)處取到最大值M 。我們來證 。0)(f0)()(fxf0)()(xfxf0)()(lim)(0 xfxffx同理，當(dāng) x 0時(shí),0)()(xfxf從而 ，因此，任取 (a,b)都有0)(f0)( xf0)(f因此(ync)必然有 0()( )( )lim0 xfxffx 第2頁/共80頁第二頁，共80頁。

2、 3.1.2 拉 格 朗 日 中 值 定 理 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間a,b上的圖形是一條連續(xù)光滑的曲線弧 ，顯然 是連接點(diǎn)A(a, f (a)和點(diǎn)B(b, f (b)的弦 的斜率，如圖 所示，容易看出，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使弧 上的點(diǎn)C(, f ()的切線與弦 平行。 ABABabafbf)()(ABAB圖y o x ACBab 由上述的討論(toln)，我們可以得到如下定理拉格朗日（Lagrange）中值定理。 第3頁/共80頁第三頁，共80頁。)()()()(bafabafbf 定理(dngl)2 設(shè)函數(shù) f (x)滿足條件： （1）在閉區(qū)間(q jin)a,b上連續(xù)； （2）在開

3、區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)； 則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)(y din) ，使得 )()()()(baabfbfaf或)()()()(axabafbfafy 分析：若 f (a) = f (b)即為羅爾定理，不妨設(shè) f (a) f (b) ，證明的思路是借助一個(gè)輔助函數(shù)把拉格朗日定理轉(zhuǎn)化為已知的羅爾定理。 容易看出，弦 的方程為 AB第4頁/共80頁第四頁，共80頁。 證 作輔助(fzh)函數(shù) )()()()()(axabafbfafxf即 而曲線弧 與弦 的縱坐標(biāo)之差為 ABAB它是 x 的函數(shù)，將其記為 ，顯然函數(shù)滿足羅爾定理的條件。 ,),(baxx),()()()()()()(baxaxab

4、afbfafxfx0)()()()(abafbff顯然 在上a,b連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且 )(x0)()(ba于是由羅爾定理，至少存在(cnzi)一點(diǎn) (a,b) ，使得 .),()()()(bafabafbf第5頁/共80頁第五頁，共80頁。? . ).()()()( ., 存在什么樣的關(guān)系與直線我們來看看曲線的切線該是每點(diǎn)處的切線而與曲線有關(guān)的直線應(yīng)：線兩個(gè)端點(diǎn)的直線因此，可得到一條過曲），（已知條件是laxabafbfafylbaxxfy)(xfy )(,(afa)(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT 與 l 平行(pngxng)這樣(zhyng)的x可

5、能有好多第6頁/共80頁第六頁，共80頁。( )( )( )()f bf afba .),()()()(bafabafbf()( )( )()f xxf xfxxxx 在區(qū)間 上應(yīng)用拉各朗日中值定理時(shí)，結(jié)論可以寫成 ,x xx 第7頁/共80頁第七頁，共80頁。 由拉格朗日定理(dngl)可以得出兩個(gè)重要的推論。 證 在(a,b)內(nèi)任意取兩點(diǎn) x1，x2，不妨設(shè) x1 x2，顯然 f (x)在a,b上連續(xù)，在(x1，x2)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中定理(dngl)可知，至少存在一點(diǎn) (x1，x2) ，使得 推論(tuln)2 若函數(shù) f (x)， g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且 推論1 若函數(shù) f

6、(x)在(a,b)內(nèi)任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) ，則 f (x)在(a,b)內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。 0)( xf)()()(1212xxfxfxf由條件知 ，從而f (x2) f (x1) = 0。即 f (x2) = f (x1)。由 x1，x2是(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，于是我們就證明了 f (x)在(a,b)內(nèi)恒為一個(gè)常數(shù)。 0)(f),(),()(baxxgxf),(,)()(baxcxgxf則在(a,b)內(nèi)， f (x)與g(x)最多相差一個(gè)常數(shù)，即第8頁/共80頁第八頁，共80頁。其中(qzhng)c為常數(shù)。 ),(,)()(baxcxgxf 事實(shí)上，因?yàn)?，由推論1可知 ),(,0)()( )()(ba

7、xxgxfxgxf),(,)()(baxcxgxf 應(yīng)用拉格朗日定理(dngl)，我們不可以證明一些等式和不等式 。第9頁/共80頁第九頁，共80頁。例例1. 證明證明(zhngmng)等式等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論(tuln)可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)(chngsh) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn): 欲證Ix時(shí),)(0Cxf只需證在 I 上, 0

8、)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共80頁第十頁，共80頁。例例2. 證明證明(zhngmng)不等式不等式證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理(dngl)條件,即因?yàn)?yn wi)故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共80頁第十一頁，共80頁。 3.1.3 柯 西 中 值 定 理 定理(dngl)3 設(shè)函數(shù) f (x) 和 g(x) 滿足條件： 作為(zu

9、wi)拉格朗日定理的推廣，我們證明如下柯西定理：0)()3( xg則在(a,b)內(nèi)至少(zhsho)存在一點(diǎn)，使得 證 先用反證法證明g(b) g(a)0，若不然，即有g(shù)(b) = g(a).則由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)x0 (a,b)，使得 ，此與條件(3)矛盾，故有g(shù)(b) g(a)0。 0)(0 xg （1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)； （2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；)()()()()()()(bagfagbgafbf第12頁/共80頁第十二頁，共80頁。 注 容易看出(kn ch)，拉格朗日中值定理是柯西定理當(dāng) g (x) = x時(shí)的一個(gè)特殊情況?？挛鞫ɡ淼囊粋€(gè)直接應(yīng)用是證明下面的洛必達(dá)法

10、則。 即)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF顯然F (x)滿足羅爾定理的三個(gè)條件，因此，在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 ，即 0)(F)(0)()()()()()(bagagbgafbff)()()()()()()(xagfagbgafbf 為證明等式成立，我們(w men)作輔助函數(shù) 第13頁/共80頁第十三頁，共80頁。法國(f u)數(shù)學(xué)家,他是一位律師(lsh),數(shù)學(xué)(shxu)只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,2無整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn至今尚未得到普遍的證明

11、.他還是微積分學(xué)的先驅(qū) ,費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的.第14頁/共80頁第十四頁，共80頁。法國(f u)數(shù)學(xué)家.他在方程(fngchng)論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論(shln)方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第15頁/共80頁第十五頁，共80頁。法國(f u)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)(gngxin)主要集中在微積分學(xué),柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應(yīng)用 等,有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而

12、深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 第16頁/共80頁第十六頁，共80頁。三、其他(qt)未定式 二、 型未定式一、 型未定式00機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)法則(fz) 第三章 第17頁/共80頁第十七頁，共80頁。定理：設(shè)（1） （2）在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)（點(diǎn) 本身可以 除外(chwi)）， 及 存在且 （3） 存在或?yàn)闊o窮大，則有0)(lim, 0)(lim00 xgxfxxxx0 x0 x)(xf )(xg0)( xg)()(lim0 xgxfxx0

13、0一 兩個(gè)(lin )無窮小量之比的極限 （ 型） 3.1.4 羅必達(dá)法則(fz)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx第18頁/共80頁第十八頁，共80頁。.123lim2331xxxxxx解:原式 lim1x型00266lim1xxx23注意: 不是(b shi)未定式不能用洛必達(dá)法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第19頁/共80頁第十九頁，共80頁。.arctanlim12xxx解:原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx型機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnh

14、u) 結(jié)束 第20頁/共80頁第二十頁，共80頁。. )0(lnlimnxxnx解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例4. 求解: (1) n 為正整數(shù)的情形(qng xing).原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共80頁第二十一頁，共80頁。例如(lr),xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1用洛必達(dá)法則(fz) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

15、回 結(jié)束 第22頁/共80頁第二十二頁，共80頁。例如(lr),xxxxsinlim1cos1limxx極限(jxin)不存在)sin1 (limxxx1機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )lim()( )fxg x 不存在不存在)()(lim)()(limxgxfxgxf第23頁/共80頁第二十三頁，共80頁。,0 ,00,1型0解決(jiju)方法:通分轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)(do sh)轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共80頁第

16、二十四頁，共80頁。型. )tan(seclim2xxx解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)(do sh)轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)(du sh)轉(zhuǎn)化第25頁/共80頁第二十五頁，共80頁。.lim0 xxx型00解: xxx0limxxxeln0lim0e1利用(lyng) 例5例5 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)(do sh)轉(zhuǎn)化0010取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化第26頁/共80頁第二十六頁，共80頁。.sintanlim20 xxxxx解:注意(z

17、h y)到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁/共80頁第二十七頁，共80頁。洛必達(dá)法則(fz)型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第28頁/共80頁第二十八頁，共80頁。1. 設(shè))()(limxgxf是未定式極限(jxin) , 如果)()(xgxf不存在(cnzi) , 是否)()(xgxf的極限也不存在 ?舉例說明 .極限說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29

18、頁/共80頁第二十九頁，共80頁。法國(f u)數(shù)學(xué)家,他著有無窮小分析(fnx)(1696),并在該書中提出(t ch)了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達(dá)法的擺線難題 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 ,在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書 .則 ”.他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共80頁第三十頁，共80頁。xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxx

19、cossec)1ln()1ln(lim)3220解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三節(jié) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共80頁第三十一頁，共80頁。一、函數(shù)單調(diào)(dndio)性和極值 機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、曲線(qxin)的凹凸與拐點(diǎn)3.2函數(shù)性態(tài)的研究 第三章 第32頁/共80頁第三十二頁，共80頁。3.2.1 函數(shù)單調(diào)函數(shù)單調(diào)(dndio)性性和極值和極值1.函數(shù)的單調(diào)函數(shù)的單調(diào)(dndio)性性若定理(dngl) 1. 設(shè)函數(shù))(xf( )0fx 則 在 (a,b)內(nèi)單調(diào)遞增)(xf( )0) ,fx (遞減(djin)

20、.證: 無妨設(shè),0)(Ixxf任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf),(21xxI0故. )()(21xfxf這說明 在 I 內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在(a,b) 內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證畢第33頁/共80頁第三十三頁，共80頁。例例1. 確定確定(qudng)函數(shù)函數(shù)31292)(23xxxxf的單調(diào)(dndio)區(qū)間.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)(dndio)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(xf的單

21、調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁/共80頁第三十四頁，共80頁。yxo1)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是(ksh)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如(lr),),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,),(,3xxy23xy 00 xyyox3xy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第35頁/共80頁第三十五頁，共80頁。20 x時(shí), 成立(chngl)不等式.2sinxx證: 令,2sin)(xxxf,2,0()(上連續(xù)在則xf，上可導(dǎo)在)2,0(2sincos)(xxxxxf

22、)tan(cos2xxxx1xtanx0,)2,0()(內(nèi)單調(diào)遞減在因此xf從而(cng r)2,0(,2sinxxx0)2()(fxf,2)(處左連續(xù)在又xf因此且證證明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第36頁/共80頁第三十六頁，共80頁。0tanxx令,tan)(xxx則xx2sec1)(x2tan),0(,02x,),0()(2上遞減在x從而(cng r)0)0()(x即),0(,0tan2xxx第37頁/共80頁第三十七頁，共80頁。2 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的極值的極值及其求法及其求法定義(dngy):,),()(內(nèi)有定義在設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的一個(gè)鄰域若存在0 x在

23、其中(qzhng)當(dāng)0 xx 時(shí), )()(0 xfxf(1) 則稱 為 的極大值點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱 為 的極小值點(diǎn) ,0 x)(xf稱 為函數(shù)的極小值 .)(0 xf極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第38頁/共80頁第三十八頁，共80頁。3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大(j d)點(diǎn)52,xx為極小(j xio)點(diǎn)3x不是極值點(diǎn)2) 對(duì)常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn).1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如1x為極大點(diǎn) ,

24、2) 1 (f是極大值 1)2(f是極小值 2x為極小點(diǎn) , 12xoy12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第39頁/共80頁第三十九頁，共80頁。定理 2 若函數(shù) f (x) 在點(diǎn) 處有極值，且 存在，則0 x)(0 xf 0)(0 xf使 的點(diǎn) 稱為函數(shù)f (x)的駐點(diǎn)0)(0 xf0 xxaboy1x4x2x5x3x第40頁/共80頁第四十頁，共80頁。定理定理(dngl) 1 (極值第一判別極值第一判別法法),)(0的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)函數(shù)xxf且在空心(kng xn)鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù)(do sh),0時(shí)由小到大通過當(dāng)xx(1) )(xf “由正變負(fù)” ,;)(0取極小值在則xxf(2)

25、 )(xf “由負(fù)變正” ,.)(0取極大值在則xxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3) )(xf 符號(hào)不改變 ,則 在 處無極值( )f x0 xxaboy1x4x2x5x3x第41頁/共80頁第四十一頁，共80頁。例例1. 求函數(shù)求函數(shù)32) 1()(xxxf的極值(j zh) .解:1) 求導(dǎo)數(shù)(do sh)32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求極值(j zh)可疑點(diǎn)令,0)( xf得;521x令,)( xf得02x3) 列表判別x)(xf )(xf0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是極大點(diǎn)，其極大值為0)0(f是極小點(diǎn)，其極小值為52x3

26、3. 0)(52f機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第42頁/共80頁第四十二頁，共80頁。定理定理2 (極值極值(j zh)第二判別法第二判別法)二階導(dǎo)數(shù)(do sh) , 且處具有在點(diǎn)設(shè)函數(shù)0)(xxf,0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若則 在點(diǎn) 取極大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若則 在點(diǎn) 取極小值 .)(xf0 x機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(3)()0 ,fx 若若不確定第43頁/共80頁第四十三頁，共80頁。例例2. 求函數(shù)求函數(shù)1) 1()(32 xxf的極值(j zh) . 解: 1) 求導(dǎo)數(shù)(do sh),) 1(6)(22xxx

27、f) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求駐點(diǎn)(zh din)令,0)( xf得駐點(diǎn)1,0, 1321xxx3) 判別因,06)0( f故 為極小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判別法判別.,1)(左右鄰域內(nèi)不變號(hào)在由于xxf.1)(沒有極值在xxf1xy1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第44頁/共80頁第四十四頁，共80頁。下列命題是否(sh fu)正確？為什么？ (1) 若 ，則 x0是 f (x)的極值點(diǎn)；0)(0 xf (2) 若 f (x) 在 x0點(diǎn)取得極值，必有 ；0)(0 xf 解 (1) 錯(cuò)誤。如 f (x)x3 ，則 ，但f (x) 在 x

28、00點(diǎn)無極值。0)0( f (2) 錯(cuò)誤。反例為 ，易知 f (x) f (0) ，即x00 是 f (x)極值點(diǎn)，但 f (x)在x00不可導(dǎo)。xxf)(第45頁/共80頁第四十五頁，共80頁。,)(上連續(xù)在閉區(qū)間若函數(shù)baxf則其最值只能(zh nn)在極值(j zh)點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到 .求函數(shù)最值的方法:(1) 求 在 內(nèi)的極值可疑點(diǎn))(xf),(bamxxx,21(2) 最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第46頁/共80頁第四十

29、六頁，共80頁。 當(dāng) 在 內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),)(xf,ba 當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),)(xf,ba最值必在端點(diǎn)(dun din)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大(j d) 值 , 則也是最大 值 . (小) 對(duì)應(yīng)用問題 , 有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大 值點(diǎn)或最小值點(diǎn) .(小)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第47頁/共80頁第四十七頁，共80頁。3.2.2 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 1 曲線的凹凸性 定義：如果一段曲線位于它上面任一點(diǎn)(y din)的切線上方， 我們就稱這段曲線是凹曲線； 如果一段曲線位于它上面任一點(diǎn)(y din)的切線下方， 我們就稱這段曲線是凸曲線； 第48頁/共80

30、頁第四十八頁，共80頁。2曲線(qxin)的拐點(diǎn)：如果一條曲線(qxin)既有凹的部分也有凸的部分，3 那么這兩部分的分界點(diǎn)叫拐點(diǎn)。yox第49頁/共80頁第四十九頁，共80頁。定理定理2.(凹凸凹凸(o t)判判定法定法)(xf(1) 在 I 內(nèi),0)( xf則 在 I 內(nèi)圖形是凹的 ;)(xf(2) 在 I 內(nèi),0)( xf則 在 I 內(nèi)圖形是凸的 .)(xf設(shè)函數(shù)(hnsh)在區(qū)間(q jin)I 上有二階導(dǎo)數(shù)第50頁/共80頁第五十頁，共80頁。4xy 的凹凸(o t)性.解:,43xy 212xy 時(shí)，當(dāng)0 x;0 y,0時(shí)x, 0 y故曲線(qxin)4xy 在),(上是向上凹的.

31、說明:1) 若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,2) 根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理, 可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線)(xfy ,0連續(xù)在點(diǎn)x0)(0 xf或不存在,但)(xf 在 兩側(cè)異號(hào),0 x則點(diǎn))(,(00 xfx是曲線)(xfy 的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變 .在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),xyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第51頁/共80頁第五十一頁，共80頁。例例2. 求曲線求曲線(qxin)3xy 的拐點(diǎn)(ui din). 解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在(cnzi)0因此點(diǎn) ( 0 , 0 ) 為曲線3xy 的拐點(diǎn) .oxy凹凸機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

32、 結(jié)束 第52頁/共80頁第五十二頁，共80頁。xxy24362 )(3632xx例例3. 求曲線求曲線(qxin)14334xxy的凹凸(o t)區(qū)間及拐點(diǎn).解:1) 求y ,121223xxy2) 求拐點(diǎn)(ui din)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令0 y得,03221xx對(duì)應(yīng)3) 列表判別271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在)0,(),(32及上向上凹,向上凸 ,點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及),(271132均為拐點(diǎn).上在),0(32凹凹凸機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 32) 1 , 0(),(271132第53頁/共80頁第五十三頁，共80頁。1.

33、 可導(dǎo)函數(shù)(hnsh)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)(dndio)遞增Ixxf,0)()(xf在 I 上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第54頁/共80頁第五十四頁，共80頁。 1 ,0上,0)( xf則, ) 1 (, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小(dxio)順序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0()

34、1 ()0() 1 ()(ffffD提示(tsh): 利用)(xf 單調(diào)增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 設(shè)在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第55頁/共80頁第五十五頁，共80頁。 .),(21)1,(2121e21xey的凹區(qū)間(q jin)是凸區(qū)間(q jin)是拐點(diǎn)為提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及yox)1,(2121e)1,(2121e ; ;第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第56頁/共80頁第五十六頁，共80頁。112xxy有位于(wiy)一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證(qizhng)曲線 證明(zhngmng)： y y222

35、) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxxxxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx) 1(22xx2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第57頁/共80頁第五十七頁，共80頁。令0 y得,11x, )1,1(從而(cng r)三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)?yn wi)32所以三個(gè)拐點(diǎn)(ui din)共線.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第58頁/共80頁第五十八頁，共80頁。證明(zhngmng):2

36、0 x當(dāng)時(shí)，.2sinxx有證明(zhngmng):xxxF2sin)(令, 0)0(F, 則)(xF )(xF)(xF是凸函數(shù))(xF即xx2sin)20( x0)2(F2cosxxsin0)2(),0(minFF0機(jī)動(dòng) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (自證)第59頁/共80頁第五十九頁，共80頁。1. 連續(xù)函數(shù)的極值(j zh)(1) 極值(j zh)可疑點(diǎn) :使導(dǎo)數(shù)為0 或不存在的點(diǎn)(2) 第一充分條件)(xf 過0 x由正變負(fù))(0 xf為極大值)(xf 過0 x由負(fù)變正)(0 xf為極小值(3) 第二充分條件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf為極大值)(0 xf為極小值

37、0)(,0)(00 xfxf定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第60頁/共80頁第六十頁，共80頁。最值點(diǎn)應(yīng)在極值(j zh)點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找 ;應(yīng)用題可根據(jù)問題(wnt)的實(shí)際意義判別 .第61頁/共80頁第六十一頁，共80頁。)(xfy 是方程(fngchng)042 yyy的一個(gè)(y )解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf則)(xf在)(0 x(A) 取得(qd)極大值 ;(B) 取得極小值 ;(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .提示:,)(代入方程將xf0)(4)(00 xfxfA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得令,0 xx 第62頁/共80頁第六十

38、二頁，共80頁。特點(diǎn)(tdin):)(01xp)(0 xf)(0 xf )(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分(wi fn)應(yīng)用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計(jì)誤差 ?xx 的一次多項(xiàng)式第63頁/共80頁第六十三頁，共80頁。要求(yoqi):, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令)

39、(xpn則)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201第64頁/共80頁第六十四頁，共80頁。1.冪級(jí)數(shù)常用(chn yn)的幾個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式定義1： 給定數(shù)列 則表達(dá)式 叫做無窮級(jí)數(shù)（簡稱為級(jí)數(shù)）， 記為或 或 。其中第n 項(xiàng) 叫做無窮級(jí)數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。,21nuuunuuu211nnununu第

40、65頁/共80頁第六十五頁，共80頁。如果(rgu)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是常數(shù)，這級(jí)數(shù)稱為常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)或數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；如果(rgu)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是函數(shù)，這級(jí)數(shù)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。),()()()(21baxxuxuxun第66頁/共80頁第六十六頁，共80頁。冪級(jí)數(shù)nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000其中 是常數(shù)，叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù) naaaa,210nnnnnxaxaxaaxa22100第67頁/共80頁第六十七頁，共80頁。 nnxnfxfxffxf!) 0 (! 2) 0 () 0 () 0 ()()(22. f (x)的冪級(jí)數(shù)展開式函數(shù)(hnsh) f (x)在點(diǎn)x=

41、0處的冪級(jí)數(shù)展開式第68頁/共80頁第六十八頁，共80頁。xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中(qzhng)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第69頁/共80頁第六十九頁，共80頁。)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中(qzhng)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm機(jī)動(dòng)(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第70頁/共80頁第七十頁，共80頁。! )2(2mxmxxfcos)()3(類似(li s)可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中(qzhng)(12xRm! )22(m)cos() 1(