5.靜力學(xué)：相圖、物理平衡復(fù)習(xí)

1、本講導(dǎo)學(xué)靜力學(xué)的基本方程大家都是熟知的，對(duì)于每個(gè)物體寫合力為零+合力矩為零，但是這樣的后果是經(jīng)常造出一個(gè)n元一次方程組（n元不等式的處理辦法我們?cè)谏弦恢v已經(jīng)部分解決）。如何省去不必要的麻煩是這一講的目標(biāo)。正是“去掉所有不必要的東西”“用同一個(gè)方程表述盡量多的情況”這樣的想法誘發(fā)了拉格朗日等人建立了理論力學(xué)。如今理論力學(xué)已經(jīng)幾乎現(xiàn)代物理的標(biāo)準(zhǔn)描述方式。靜力學(xué)化簡(jiǎn)的基本原理在于，約束力是“要多大，有多大”約束力和約束總是成對(duì)出現(xiàn)，增加一個(gè)幾何條件，增加一個(gè)未知的力。如果能讓一個(gè)約束力不出現(xiàn)在方程中，方程組就會(huì)從一個(gè)n元一次方程組變成n-1元一次方程組。要知道在n很大的時(shí)候，解方程計(jì)算量大約是加，從

2、而導(dǎo)致你的運(yùn)算3時(shí)間隨著n3增長(zhǎng)，計(jì)算正確率隨著（1q下降，其中q是你一次計(jì)算犯錯(cuò)的概率。所以要干事情就是不讓約束力出現(xiàn)。第一部分：矢量力學(xué)的基本方法1、在垂直于約束力方向?qū)懛匠?，也就是高中天天念叨的“在XX方向的分力”2、通過(guò)合理選取支點(diǎn)，讓一些力不出現(xiàn)。注意I只有合外力等于0的體系才能導(dǎo)致體系不同點(diǎn)為支點(diǎn)計(jì)算力矩相同II同一個(gè)物體選擇兩個(gè)支點(diǎn)寫方程,相當(dāng)于一個(gè)力矩方程+個(gè)不平行于支點(diǎn)連線方向的受力方程。3、通過(guò)以整體為對(duì)象，將內(nèi)部相互作用消去（相當(dāng)于用目測(cè)的辦法把兩個(gè)方程加了一下）4、即將滑動(dòng)的時(shí)候?qū)⒛Σ亮椭С至铣梢粋€(gè)確定方向，不定大小的力。然后配合矢量圖或者三力匯交解決問(wèn)題。（相當(dāng)于

3、用目測(cè)的辦法把f二卩N這個(gè)式子帶入了）5、計(jì)算的主要復(fù)雜度來(lái)源于將方程相加時(shí)候，要把同類項(xiàng)都乘一遍，再加一遍，如果能每次都能“用一個(gè)方程消滅一個(gè)未知數(shù)”，那么你解的就是n個(gè)一元一次方程，而不是n元一次方程組，正確概率會(huì)變成（1q）n，時(shí)間變成n，顯然好了很多。以5為最后目標(biāo)，以1-4為手段，絕大部分靜力學(xué)暴力計(jì)算題都可以合理時(shí)間內(nèi)解決。附加說(shuō)明兩點(diǎn)1明白這些原理的老師命的題可以使得以上做法全部失效，參見(jiàn)學(xué)而思出的第29屆復(fù)賽模擬試題匯編（六套），在下載。2如何在壓根沒(méi)時(shí)間解方程時(shí)候，只通過(guò)解方程混分，參見(jiàn)暑期最后一節(jié)課的騙分學(xué)導(dǎo)論。例題精講【例1】經(jīng)典老題，體會(huì)一下怎么從初學(xué)時(shí)候?qū)懭齻€(gè)方程，變

4、化到寫兩個(gè)方程，再變化到只寫一個(gè)方程。（03年北京力學(xué)競(jìng)賽決賽）如圖所示，一個(gè)半徑為R的光滑半球面固定在水平面上，ABC代表一剛性均勻細(xì)桿，它和A、B點(diǎn)接觸均無(wú)摩擦，若圖示桿所處的位置是平衡位置，已測(cè)出AC=L,那么圖中的ABC和水平的角度0可以計(jì)算出來(lái)為?！纠?】經(jīng)典老題，注意怎么樣選擇支點(diǎn)，“每一步都解出一個(gè)未知數(shù)”避免高元方程。如圖所示，半徑分別為r和r的兩個(gè)均勻圓柱體置于同一水平面上，在大圓柱上繞有一根細(xì)12繩，通過(guò)細(xì)繩對(duì)大圓柱施以水平拉力P。設(shè)所有接觸處的靜摩擦因數(shù)均為卩。為使在力P的作用下，大圓柱能翻過(guò)小圓柱，問(wèn)卩應(yīng)滿足何條件？高二物理競(jìng)賽秋季班第4講學(xué)生版【例3】第28屆復(fù)賽第二

5、題，注意怎么樣拆分體系，“每一步都解出一個(gè)未知數(shù)”避免高元方程。二、（20分）質(zhì)量均勻分布的剛性桿AB、CD如圖28復(fù)一2放置，A點(diǎn)與水平地面接觸，與地面間的靜摩擦因數(shù)為“A,B、D兩點(diǎn)與光滑豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦因數(shù)為“c，兩桿的質(zhì)量均為m,長(zhǎng)度均為1.（1）已知系統(tǒng)平衡時(shí)AB桿與墻面夾角&,求CD桿與墻面的夾角a應(yīng)滿足的條件（用a及已知量滿足的方程式表示）。（2）若“A=1.00,“c=0866,0=60.0，求系統(tǒng)平衡時(shí)a的取值范圍（用數(shù)值計(jì)算求出）。MN知識(shí)模塊第二部分：分析力學(xué)的基本方法詳細(xì)的推導(dǎo)有興趣的同學(xué)可以翻周樂(lè)柱寫的理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程我們只講其中跟高中相關(guān)的。

6、在滿足約束條件的情況下，約束力一定不做功，只有主動(dòng)力做功，因此在寫能量變化的方程的時(shí)候，只有主動(dòng)力會(huì)出現(xiàn)，從而達(dá)到了消去約束力的目的。例題精講【例4】復(fù)習(xí)一下情景的受力求法。1. 質(zhì)量為m長(zhǎng)度為1/4圓弧的鏈條鋪在半徑為R的光滑圓柱上，為了保持平衡需要在頂端加一個(gè)水平拉力。求拉力大小。2. 質(zhì)量為m長(zhǎng)度為l的過(guò)山車駛過(guò)一個(gè)半徑為R的軌道，速度為v。求不同車廂之間的拉力隨著不同位置0變化的函數(shù)。3. 分別計(jì)算表面張力為b的球形氣泡和兩段封閉的圓柱形氣泡的內(nèi)外壓強(qiáng)差。半徑為r4. 平行板電容器面積為S，厚度為d。充電點(diǎn)為Q，求兩極板之間的作用力。已知真空中1 廠電場(chǎng)的能量密度為丁eE22 0盤體先

7、麗奎t音橋憚賓=?www.cduu.Ciorrii5. 還是那個(gè)電容器兩極板接電源喬，求兩極板之間的作用力。06. 還是那個(gè)電容器，將其一般面積塞上介電系數(shù)為的電介質(zhì)，求維持平衡需要的外力。r7. 兩塊足夠大的導(dǎo)體板，相距為d，流動(dòng)著面電流密度為的電流，兩面流動(dòng)方向相反。B2求為了保持平衡單位面積上需要加的外力為多少。已知真空中磁場(chǎng)能量密度為。2卩0總結(jié)：使用虛功原理的條件。1. 平衡態(tài)2. 保守力3. 能量和做功能順利寫出虛功原理的使用步驟1. 尋找合適的變量（滿足約束條件的獨(dú)立變量）2. 寫出體系總能量3. 寫出這個(gè)變量變化的時(shí)候?qū)?yīng)的做功表達(dá)式【例5】1.求圓心角為。的勻質(zhì)圓環(huán)的質(zhì)心2.

8、 求勻質(zhì)半圓柱的質(zhì)心3把這個(gè)半圓柱放在斜面上，能保持平衡。求斜面傾斜角度和摩擦系數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的條件。高二物理競(jìng)賽秋季班第4講學(xué)生版【例6】平衡吊如圖四根桿鉸接。長(zhǎng)度比為3：3：1：1。短桿長(zhǎng)度為l，兩邊吊著質(zhì)量為m的重物，中間放著原【例7】如圖做出一個(gè)半徑為半R的圓形的厚度為h的平行板電容器，其中是一個(gè)質(zhì)量為m能繞過(guò)圓心的軸宣傳的金屬片。上下兩片接電壓U。中間版接地。先讓中間的板轉(zhuǎn)出。角度。1、問(wèn)當(dāng)前狀態(tài)是否平衡。是否穩(wěn)定。如果穩(wěn)定，求出振動(dòng)周期；如果不平衡求出保持平衡所需要的力矩。2、將電壓條件換成上下極板帶電為各自為Q，中間極板帶電為-2Q，重做第一問(wèn)?！纠?】如圖左右是兩面墻，中間是兩個(gè)相

9、同的圓柱，所有地方磨擦系數(shù)足夠。圓柱均勻，質(zhì)量均為m。問(wèn)體系是否可能平衡。若可以，求出平衡對(duì)應(yīng)的條件。若不能，描述體系從靜止開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)。高二物理競(jìng)賽秋季班第4講學(xué)生版www-cdilhu.loom【例9】無(wú)限大空間充滿密度為P的水。中間放置了兩個(gè)空心硬質(zhì)球，半徑為r,距離為1。求保持兩高二物理競(jìng)賽秋季班第4講學(xué)生版【例10】喀什米爾效應(yīng)（選講）兩塊面積為S的間距為h的金屬板對(duì)立放置hJS。1、求兩塊板之間可能的電磁波的駐波頻率（只考慮垂直于板方向）2、我們做一個(gè)不正確的但是便于理解的近似：當(dāng)溫度為T的時(shí)候，能量狀態(tài)大于kT的態(tài)上沒(méi)有光子，能量狀態(tài)小于kT的態(tài)上有一個(gè)光子。求這個(gè)體系的電磁波的能

10、量。3、求為了保持兩塊板平衡所需要的外力。物理世界太陽(yáng)風(fēng)太陽(yáng)風(fēng)是從恒星上層大氣射出的超聲速等離子體帶電粒子流。在不是太陽(yáng)的情況下，這種帶電粒子流也常稱為“恒星風(fēng)”太陽(yáng)風(fēng)是一種連續(xù)存在，來(lái)自太陽(yáng)并以200-800km/s的速度運(yùn)動(dòng)的等離子體流。這種物質(zhì)雖然與地球上的空氣不同，不是由氣體的分子組成，而是由更簡(jiǎn)單的比原子還小一個(gè)層次的基本粒子一一質(zhì)子和電子等組成，但它們流動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)與空氣流動(dòng)十分相似，所以稱它為太陽(yáng)風(fēng)。太陽(yáng)會(huì)在太陽(yáng)黑子活動(dòng)的高峰時(shí)產(chǎn)生太陽(yáng)風(fēng)暴，它是由美國(guó)“水手2號(hào)”探測(cè)器于1962年發(fā)現(xiàn)的，它是太陽(yáng)因能量的增加而使得自身活動(dòng)加強(qiáng)，從而向廣袤的空間釋放出大量帶電粒子所形成的高速粒

11、子流，科學(xué)家把這一現(xiàn)象比喻為太陽(yáng)打“噴嚏”由于太陽(yáng)風(fēng)中的氣團(tuán)主要內(nèi)容是帶電等離子體，并高速闖入太空，因此它會(huì)對(duì)地球的空間環(huán)境產(chǎn)生巨大的沖擊。1850年，一位名叫卡林頓的英國(guó)天文學(xué)家在觀察太陽(yáng)黑子時(shí)，發(fā)現(xiàn)在太陽(yáng)表面上出現(xiàn)了一道小小的閃光，它持續(xù)了約5分鐘?？诸D認(rèn)為自己碰巧看到一顆大隕石落在太陽(yáng)上。鼻(駆(Ss卷先滯奎t音蔽憚蛋=rwww.cduuCioini到了20世紀(jì)20年代，由于有了更精致的研究太陽(yáng)的儀器。人們發(fā)現(xiàn)這種“太陽(yáng)光”是普通的事情，它的出現(xiàn)往往與太陽(yáng)黑子有關(guān)。例如，1899年，美國(guó)天文學(xué)家霍爾發(fā)明了一種“太陽(yáng)攝譜儀”，能夠用來(lái)觀察太陽(yáng)發(fā)出的某一種波長(zhǎng)的光。這樣，人們就能夠靠太陽(yáng)大氣中發(fā)光的氫、鈣元素等的光，拍攝到太陽(yáng)的照片。結(jié)果查明，太陽(yáng)的閃光和什么隕石毫不相干，那不過(guò)是熾熱的氫的短暫爆炸而已。在本世紀(jì)之前，這類情況對(duì)人類并沒(méi)有發(fā)生什么影響。但是，到了20世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)，磁暴會(huì)影響無(wú)線電接收，各種電子設(shè)備也會(huì)受到影響。由于人類越來(lái)越依賴于這些設(shè)備，磁暴也就變得越來(lái)越事關(guān)重