電路第五版第13章

1、2. 非正弦周期函數的有效值和平均功率非正弦周期函數的有效值和平均功率重點重點3. 非正弦周期電流電路的計算非正弦周期電流電路的計算1. 周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數第十三章第十三章 非正弦周期電流電路非正弦周期電流電路下 頁4. 濾波器電路濾波器電路 在實際應用中不一定都是正弦電路，經常會遇到非正在實際應用中不一定都是正弦電路，經常會遇到非正弦周期的電源和信號。在電子技術、自動控制、計算機和弦周期的電源和信號。在電子技術、自動控制、計算機和無線電技術等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦無線電技術等方面，電壓和電流往往都是周期性的非正弦波形。波形。非正弦周期交流信號的特

2、點非正弦周期交流信號的特點(1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期規(guī)律變化按周期規(guī)律變化)()(kTtftf 如果電路存在非線性元件，即使電源或信號源是正弦如果電路存在非線性元件，即使電源或信號源是正弦信號，電路中也將產生非正弦的周期電壓和電流。信號，電路中也將產生非正弦的周期電壓和電流。13.1 非正弦周期信號非正弦周期信號下 頁上 頁例例2示波器內的水平掃描電壓示波器內的水平掃描電壓周期性鋸齒波周期性鋸齒波例例1半波整流電路的輸出信號半波整流電路的輸出信號下 頁上 頁脈沖電路中的脈沖信號脈沖電路中的脈沖信號 Tt例例3下 頁上 頁基波（和原基波（和原函數同頻）函數同頻）二次諧波二次諧波

3、（2 2倍頻）倍頻） 高次諧波高次諧波)cos()(110 kkkmtkAAtf )cos()(1110 tAAtfm )2cos(212 tAm )cos(1nnmtnA 周期函數展開成付里葉級數：周期函數展開成付里葉級數：13.2 周期函數分解為傅里葉級數周期函數分解為傅里葉級數直流分量直流分量下 頁上 頁)sin()cos()(1110tkbtkaatfkkk 也可表示成：也可表示成：)arctan(2200kkkkkkmabbaAaA 系數之間的關系為系數之間的關系為)cos()(110 kkkmtkAAtf kkmkkkmkAbAaAa sincos00 下 頁上 頁 TdttfTa

4、A000)(1求出求出A0、ak、bk便可得到原函數便可得到原函數 f (t) 的展開式。的展開式。系數的計算系數的計算 2011)()sin()(1tdtktfbk 2011)()cos()(1tdtktfak下 頁上 頁利用函數的對稱性可簡化系數的確定利用函數的對稱性可簡化系數的確定（1）偶函數）偶函數 T/2t T/2f (t)0 )()( kbtftf T/2t T/2f (t)0 )()( katftf（2）奇函數）奇函數（3）奇諧波函數）奇諧波函數0 )2()(22 kkbaTtftftf (t)T/2T下 頁上 頁周期性方波信號的分解周期性方波信號的分解例例解解圖示矩形波電流在一

5、個周期內圖示矩形波電流在一個周期內的表達式為：的表達式為： TtTTtItiS2 020 )(m21)(102/00mTTmSIdtITdttiTI 直流分量：直流分量：諧波分量：諧波分量： 20)()sin()(1tdtktibSkK為偶數為偶數K為奇數為奇數 kItkkImm20)cos(0tT/2TSimI下 頁上 頁0)sin(2)()cos()(2020 tkkItdtktiamSkSi的展開式為：的展開式為：)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 下 頁上 頁t基波基波直流分量直流分量三次諧波三次諧波五次諧波五次諧波七次諧波七次諧波周期性方波波形分解周期性方波波

6、形分解tt)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 下 頁上 頁)5sin513sin31(sin22 tttIIimmS 基波基波直流分量直流分量三次諧波三次諧波直流分量直流分量+基波基波直流分量直流分量+基波基波+三次諧波三次諧波下 頁上 頁5sin513sin31sin22 tttIIimmS tT/2TSimI1Si3Si5Si0SI下 頁上 頁5Si等效電源等效電源3Si1Si0SI矩形波的頻譜圖矩形波的頻譜圖5sin513sin31sin22 tttIIimmS tT/2TSimIAkmo 3 5 7 為了表示一個周期函數分解為傅立葉級數后包含哪為了表示一個周期函

7、數分解為傅立葉級數后包含哪些頻率分量以及各分量所占的比重，可用長度與各次諧些頻率分量以及各分量所占的比重，可用長度與各次諧波振幅大小相對應的線段，按頻率的高低順序把它們依波振幅大小相對應的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來，成為幅度頻譜（線頻譜）。次排列起來，成為幅度頻譜（線頻譜）。下 頁上 頁 TTtdtktdtk000)()cos( , 0)()sin( 1. 三角函數的性質三角函數的性質 （1）正弦、余弦信號一個周期內的積分為）正弦、余弦信號一個周期內的積分為0。K為整數為整數 （2）正弦、余弦信號的平方在一個周期內的積分為）正弦、余弦信號的平方在一個周期內的積分為 。 )()(c

8、os ,)()(sin0202tdtktdtkTT13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率下 頁上 頁2)(cos ,2)(sin0202TdttkTdttkTT （3） 三角函數的正交性三角函數的正交性 Ttdtptk00)()sin()cos( pk Ttdtptk00)()cos()cos( 0)()sin()sin(0 tdtptkT 下 頁上 頁2. 非正弦周期函數的有效值非正弦周期函數的有效值)cos()(10kkmktkIIti 若若則有效值則有效值: TdttiTI02)(1dttkIITTkkmk 0120)cos(1 積分項中包含積分項中包含:20I2)c

9、os(kmktkI )cos(20kmktkII 下 頁上 頁)cos()cos(2pkmpmktptkII 1220 kkIII利用三角函數的性質：利用三角函數的性質：200201IdtITT 2220221)(cos1kmkkTmkIIdttkIT 0)cos(2100 dttkIITkTmk 0)cos()cos(210 dttptkIITpkmpTmk 222120 III 周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。量有效值平方和的平方根。下 頁上 頁)(pk 3. 非正弦周期函數的平均值非正弦周期函數的平均值 TavdttiT

10、I0)(1則其平均值為：則其平均值為：)cos()(10kkmktkIIti 若若 400)cos(4)cos(1TmTmavdttTIdttITI 下 頁上 頁IItTImTm898. 0637. 0)sin(440 4. 非正弦周期交流電路的平均功率非正弦周期交流電路的平均功率 TdtiuTP01)cos()(10ukkmktkUUtu )cos()(10kikmktkIIti 利用三角函數的性質，得：利用三角函數的性質，得：)( cos100ikukkkkkkIUIUP 22211100cos cos IUIUIU 210PPP下 頁上 頁平均功率直流分量的功率各次諧波的平均功率平均功率

11、直流分量的功率各次諧波的平均功率 1. 計算步驟計算步驟（2） 對各次諧波信號分別應用相量法進行分析計算；對各次諧波信號分別應用相量法進行分析計算；（1） 利用傅里葉級數，將非正弦周期函數展開成若干項不利用傅里葉級數，將非正弦周期函數展開成若干項不同頻率的諧波信號；同頻率的諧波信號；（3） 將以上計算結果轉換為正弦量；將以上計算結果轉換為正弦量；13.4 非正弦周期交流電路非正弦周期交流電路的計算的計算（4） 對時域正弦量進行迭加。對時域正弦量進行迭加。（a）對于直流分量作用時）對于直流分量作用時 C 相當于開路、相當于開路、L 相于短路相于短路;（b）在各次諧波頻率單獨作用下的）在各次諧波頻

12、率單獨作用下的 XL、XC 不同。不同。注意：將表示不同頻率正弦電流相量或電壓相量注意：將表示不同頻率正弦電流相量或電壓相量直接相加是沒有意義的。直接相加是沒有意義的。下 頁上 頁2. 計算舉例計算舉例例例1方波信號激勵的電路。求方波信號激勵的電路。求u, 已知：已知：sTAIpFCmHLRm 28. 6 1571000 1 20 、解解（1）已知方波信號的展開式為：）已知方波信號的展開式為：)5sin51 3sin31(sin22 tttIIimmS s.TA,Im286157 代入已知數據：代入已知數據：RLCuSitT/2TSimI下 頁上 頁直流分量直流分量A5 .78215720II

13、m A 10014. 3157221 mmII基波最大值基波最大值AIImm205115 五次諧波最大值五次諧波最大值rad/s101028.614.32266 T 角頻率角頻率三次諧波最大值三次諧波最大值AIImm 3 .333113 A5 .780 SI 電流源電流源各頻率的諧波分量為：各頻率的諧波分量為：A10sin10061 tiS A)103sin(3 .3363 tiS A)105sin(2065 tiS 下 頁上 頁mV57. 1105 .7820600 SRIU （2） 對對各種頻率的諧波分量單獨計算各種頻率的諧波分量單獨計算（a）直流分量）直流分量 IS0 作用作用電容斷路，

14、電感短路電容斷路，電感短路:A5 .780 SI（b）基波作用）基波作用AtiS )10sin100(61 k11010001011126C k50)()()()(RCLRXXXXjRjXjXRZCLCLCL XLRRIS0U0 k1101036L RLC1u1SimVZIUS 9025000105090210100)(3611 下 頁上 頁（c）三次諧波作用）三次諧波作用AtiS )103sin(310063 19.895 .374)()()3(3333CLCLXXjRjXjXRZ k33. 0101000103131126C 19.895 .374902103 .33)3(633 ZIUS

15、mV 2 .179247.12k310103336 L RLC3u3Si下 頁上 頁（d）五次諧波作用）五次諧波作用A)105sin(2065 tiS 53.893 .208)()()5(5555CLCLXXjRjXjXRZ k2 .0101000105151126C 53.893 .2089021020)5(655 ZIUSk510105536 L mV53.1792166.4 RLC5u5Si下 頁上 頁 （3）各）各諧波分量計算結果化成正弦量并迭加諧波分量計算結果化成正弦量并迭加5310uuuUu mVU57. 10 mVU 2 .179247.123mVU 90250001mVU 53

16、.1792166. 45)90cos(500057. 1 t )2 .1793cos(47.12 t )53.1795cos(166. 4 t 下 頁上 頁例例2已知已知 u ( t ) 是周期函數，波形如圖，是周期函數，波形如圖，L=1/2 H，C=125/ F，求理想變壓器原邊電流求理想變壓器原邊電流 i1( t ) 及輸出電及輸出電壓壓 u2 的有效值。的有效值。2410.5u/Vt/ms12解解sradT/102/23 ) cos(1212)(ttu Ai5 . 18/1210 當當u=12V作用時，電容開路、作用時，電容開路、電感短路，有：電感短路，有：020 u*C1i2i2u2

17、: 18 Lu下 頁上 頁AjjjUI25 . 1426411 VUU 021211VUnU 02611121VU243. 4262 Ati)90cos(35 . 101 作用時作用時當當)cos(12 tu 410125102163 CXC 1102110233 LXL21U 0212* *11I2 : 18 4j j21I11U 021211I8 4j 4j下 頁上 頁例例3求求 Uab、i 及功率表的讀數。及功率表的讀數。VttutVu)303cos(2100cos2220 ,cos2220021 已知已知解解一次諧波作用時：一次諧波作用時：VUab 0440)1(AjjI 4 .189

18、6. 63222060440)1(三次諧波作用時：三次諧波作用時：VUab 30100)3(AjjI 1518. 133305606030100)3(VUab22.45110044022 Atti)153cos(218. 1)4 .18cos(296. 6 WP92.14524 .18cos96. 6220 I60 j20 1UWab2U*,20 L 下 頁上 頁 45cos18. 11004 .18cos96. 6440P6018. 16096. 622 RP3濾波器濾波器 利用電感和電容元件的感抗和容抗對各次諧波的反應利用電感和電容元件的感抗和容抗對各次諧波的反應不同，組成含有電感和電容的

19、各種不同電路，將其接在輸不同，組成含有電感和電容的各種不同電路，將其接在輸入和輸出之間，讓某些所需頻率分量順利通過而抑制某些入和輸出之間，讓某些所需頻率分量順利通過而抑制某些不需要的頻率分量，這種電路為濾波器。不需要的頻率分量，這種電路為濾波器。低通濾波器：使低頻電流分量順利通過，抑制高頻電流分量。低通濾波器：使低頻電流分量順利通過，抑制高頻電流分量。 高通濾波器：使高頻電流分量順利通過，抑制低頻電流分量。高通濾波器：使高頻電流分量順利通過，抑制低頻電流分量。 低通低通高通高通下 頁上 頁圖示電路中，激勵圖示電路中，激勵 u1(t) 包含包含 1、 2 兩個頻率分量，且兩個頻率分量，且 1 2

20、 ，要求響應，要求響應 u2(t) 只含有只含有 1 頻率電壓，如何實現？頻率電壓，如何實現？可由圖示濾波電路實現：可由圖示濾波電路實現：CRC2C3L1+_u1(t)+_u2(t)2121CL )(13211CCL 并聯(lián)諧振，相當于開路并聯(lián)諧振，相當于開路串聯(lián)諧振，相當于短路串聯(lián)諧振，相當于短路例例1解解+_u1(t)u2(t)下 頁上 頁電路如圖所示，已知電路如圖所示，已知=1000 rad/s，C=1F，R=1，在穩(wěn)態(tài)時，在穩(wěn)態(tài)時，uR(t)中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波中不含基波，而二次諧波與電源二次諧波電壓相同，求：電壓相同，求：（1） us(t)的有效值；的有效值；（2）電感）電感 L1和和 L2；（3）電源發(fā)出的平均功率。）電源發(fā)出的平均功率。VtttuS)2cos(216)cos(21512)( VUS25161512222 :,)(,)(1即即中中不不含含基基波波時時并并聯(lián)聯(lián)諧諧振振與與tuCLR 11LC HCL1101000116221 例例2解解CRL1+_+_uR(t)L2us(t)