六、最優(yōu)潮流

1、東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n概述n最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型n最優(yōu)潮流算法綜述n簡(jiǎn)化梯度算法n解耦最優(yōu)潮流計(jì)算 東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n基本潮流基本潮流：對(duì)一定的擾動(dòng)變量：對(duì)一定的擾動(dòng)變量p（負(fù)荷情況），根據(jù)給定的（負(fù)荷情況），根據(jù)給定的控制變量控制變量u（發(fā)電機(jī)有功、無(wú)功、節(jié)點(diǎn)電壓模值等），求出（發(fā)電機(jī)有功、無(wú)功、節(jié)點(diǎn)電壓模值等），求出相應(yīng)的狀態(tài)變量相應(yīng)的狀態(tài)變量x。n一次基本潮流計(jì)算，決定了電力系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)行狀態(tài)。一次基本潮流計(jì)算，決定了電力系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)行狀態(tài)。n基本潮流計(jì)算結(jié)果主要滿足了變量間等約束條件?；境绷?/p>

2、計(jì)算結(jié)果主要滿足了變量間等約束條件。 f (x，u，p)=0東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n系統(tǒng)系統(tǒng)狀態(tài)變量狀態(tài)變量及有關(guān)函數(shù)變量的上下限值間有一定間距，及有關(guān)函數(shù)變量的上下限值間有一定間距，控制變控制變量量可以在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，因而對(duì)某一種負(fù)荷情況，理論上有眾可以在一定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，因而對(duì)某一種負(fù)荷情況，理論上有眾多可行解。選出最佳方案。多可行解。選出最佳方案。n最優(yōu)潮流最優(yōu)潮流就是當(dāng)系統(tǒng)的就是當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)結(jié)構(gòu)參數(shù)及及負(fù)荷情況負(fù)荷情況給定時(shí)，通過(guò)給定時(shí)，通過(guò)控制變控制變量量的優(yōu)選，所找到的能的優(yōu)選，所找到的能滿足所有指定的約束條件滿足所有指定的約束條件，并使系統(tǒng)的某，并使系統(tǒng)

3、的某一個(gè)性能指標(biāo)或一個(gè)性能指標(biāo)或目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到達(dá)到最優(yōu)最優(yōu)時(shí)的潮流分布。時(shí)的潮流分布。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n最優(yōu)潮流和基本潮流比較，有以下不同點(diǎn)。最優(yōu)潮流和基本潮流比較，有以下不同點(diǎn)。n基本潮流計(jì)算時(shí)控制變量基本潮流計(jì)算時(shí)控制變量u是事先給定的；而最優(yōu)潮流中是事先給定的；而最優(yōu)潮流中的的u則是可變而待優(yōu)選的變量，為此必然有一個(gè)作為則是可變而待優(yōu)選的變量，為此必然有一個(gè)作為u優(yōu)優(yōu)選準(zhǔn)則的函數(shù)。選準(zhǔn)則的函數(shù)。n最優(yōu)潮流計(jì)算除了滿足潮流方程這一等式條件之外，還最優(yōu)潮流計(jì)算除了滿足潮流方程這一等式條件之外，還必須滿足與運(yùn)行限制有關(guān)的大量不等式的約束條件。必須滿足與運(yùn)行限制

4、有關(guān)的大量不等式的約束條件。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n進(jìn)行基本潮流計(jì)算是進(jìn)行基本潮流計(jì)算是求解非線性代數(shù)方程組求解非線性代數(shù)方程組；而最優(yōu)潮；而最優(yōu)潮流計(jì)算由于其模型從數(shù)學(xué)上講是一個(gè)流計(jì)算由于其模型從數(shù)學(xué)上講是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題非線性規(guī)劃問(wèn)題，因此需要采用最優(yōu)化方法來(lái)求解。因此需要采用最優(yōu)化方法來(lái)求解。n基本潮流計(jì)算所完成的僅僅是一種基本潮流計(jì)算所完成的僅僅是一種計(jì)算功能計(jì)算功能，即從給定，即從給定的的u求出相應(yīng)的求出相應(yīng)的x；而最優(yōu)潮流計(jì)算則能夠根據(jù)特定目標(biāo)；而最優(yōu)潮流計(jì)算則能夠根據(jù)特定目標(biāo)函數(shù)并在滿足相應(yīng)約束條件的情況下，函數(shù)并在滿足相應(yīng)約束條件的情況下，自動(dòng)優(yōu)選控制變

5、自動(dòng)優(yōu)選控制變量量，這便具有指導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行，這便具有指導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整的決策功能優(yōu)化調(diào)整的決策功能。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n最優(yōu)潮流的最優(yōu)潮流的變量變量分為控制變量（分為控制變量（u）及狀態(tài)變量（）及狀態(tài)變量（x） 。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量常見(jiàn)的有：常見(jiàn)的有：（1）除平衡節(jié)點(diǎn)外，其它所有節(jié)點(diǎn)的電壓相角；）除平衡節(jié)點(diǎn)外，其它所有節(jié)點(diǎn)的電壓相角；（2）除發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)以及具有可調(diào)無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備節(jié)點(diǎn)之外，其它）除發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)以及具有可調(diào)無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備節(jié)點(diǎn)之外，其它所有節(jié)點(diǎn)的電壓模值。所有節(jié)點(diǎn)的電壓模值。一般常用的一般常用的控制變量控制變量有：有：（1）除平衡節(jié)點(diǎn)外，其它發(fā)電機(jī)的有功出力；）除

6、平衡節(jié)點(diǎn)外，其它發(fā)電機(jī)的有功出力；（2）所有發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)及具有可調(diào)無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備節(jié)點(diǎn)的電壓模值；）所有發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)及具有可調(diào)無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備節(jié)點(diǎn)的電壓模值；（3）移相器抽頭位置）移相器抽頭位置 （4）帶負(fù)荷調(diào)壓變壓器的變比。）帶負(fù)荷調(diào)壓變壓器的變比。 （5）并聯(lián)電抗器）并聯(lián)電抗器/電容器容量電容器容量 東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有（1）全系統(tǒng)發(fā)電燃料總耗量（或總費(fèi)用） 由于平衡節(jié)點(diǎn)s的電源有功出力不是控制變量，其節(jié)點(diǎn)注入功率必須通過(guò)潮流計(jì)算才能決定，是節(jié)點(diǎn)電壓模值U及相角的函數(shù)，于是(,)GssLsPP UPsiNGiGssGiiPKPKf)()()iG iiN GfKP 式中：NG為全

7、系統(tǒng)發(fā)電機(jī)的集合，其中包括平衡節(jié)點(diǎn)s的發(fā)電機(jī)組。Ki(PGi)是發(fā)電機(jī)組Gi的耗量特性。（1）（2）（3） 式中：PS(U, )為注入節(jié)點(diǎn)s而通過(guò)與節(jié)點(diǎn)相關(guān)的線路輸出的有功功率；PLS為節(jié)點(diǎn)s的負(fù)荷功率。所以（1）式可寫(xiě)成：東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有（2）有功網(wǎng)損 可直接采用平衡節(jié)點(diǎn)的有功注入作有功網(wǎng)損最小化的目標(biāo)函數(shù)式中：NL為所有支路的集合。（4）,()ijjii jNLfPP),(minminUPfs（5） 除此之外，最優(yōu)潮流還可以采用其它類(lèi)型的目標(biāo)函數(shù)，如偏移量最小、控制設(shè)備調(diào)節(jié)量最小、投資及年運(yùn)行費(fèi)用之和最小等。 由上可見(jiàn)，最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)不僅與控制變量u有關(guān)，同

8、時(shí)和狀態(tài)變量x有關(guān)。因此可用簡(jiǎn)潔的形式表示 ff（u,x） （6）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n最優(yōu)潮流分布必須滿足基本潮流方程，這就是最優(yōu)潮流問(wèn)題的等式約束條件。即f(x,u,p)0。由于擾動(dòng)變量p是給定的，該式可簡(jiǎn)化為 g(x,u)0n不等式約束條件（1）有功電源出力上下限約束；（2）可調(diào)無(wú)功電源出力上下限約束；（3）帶負(fù)荷調(diào)壓變壓器變比K調(diào)整范圍約束；（4）節(jié)點(diǎn)電壓模值上下限約束；（5）輸電線路或變壓器元件中通過(guò)的最大電流或視在功率約束；（6）線路通過(guò)的最大有功潮流或無(wú)功潮流約束（7）線路兩端節(jié)點(diǎn)電壓相角差約束，等等。 統(tǒng)一表示為 h(u,x)=0（7）（8）東南大學(xué)電氣

9、工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的數(shù)學(xué)模型可表示為min()0 ()0( , ). .,ufs tu xg u xh u xn采用不同的目標(biāo)函數(shù)并選擇不同的控制變量，再和相應(yīng)的約束條件結(jié)合，就可構(gòu)成不同的最優(yōu)潮流問(wèn)題。（1）對(duì)有功及無(wú)功進(jìn)行綜合優(yōu)化的通常泛稱(chēng)最優(yōu)潮流問(wèn)題。（2）有功最優(yōu)潮流（3）無(wú)功優(yōu)化潮流（9）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有(一一)最優(yōu)潮流算法分類(lèi)最優(yōu)潮流算法分類(lèi)n按處理約束的不同分類(lèi)n按選擇的修正量不同分類(lèi)n按如何確定修正量的方向分類(lèi)1. 按處理約束的方法分類(lèi)n可以分成三類(lèi)：n罰函數(shù)法 nKuhn-Tucker罰函數(shù)類(lèi)（簡(jiǎn)稱(chēng)KT罰函數(shù)類(lèi)）、n

10、Kuhn-Tucker類(lèi)（簡(jiǎn)稱(chēng)KT類(lèi)）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n把等式及不等式約束都用罰函數(shù)引入目標(biāo)函數(shù)，將有約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，（9）式優(yōu)化問(wèn)題：（10）2212min()()()(),iiiiiiFfghu xu xu xu x式中1i和2i是罰因子，取充分大的正數(shù)。對(duì)越界的不等式約束通過(guò)罰函數(shù)引入目標(biāo)函數(shù)。對(duì)未越界者相應(yīng)罰因子為0，在罰函數(shù)中不出現(xiàn)。min()0 ()0( , ). .,ufs tu xg u xh u x 變成：東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n只將越界的不等式約束通過(guò)罰函數(shù)引入目標(biāo)函數(shù)，保留等式約束方程，即：（11）2mi

11、n ()()()s. t. ()=0,iiiFfhu xu xu xg u xT( ,)( ,)( ,)LFu xu x g u x再用拉格朗日乘子將等式約束引入目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：（12） L滿足最優(yōu)解的條件是滿足Kuhn-Tucker條件(K-T條件)：0 0 0,LLLxu 求解上面方程得到最優(yōu)解。（13）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有nKT類(lèi)算法完全不用罰函數(shù)。若迭代過(guò)程中某不等式約束越界，則將該不等式約束變?yōu)榈仁郊s束，即將其固定在限制值上，然后和等式約束同樣處理。將違反不等式約束并固定在界值上的約束用乘子將其引入目標(biāo)函數(shù)有：（14）T 0 0 ( ,)( ,)(

12、 ,)( ,),TLfu xu x g u x h u x不等式約束只有違反者才引入到拉格朗日函數(shù)中。（15）求取最優(yōu)解應(yīng)滿足K-T條件：0 0 0 0,LLLLxu 求解上面方程，即為KT類(lèi)算法。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n在迭代過(guò)程中，可以是同時(shí)修正全變量空間，包括控制變量u和狀態(tài)變量x，稱(chēng)為直接類(lèi)算法。n也可以只修正控制變量u ，而狀態(tài)變量通過(guò)求解約束方程(潮流方程)得到。稱(chēng)為簡(jiǎn)化類(lèi)算法。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n確定變量修正的方向有三類(lèi)方法：n第一類(lèi)為梯度類(lèi)算法，包括梯度法即最速下降法，這類(lèi)方法具有一階收斂性；n第二類(lèi)為擬牛頓類(lèi)算法，如共扼梯度法和

13、各種變尺度法，這類(lèi)方法收斂性介于一階和二階之間；n第三類(lèi)為牛頓法，例如海森矩陣法，這類(lèi)方法有二階收斂性。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有 簡(jiǎn)化梯度算法 約束處理方式約束處理方式 KT KT類(lèi)類(lèi) KT KT罰函數(shù)類(lèi)罰函數(shù)類(lèi)罰函數(shù)類(lèi)罰函數(shù)類(lèi)直接法直接法簡(jiǎn)化法簡(jiǎn)化法變量修正方向變量修正方向變量空間變量空間梯度類(lèi)梯度類(lèi)擬牛頓類(lèi)擬牛頓類(lèi)牛頓類(lèi)牛頓類(lèi)東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有（二）算法（二）算法n主要方法有：n非線性規(guī)劃法n二次規(guī)劃法n線性規(guī)劃法n混合規(guī)劃法n內(nèi)點(diǎn)法n人工智能方法等。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n非線性規(guī)劃分為無(wú)約束非線性規(guī)劃和有約束非線性規(guī)劃

14、。n有約束非線性規(guī)劃方法的基本思想是利用拉格朗日乘子法或罰函數(shù)法建立增廣目標(biāo)函數(shù)，使有約束非線性規(guī)劃問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題，然后利用不同的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法求解。n非線性模型是最早的OPF數(shù)學(xué)表達(dá)形式。第一個(gè)成功的最優(yōu)潮流算法是Dommel和Tinney于1968年提出的簡(jiǎn)化梯度算法。這種算法建立在牛頓法潮流計(jì)算基礎(chǔ)之上，獨(dú)立變量取系統(tǒng)的控制變量，用罰函數(shù)處理違約的函數(shù)不等式約束，用拉格朗日乘子方法判別是否已到邊界。n用罰函數(shù)處理不等式約束會(huì)產(chǎn)生病態(tài)條件，導(dǎo)致收斂性變壞。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n二次規(guī)劃是非線性規(guī)劃的特殊形式，僅適于求解目標(biāo)函數(shù)為二次形式，約束條件為線

15、性表達(dá)式的問(wèn)題。n1973年，Reid和Hasdorf首次提出用二次規(guī)劃法求解經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題。1982年OPF二次規(guī)劃法的研究取得了突破性進(jìn)展，Burchett等人將原非線性規(guī)劃模型分解為一系列二次規(guī)劃子問(wèn)題，運(yùn)用增廣拉格朗日法能從不可行點(diǎn)找到原問(wèn)題的最優(yōu)解，甚至在潮流方程發(fā)散的情況下也能得到可行點(diǎn)。以2000節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)測(cè)試證明算法的速度和魯棒性有了極大改善。n二次規(guī)劃法的優(yōu)點(diǎn)是比較精確可靠，但其計(jì)算時(shí)間隨變量和約束條件數(shù)目的增加而急劇延長(zhǎng)，而且在求臨界可行問(wèn)題時(shí)會(huì)導(dǎo)致不收斂。 東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n線性規(guī)劃法是電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流問(wèn)題的另一大類(lèi)求解方法。n通常把整個(gè)問(wèn)題分解為

16、有功功率和無(wú)功功率兩個(gè)子優(yōu)化問(wèn)題，它們或者進(jìn)行交替迭代求解，或者分別求解。在求解方法上，大都采用分段線性或逐次線性化逼近非線性規(guī)劃問(wèn)題，然后利用線性規(guī)劃方法求解。n1968年Wells首次提出用線性規(guī)劃法求解安全約束的經(jīng)濟(jì)調(diào)度問(wèn)題，算法思想是將成本目標(biāo)函數(shù)和約束條件線性化后用單純形法求解。n其算法有兩大缺陷：在不可行條件下，最終結(jié)果不是最優(yōu)解；由于計(jì)算機(jī)舍入誤差影響，約束可能出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷現(xiàn)象。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n混合規(guī)劃法是指針對(duì)OPF問(wèn)題中有功優(yōu)化子問(wèn)題與無(wú)功優(yōu)化子問(wèn)題呈現(xiàn)不同的特性而選擇兩種或幾種方法聯(lián)合求解.n例如，混合整數(shù)規(guī)劃法、線性規(guī)劃與二次規(guī)劃混合法等。n實(shí)

17、驗(yàn)證明采用不同規(guī)劃方法分立求解有功、無(wú)功問(wèn)題使優(yōu)化過(guò)程更靈活，非常適合于EMS中在線應(yīng)用。 東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n1954年，F(xiàn)rish提出了最早的內(nèi)點(diǎn)法，它是一種僅限于求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的障礙參數(shù)法。n1984年，Karmarkar提出了線性規(guī)劃的一種新的內(nèi)點(diǎn)算法，證明該算法具有多項(xiàng)式計(jì)算復(fù)雜性，該算法在求解大規(guī)模線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，計(jì)算速度比單純形法快50倍以上。n隨后，Gill將內(nèi)點(diǎn)法的應(yīng)用進(jìn)一步推廣到非線性規(guī)劃領(lǐng)域。n近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)Karmarkar算法進(jìn)行了廣泛深入的研究，一些新的變型算法相繼出現(xiàn)，最有發(fā)展?jié)摿Φ氖锹窂礁櫡?Path Following)，又

18、稱(chēng)為跟蹤中心軌跡法。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n近幾年隨著計(jì)算機(jī)和人工智能等技術(shù)的發(fā)展，不斷有新的方法出現(xiàn)，模擬進(jìn)化規(guī)劃方法、模糊集理論、模擬退火算法等人工智能方法先后用于電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流問(wèn)題。 n人工智能方法解決了尋找全局最優(yōu)解的問(wèn)題，能精確處理問(wèn)題中離散變量，但由于這類(lèi)方法通常屬于隨機(jī)搜索方法，具有計(jì)算速度慢的先天缺陷，難以適應(yīng)在線計(jì)算及電力市場(chǎng)的要求。 東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n最優(yōu)潮流的簡(jiǎn)化梯度算法以極坐標(biāo)形式的牛頓法潮流計(jì)算為基礎(chǔ)。n是在控制變量空間，采用KT罰函數(shù)法進(jìn)行梯度類(lèi)尋優(yōu)的方法。 對(duì)應(yīng)于簡(jiǎn)化法、梯度類(lèi)、KT罰函數(shù)類(lèi)。東南大學(xué)電氣工程系東

19、南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有 對(duì)于僅有等式約束條件的最優(yōu)潮流算法，問(wèn)題表示為0min( , ). .( , )ufs t u xg u x( , )( , )( , )TLfu xu x g u x（16）（17） 式中， 為由拉格朗日乘子所構(gòu)成的向量。n這樣，就把有約束最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題 應(yīng)用經(jīng)典的拉格朗日乘子法，引入和等式約束g(u,x)0中方程式數(shù)同樣多的拉格朗日乘子，構(gòu)成拉格朗日函數(shù)為:東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n采用經(jīng)典的函數(shù)求極值的方法，是將L分別對(duì)變量x,u及求導(dǎo)并令其等于零，即得( , )TTLfLfLg 0 xxxg 0uuug u x0（18）（

20、19）（20）n最優(yōu)潮流的解必須同時(shí)滿足這三個(gè)條件。直接聯(lián)立求解這三個(gè)極值條件方程組，就可以求得此非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。n采用一種迭代下降算法，其基本思想是從一個(gè)初始點(diǎn)開(kāi)始，確定一個(gè)搜索方向，沿著這個(gè)方向移動(dòng)一步，使目標(biāo)函數(shù)有所下降，然后由這新的點(diǎn)開(kāi)始，再重復(fù)進(jìn)行上述步驟，直到滿足一定的收斂判據(jù)為止。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有（1）令迭代計(jì)數(shù)k0；（2）假定一組控制變量u(0)；（3）由(20)式，通過(guò)潮流計(jì)算由已知的u求得相應(yīng)的x(k)；（4）注意到 就是J，利用求解潮流時(shí)已求得的潮流解點(diǎn)的J及其LU三角因子矩陣，求出（5）將已求得的u、x及代入（19），則有（6）若 ，

21、說(shuō)明這組解是最優(yōu)解，計(jì)算結(jié)束。否則，轉(zhuǎn)下步（7）若 ，必須按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的方向?qū)進(jìn)行修正 u(k+1)u(k)u(k) 然后回到步驟3，重復(fù)上述過(guò)程，直到 為止。1Tf gxx1TTLffgguuuxx0Lugx（21）（22）0Lu0Lu東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有由式(16)，目標(biāo)函數(shù) ，則( , )ff xTT()()ffdfdduxuxLu0( ,) g u xf（23） 為求出dx與du的關(guān)系，將潮流方程g(u,x)=0在原始運(yùn)行點(diǎn)附近展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)并略去其高階項(xiàng)后有：0()()ggddxuxu1() ()ggddsd xuuxu 式中s為靈敏度矩陣。1()

22、()ggs xu（24）（25） 將(25)代入(23)，得：TT-1()() () ()ffggdfdduuuxxu（26）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有是在滿足等式的約束條件下 目標(biāo)函數(shù)在維數(shù)較小的u空間上的梯度。故也稱(chēng)為簡(jiǎn)化梯度。按任一多變量函數(shù)f=f(u)的全微分定義, ，則由式(26)，有梯度向量：Tdff d u1TT()()fggff uuxxLu0( ,) g u xf（27） 比較該式，和（22）式完全相同，1TTLffgguuuxxLf u 于是，證明了：uL0),(xugL東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n由于某一點(diǎn)的梯度方向是該點(diǎn)函數(shù)值變化率最

23、大的方向，因此若沿著函數(shù)在該點(diǎn)的負(fù)梯度方向前進(jìn)時(shí)，函數(shù)值下降最快，所以取負(fù)梯度作為每次迭代的搜索方向Lu1TTLffgguuuxx ( )kcf un式中， 為簡(jiǎn)化梯度 ，c為步長(zhǎng)因子。Lufn以負(fù)梯度作為搜索方向的算法，稱(chēng)為梯度法或最速下降法。（28）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有（二）不等式約束條件的處理（二）不等式約束條件的處理n分為兩大類(lèi)n第一類(lèi)是關(guān)于自變量或控制變量u的不等式約束；n第二類(lèi)是關(guān)于因變量即狀態(tài)變量x以及可表示為u和x的函數(shù)的不等式約束條件，這一類(lèi)約束可通稱(chēng)為函數(shù)不等式約束。n控制變量不等式約束 按照式u(k+1)u(k)u(k)對(duì)控制變量進(jìn)行修正，如果得到

24、的u(k)使得任一個(gè)ui(k1)超過(guò)其限值uimax或uimin時(shí)，則該越界的控制變量被強(qiáng)制在相應(yīng)的界上。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n控制變量按這種處理方法處理以后，按照庫(kù)恩圖克定理，在最優(yōu)點(diǎn)處簡(jiǎn)化梯度的第i個(gè)分量應(yīng)有：)(0)(0)(0minmaxmaxminiiiiiiiiiiuuufuuufuuuufn上式中，后兩式理解：如果對(duì)ui沒(méi)有上界或下界的限制而允許繼續(xù)增大或減小時(shí)，目標(biāo)函數(shù)能進(jìn)一步減小。（29）東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n函數(shù)不等式約束h（u,x）0不能采用和控制變量不等式約束同樣的處理方法。n采用罰函數(shù)法來(lái)處理n罰函數(shù)法的基本思路是將約束條

25、件引入原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)而形成一個(gè)新的函數(shù)，將原來(lái)有約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化成一系列無(wú)約束最優(yōu)化的求解。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有其中，s為函數(shù)不等式約束； 為指定的正常數(shù)，稱(chēng)為罰因子；n（1）將越界不等式約束以懲罰項(xiàng)的形式附加在原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)f(u，x)上，從而構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)即懲罰函數(shù)F(u ，x)211max 0skiiisiiFfhffW()( ,)( ,),( ,)( ,)( ,)( ,)u xu xu xu xu xu x00max 00( , ),( , )( , )( , )iiiihhhhu xu xu xu x（30）（31）()ki懲罰項(xiàng)n（2）對(duì)這個(gè)新

26、的目標(biāo)函數(shù)按無(wú)約束求極值的方法求解，使得最終求解的解點(diǎn)在滿足上列約束條件的前提下能使原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n當(dāng)所有不等式約束都滿足時(shí)，懲罰項(xiàng)W等于零。n只要有某個(gè)不等式約束不能滿足，就將產(chǎn)生相應(yīng)的懲罰項(xiàng)w，而且越界量越大，懲罰項(xiàng)的數(shù)值也越大，從而使目標(biāo)函數(shù)(現(xiàn)在是懲罰函數(shù)F)額外地增大,這就相當(dāng)于對(duì)約束條件未能滿足的一種懲罰。n當(dāng)罰因子g足夠大時(shí)，懲罰項(xiàng)在懲罰函數(shù)中所占比重也大，優(yōu)化過(guò)程只有使懲罰項(xiàng)逐步趨于零時(shí)，才能使懲罰函數(shù)達(dá)到最小值，這就迫使原來(lái)越界的變量或函數(shù)向其約束限值靠近或回到原來(lái)規(guī)定的限值之內(nèi)。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所

27、有n懲罰項(xiàng)的數(shù)值和罰因子gi的大小有關(guān)，見(jiàn)圖，對(duì)于一定的越界量， gi值取得越大， wi的值也越大，從而使相應(yīng)的越界約束條件重新得到滿足的趨勢(shì)也越強(qiáng)。但gi并不在一開(kāi)始使取很大的數(shù)值，以免造成計(jì)算收斂性變差，而是隨著迭代的進(jìn)行，按照該不等式約束被違犯的次數(shù)，逐步按照一定的倍數(shù)增加，是一個(gè)遞增且趨于正無(wú)窮大的數(shù)列。wixiximinximaxg(k)=g(k)=g(1)g(1) g(2)g(3)g(2)g(3)g(1)g(2)g(3)東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有（三）簡(jiǎn)化梯度最優(yōu)潮流算法及原理框圖（三）簡(jiǎn)化梯度最優(yōu)潮流算法及原理框圖n 綜上，考慮同時(shí)計(jì)及等式及不等式約束條件的最優(yōu)

28、潮流算法 ( , )( , )( , )TLfgu xu xu x()()()(),TLfWu xu x g u xu x（32）( ,)( ,)( ,)FfWu xu xu xn 在采用罰函數(shù)處理不等式約束后，原來(lái)以 表示的僅計(jì)及等式約束的拉格朗日函數(shù)中的f(u,x)將用懲罰函數(shù)來(lái)代替，得東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n 相應(yīng)的極值條件式將變?yōu)門(mén)LfWfguuuu（35）0TLfWgxxxx1TfW gxxx0(,)TLfWLguuuug u x0相應(yīng)的l變成：（33）（34）n 簡(jiǎn)化梯度 Vf必須以下式子表示：東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有東南大學(xué)電氣工程系東南

29、大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有(四四)簡(jiǎn)化梯度最優(yōu)潮流算法的分析簡(jiǎn)化梯度最優(yōu)潮流算法的分析n算法是建立在牛頓法潮流計(jì)算的基礎(chǔ)上，利用已有極坐標(biāo)形式的牛頓法潮流計(jì)算程序加以一定的擴(kuò)充。這種算法原理簡(jiǎn)單，程序設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)便。n缺點(diǎn):n因?yàn)椴捎锰荻确ɑ蜃钏傧陆捣ㄗ鳛榍笞顑?yōu)點(diǎn)的搜索方法，最速下降法前后兩次迭代的搜索方向總是互相垂直的，因此迭代點(diǎn)在向最優(yōu)點(diǎn)接近的過(guò)程中，走的是曲折的路，即通稱(chēng)的鋸齒現(xiàn)象。收斂速度很慢。n罰因子數(shù)值的選擇是否適當(dāng)對(duì)算法的收斂速度影響很大。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n不是象FDLF算法上的解耦n解耦最優(yōu)潮流是從問(wèn)題的本身或問(wèn)題的模型上把最優(yōu)潮流的最優(yōu)化問(wèn)題分解為有功優(yōu)化和無(wú)功優(yōu)化兩個(gè)子優(yōu)化問(wèn)題n模型的建立n將控制變量u分成up及uq兩組，狀態(tài)變量x分為xp及xq兩組。nup為除平衡節(jié)點(diǎn)外，其它發(fā)電機(jī)的有功出力nxp為除平衡節(jié)點(diǎn)外，其它所有節(jié)點(diǎn)的電壓相角nuq為所有發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)(含平衡)及有無(wú)功補(bǔ)償設(shè)備節(jié)點(diǎn)的電壓模值，此外還要調(diào)壓變壓器變比。nxq為除上述uq中所列節(jié)點(diǎn)以外的其余節(jié)點(diǎn)的電壓模值。n等式及不等式約束也可以分成gp、gq及hp、hq兩組。東南大學(xué)電氣工程系東南大學(xué)電氣工程系版權(quán)所有n 通常用全系統(tǒng)的發(fā)電燃料總耗量或總費(fèi)用 作為目標(biāo)函數(shù)，n