矩陣及其運算習題課

1、12 由mn個數 aij ( i=1,2,m;j=1,2,n )排成的m行n列的數表:稱為m行n列的矩陣. 簡稱 mn 矩陣.簡記為: mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211這mn個數aij稱為矩陣A的元素.A=Amn=( aij )mn=( aij ). 元素是實數的矩陣稱為實矩陣, 元素是復數的矩陣稱為復矩陣.一、基本概念3 (1) 行數與列數都等于n的矩陣A, 稱為n階方陣. 也可記作An, n 00000021的方陣, 稱為(2) 形如(或), 其中1, 2, , n不全為零. 記作ding(1, 2, , n) (3) 如果En=diag(1, 2, , n)=di

2、ag(1,1,1), 則稱En為(n階)單位矩陣, 或簡稱單位陣. 簡記為E. (4) 元素全為零的矩陣稱為零矩陣, mn 階零矩陣記作Omn或O.4 (5) 只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣(或行(列)向量). ,21naaaA ,21 naaaB 2. 兩個矩陣A=(aij)與B=(bij)為同型矩陣, 并且對應元素相等, 即aij = bij ( i=1,2,m; j=1,2, n )則稱矩陣A與B相等, 記作A=B.1. 兩個矩陣的行, 列數對應相等, 稱為同型矩陣. 設有兩個同型的 mn 矩陣A=(aij)與B=(bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij), 記作A+B

3、, 即5矩陣加法的運算規(guī)律(1) 交換律: A+B=B+A.(2) 結合律: (A+B)+C=A+(B+C).矩陣A=(aij), 稱 A=(aij)為矩陣A的負矩陣.A+(A)=O, AB=A+(B).5. 數與矩陣相乘 數與矩陣A=(aij)的乘積定義為(aij), 記作A或A, 簡稱為數乘.設A, B為同型的mn 矩陣, , 為數:(1) ()A = (A).(2) (+)A = A+A.(3) (A+B) = A+B.數乘矩陣的運算規(guī)律6矩陣的加法與數乘運算, 統(tǒng)稱為矩陣的線性運算. skkjiksjisjijiijbabababac12211 設A=(aij)是一個ms 矩陣, B=

4、(bij)是一個sn 矩陣, 定義矩陣A與矩陣B的乘積C=(cij)是一個mn矩陣, 其中6. 矩陣與矩陣相乘( i=1,2, m; j=1,2, n ). 并把此乘積記作C=AB.矩陣乘法的運算規(guī)律(1) 結合律: (AB)C=A(BC);(2) 分配律: A(B+C)=AB+AC, (B+C)A=BA+CA; (3) (AB)=(A)B=A(B), 其中為數;(4) AmnEn= EmAmn= A;7 把矩陣A 的行列互換, 所得到的新矩陣, 叫做矩陣A 的轉置矩陣, 記作AT.轉置矩陣(1) (AT)T = A;(2) (A+B)T = AT + BT;(3) (A)T = AT;(4)

5、 (AB)T = BTAT;轉置矩陣的運算性質 方陣的冪滿足冪運算律: AkAm=Ak+m, (Am)k=Amk, 其中k, m為正整數.若A是n 階方陣, 則Ak為A的k次冪, 定義為A1 = A, Ak+1 = AkA1, ( k為正整數 )8 由n 階方陣A 的元素所構成的行列式叫做方陣A 的行列式, 記作 | A | 或 detA .方陣行列式的運算性質(1) | AT | = | A |;(2) | A | = n| A |;(3) | AB | = | A | | B | = | B | | A | = | BA |.設A為n 階方陣:(1) 如果 AT = A, 稱A為對稱矩陣;

6、 (2) 如果 AT = A, 稱A為反對稱矩陣;(3) 如果 AAT = ATA = E, 稱A為正交矩陣;9 (6) 主對角線以下(上)的元素都為零的方陣稱為上(下)三角矩陣; (7) 行列式 | A | 的各個元素的代數余子式Aij 所構成的如下矩陣 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣A 的伴隨矩陣.性質: AA* = A*A = | A | E. 對于n 階方陣A, 如果存在一個n 階方陣B, 使得AB = BA = E則稱矩陣A是可逆的(非奇異的, 非退化的), 并稱矩陣B為A的逆矩陣. A的逆矩陣記作A-1.10(2) 矩陣A可逆的充要條件是| A |

7、 0.,|11 AAA(3) 若A是可逆矩陣, 則(4) 若 AB = E ( 或 BA = E ), 則 B = A-1.(1) 若A是可逆矩陣, 則A的逆矩陣是唯一的.(5) 若矩陣A可逆, 且 0, 則 A 亦可逆, 且 .111 AA (7) 若矩陣A可逆, 則AT 亦可逆, 且(AT)-1=(A-1)T.(6) 若A, B為同階可逆方陣, 則AB亦可逆, 且(AB)-1 = B-1A-1.(8) 若矩陣A可逆, 則有| A-1 |=| A |-1.11逆矩陣的計算方法:;|11 AAA(3)初等變換法(下一章介紹).(2)伴隨矩陣法:(1)待定系數法;矩陣的分塊, 主要目的在于簡化運

8、算及便于論證.分塊矩陣的運算規(guī)則與矩陣的運算規(guī)則相類似11. 分塊矩陣12矩陣的分塊，主要目的在于簡化運算及便于矩陣的分塊，主要目的在于簡化運算及便于論證論證分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似相類似13一、填空題一、填空題 AAAAnA1541det,31det,. 11則則為其伴隨矩陣為其伴隨矩陣階方陣階方陣為為設設 tOABtBOA則則且且階方陣階方陣設設,35342531,3. 214 13,. 3AEA則則已已知知 1008050200. 4AA的逆矩陣的逆矩陣矩陣矩陣 131125221001100124. 5AAA的的逆逆矩矩陣陣則則階階矩矩陣陣設設15 12, 032. 6AEAAAn則則滿足方程滿足方程階矩陣階矩陣若若 AAAA32, 1,. 71且且為為三三階階矩矩陣陣設設 nAA則則設設,400010003. 816 ;008105102100. 4